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Logik Paradoxe

Achilles und das Schildkrötenparadoxon

„Was die Schildkröte Achilles sagte“, geschrieben von Lewis Carroll 1895 für die philosophische Zeitschrift Mind, ist ein kurzer allegorischer Dialog über die Grundlagen der Logik. Der Titel spielt auf eines der Bewegungsparadoxe von Zeno an, in dem Achilles die Schildkröte in einem Rennen niemals überholen konnte. In Carrolls Dialog fordert die Schildkröte Achilles auf, die Kraft der Logik zu nutzen, um ihn dazu zu bringen, die Schlussfolgerung eines einfachen deduktiven Arguments zu akzeptieren. Letztendlich scheitert Achilles, weil die kluge Schildkröte ihn in eine unendliche Regression führt.

Zusammenfassung des Dialogs
Die Diskussion beginnt mit der Betrachtung des folgenden logischen Arguments:

A: „Dinge, die gleich sind, sind einander gleich“ (Euklidische Beziehung, eine geschwächte Form der transitiven Eigenschaft)
B: „Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind Dinge, die gleich sind.“
Deshalb Z: „Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind einander gleich“
Die Schildkröte fragt Achilles, ob die Schlussfolgerung logisch aus den Räumlichkeiten folgt, und Achilles räumt ein, dass dies offensichtlich der Fall ist. Die Schildkröte fragt dann Achilles, ob es einen Leser von Euklid geben könnte, der zugibt, dass das Argument als Sequenz logisch gültig ist, während er leugnet, dass A und B wahr sind. Achilles akzeptiert, dass ein solcher Leser existieren könnte und dass er der Meinung sein würde, wenn A und B wahr sind, dann muss Z wahr sein, während er noch nicht akzeptiert, dass A und B wahr sind (dh ein Leser, der die Prämissen leugnet).

Die Schildkröte fragt dann Achilles, ob es eine zweite Art von Leser geben könnte, der akzeptiert, dass A und B wahr sind, aber noch nicht das Prinzip akzeptiert, dass Z wahr sein muss, wenn A und B beide wahr sind. Achilles räumt der Schildkröte ein, dass es diese zweite Art von Leser auch geben könnte. Die Schildkröte bittet Achilles, die Schildkröte als Leser dieser zweiten Art zu behandeln. Achilles muss nun die Schildkröte logisch dazu zwingen, zu akzeptieren, dass Z wahr sein muss. (Die Schildkröte ist ein Leser, der die Argumentationsform selbst leugnet; die Schlussfolgerung, Struktur oder Gültigkeit des Syllogismus.)

Nachdem Achilles A, B und Z in sein Notizbuch geschrieben hat, bittet er die Schildkröte, die Hypothese zu akzeptieren:

C: „Wenn A und B wahr sind, muss Z wahr sein“

Die Schildkröte erklärt sich damit einverstanden, C zu akzeptieren, wenn Achilles in sein Notizbuch aufschreibt, was sie akzeptieren muss, und das neue Argument vorbringt:

A: „Dinge, die gleich sind, sind einander gleich“
B: „Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind Dinge, die gleich sind.“
C: „Wenn A und B wahr sind, muss Z wahr sein“
Deshalb Z: „Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind einander gleich“

Aber jetzt, da die Schildkröte Prämisse C akzeptiert, weigert sie sich immer noch, das erweiterte Argument zu akzeptieren. Wenn Achilles verlangt, dass „Wenn Sie A und B und C akzeptieren, müssen Sie Z akzeptieren“, bemerkt die Schildkröte, dass dies ein weiterer hypothetischer Satz ist, und schlägt vor, selbst wenn sie C akzeptiert, könnte sie Z immer noch nicht schließen, wenn sie das nicht sieht Wahrheit von:

D: „Wenn A und B und C wahr sind, muss Z wahr sein“

Die Schildkröte akzeptiert weiterhin jede hypothetische Prämisse, sobald Achilles sie aufschreibt, bestreitet jedoch, dass die Schlussfolgerung notwendigerweise folgt, da jedes Mal, wenn sie die hypothetische Prämisse leugnet, dass Z wahr sein muss, wenn alle bisher niedergeschriebenen Prämissen wahr sind:

„Und endlich haben wir das Ende dieser idealen Rennstrecke erreicht! Jetzt, wo du A und B und C und D akzeptierst, akzeptierst du natürlich Z. “

„Muss ich?“ sagte die Schildkröte unschuldig. „Lassen Sie uns das ganz klar machen. Ich akzeptiere A und B und C und D. Angenommen, ich habe mich immer noch geweigert, Z zu akzeptieren? “

„Dann würde Logic dich am Hals packen und dich dazu zwingen!“ Achilles antwortete triumphierend. „Logic würde dir sagen:‚ Du kannst dir nicht helfen. Nachdem Sie A und B sowie C und D akzeptiert haben, müssen Sie Z akzeptieren! ‚ Sie haben also keine Wahl, verstehen Sie? “

„Was auch immer Logik gut genug ist, um mir zu sagen, es lohnt sich aufzuschreiben“, sagte die Schildkröte. „Also geben Sie es bitte in Ihr Notizbuch ein. Wir werden es nennen

(E) Wenn A und B und C und D wahr sind, muss Z wahr sein.
Bis ich das gewährt habe, muss ich Z natürlich nicht gewähren. Es ist also ein ziemlich notwendiger Schritt, verstehen Sie? “

„Ich verstehe“, sagte Achilles; und in seinem Ton lag ein Hauch von Traurigkeit.

Somit wächst die Liste der Prämissen ohne Ende weiter und lässt das Argument immer in der Form:

(1): „Dinge, die gleich sind, sind einander gleich“
(2): „Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind Dinge, die gleich sind“
(3): (1) und (2) ⇒ (Z)
(4): (1) und (2) und (3) ⇒ (Z)

(n): (1) und (2) und (3) und (4) und… und (n – 1) ⇒ (Z)
Deshalb (Z): „Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind einander gleich“

Bei jedem Schritt argumentiert die Schildkröte, dass es, obwohl er alle niedergeschriebenen Prämissen akzeptiert, eine weitere Prämisse gibt (wenn alle von (1) – (n) wahr sind, dann muss (Z) wahr sein), dass es muss noch akzeptieren, bevor es akzeptiert werden muss, dass (Z) wahr ist.

Erläuterung
Lewis Carroll zeigte, dass es ein regressives Problem gibt, das sich aus den Abzügen von Modus Ponens ergibt.

P bis Q, P / daher Q.

Oder in Worten: Satz P (ist wahr) impliziert Q (ist wahr) und gegebenes P, daher Q.

Das Regressionsproblem entsteht, weil ein vorheriges Prinzip erforderlich ist, um logische Prinzipien zu erklären, hier modus ponens, und sobald dieses Prinzip erklärt ist, ist ein anderes Prinzip erforderlich, um dieses Prinzip zu erklären. Wenn also die Kausalkette fortgesetzt werden soll, fällt das Argument in einen unendlichen Rückschritt. Wenn jedoch ein formales System eingeführt wird, bei dem der Modus ponens lediglich eine im System definierte Inferenzregel ist, kann dies einfach durch Argumentation innerhalb des Systems eingehalten werden.

In Analogie wird Schach nach einem bestimmten Regelwerk gespielt, und wenn eine Person Schach spielt, kann sie die vorgegebenen Regeln nicht in Frage stellen oder von ihnen abweichen, sondern muss sich stattdessen an sie halten, da sie den eigentlichen Rahmen des Spiels bilden. Das heißt nicht, dass der Schachspieler diesen Regeln zustimmt (berücksichtigen Sie beispielsweise Regeländerungen wie en passant). Ebenso besteht ein formales Logiksystem aus Inferenzregeln, die vom Benutzer des Systems zu befolgen sind, und wenn eine Person nach diesem formalen System argumentiert, kann sie diese Inferenzregeln nicht in Frage stellen oder von ihnen unterscheiden, sondern muss sie stattdessen einhalten weil sie die eigentlichen Bestandteile des Systems bilden. Das heißt nicht, dass die Argumentation des Benutzers nach diesem formalen System mit diesen Regeln übereinstimmt (betrachten Sie zum Beispiel die Ablehnung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte durch den Konstruktivisten und die Ablehnung des Gesetzes des Widerspruchs durch den Dialethisten). Auf diese Weise kann die Formalisierung der Logik als System als Antwort auf das Problem des unendlichen Rückschritts betrachtet werden: modus ponens wird in der Regel innerhalb des Systems platziert, die Gültigkeit von modus ponens wird ohne das System vermieden.

In der Aussagenlogik ist die logische Implikation wie folgt definiert:

P impliziert Q genau dann, wenn der Satz nicht P oder Q eine Tautologie ist.

Daher ist de modo ponente, [P ∧ (P → Q)] ⇒ Q, eine gültige logische Schlussfolgerung gemäß der gerade angegebenen Definition der logischen Implikation. Das Demonstrieren der logischen Implikation bedeutet einfach zu überprüfen, ob die zusammengesetzte Wahrheitstabelle eine Tautologie erzeugt. Aber die Schildkröte akzeptiert im Glauben nicht die Regeln der Aussagenlogik, auf denen diese Erklärung beruht. Er bittet darum, dass auch diese Regeln logischen Beweisen unterliegen. Die Schildkröte und Achilles sind sich über keine Definition der logischen Implikation einig.

Darüber hinaus weist die Geschichte auf Probleme mit der Satzlösung hin. Innerhalb des Systems der Aussagenlogik enthält kein Satz oder keine Variable einen semantischen Inhalt. In dem Moment, in dem ein Satz oder eine Variable semantischen Inhalt annimmt, tritt das Problem erneut auf, da semantischer Inhalt außerhalb des Systems ausgeführt wird. Wenn also gesagt werden soll, dass die Lösung funktioniert, dann soll gesagt werden, dass sie nur innerhalb des gegebenen formalen Systems funktioniert und nicht anders.

Einige Logiker (Kenneth Ross, Charles Wright) unterscheiden fest zwischen dem bedingten Zusammenhang und der Implikationsbeziehung. Diese Logiker verwenden den Ausdruck nicht p oder q für den bedingten Zusammenhang, und der Begriff impliziert eine behauptete Implikationsbeziehung.

Diskussion
Mehrere Philosophen haben versucht, Carrolls Paradoxon zu lösen. Bertrand Russell diskutierte das Paradoxon kurz in § 38 der Prinzipien der Mathematik (1903) und unterschied zwischen Implikation (assoziiert mit der Form „wenn p, dann q“), die er als Beziehung zwischen nicht behaupteten Sätzen ansah, und Inferenz (assoziiert) mit der Form „p, also q“), die er für eine Beziehung zwischen behaupteten Sätzen hielt; Nachdem Russell diese Unterscheidung getroffen hatte, konnte er leugnen, dass der Versuch der Schildkröte, die Schlussfolgerung von Z aus A und B als äquivalent oder abhängig von der Zustimmung zur Hypothese zu behandeln: „Wenn A und B wahr sind, dann ist Z wahr.“

Der Wittgensteinsche Philosoph Peter Winch diskutierte das Paradoxon in Die Idee einer Sozialwissenschaft und ihre Beziehung zur Philosophie (1958), wo er argumentierte, dass das Paradoxon zeigte, dass „der eigentliche Prozess des Zeichnens einer Folgerung, der schließlich im Zentrum der Logik steht ist etwas, das nicht als logische Formel dargestellt werden kann… Das Lernen zu schließen ist nicht nur eine Frage des Lehrens über explizite logische Beziehungen zwischen Sätzen; es lernt etwas zu tun “. Winch schlägt weiter vor, dass die Moral des Dialogs ein besonderer Fall einer allgemeinen Lektion ist, wonach die ordnungsgemäße Anwendung von Regeln, die eine Form menschlicher Aktivität regeln, selbst nicht mit einer Reihe weiterer Regeln zusammengefasst werden kann, und das auch „Eine Form menschlicher Aktivität kann niemals in einer Reihe expliziter Vorschriften zusammengefasst werden.“

Carrolls Dialog ist anscheinend die erste Beschreibung eines Hindernisses für den Konventionalismus über die logische Wahrheit, das später von WVO Quine in nüchterneren philosophischen Begriffen überarbeitet wurde.