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Logik Paradoxe

Trinkerparadoxon

Das Trinkerparadoxon (auch als Trinker-Theorem, Trinker-Prinzip oder Trinkprinzip bekannt) ist ein Theorem der klassischen Prädikatenlogik, das wie folgt ausgedrückt werden kann: „Es gibt jemanden in der Kneipe, so dass, wenn er trinkt, jeder in der Kneipe ist Die Kneipe trinkt. “ Es wurde von dem mathematischen Logiker Raymond Smullyan populär gemacht, der es in seinem 1978 erschienenen Buch „Wie heißt dieses Buch?“ Das „Trinkprinzip“ nannte.

Die scheinbar paradoxe Natur der Aussage ergibt sich aus der Art und Weise, wie sie normalerweise in natürlicher Sprache ausgedrückt wird. Es scheint nicht intuitiv zu sein, dass es eine Person geben könnte, die die anderen zum Trinken bringt, oder dass es eine Person geben könnte, die die ganze Nacht über immer die letzte Person war, die trank. Der erste Einwand ergibt sich aus der Verwechslung formaler „Wenn-Dann“ -Aussagen mit der Kausalität (siehe Korrelation impliziert keine Kausalität oder Relevanzlogik für Logiken, die im Gegensatz zur hier angenommenen klassischen Logik relevante Beziehungen zwischen Prämisse und Konsequenz erfordern). Die formale Aussage des Satzes ist zeitlos, wodurch der zweite Einwand beseitigt wird, da die Person, für die die Aussage zu einem bestimmten Zeitpunkt gilt, nicht unbedingt dieselbe Person ist, für die sie zu einem anderen Zeitpunkt gilt.

Die formale Aussage des Satzes lautet

∃ X ∈ P. [D (x) → ∀ y ∈ P. D (y)]
Dabei ist D ein beliebiges Prädikat und P eine beliebige nicht leere Menge.

Beweise
Der Beweis beginnt damit, dass erkannt wird, dass entweder jeder in der Kneipe trinkt oder mindestens eine Person in der Kneipe nicht trinkt. Folglich sind zwei Fälle zu berücksichtigen:

Angenommen, jeder trinkt. Für eine bestimmte Person kann es nicht falsch sein zu sagen, dass, wenn diese bestimmte Person trinkt, jeder in der Kneipe trinkt – weil jeder trinkt. Weil jeder trinkt, muss diese eine Person trinken, denn wenn diese Person alle trinkt, schließt jeder diese Person ein.
Ansonsten trinkt mindestens eine Person nicht. Für jede nicht trinkende Person ist die Aussage, wenn diese bestimmte Person trinkt, dass jeder in der Kneipe trinkt, formal wahr: Ihre Vorgeschichte („diese bestimmte Person trinkt“) ist falsch, daher ist die Aussage aufgrund der Art des Materials wahr Implikation in der formalen Logik, die besagt, dass „Wenn P, dann Q“ immer wahr ist, wenn P falsch ist. (Diese Art von Aussagen gelten als vakant wahr.)
Eine etwas formellere Art, das Obige auszudrücken, ist zu sagen, dass, wenn jeder trinkt, jeder der Zeuge für die Gültigkeit des Satzes sein kann. Und wenn jemand nicht trinkt, kann diese bestimmte nicht trinkende Person der Zeuge der Gültigkeit des Theorems sein.

Erklärung der Paradoxizität
Das Paradoxon basiert letztendlich auf dem Prinzip der formalen Logik, dass die Aussage A → B immer dann wahr ist, wenn A falsch ist, dh jede Aussage folgt aus einer falschen Aussage (ex falso quodlibet).

Was für das Paradox wichtig ist, ist, dass die Bedingung in der klassischen (und intuitionistischen) Logik die materielle Bedingung ist. Es hat die Eigenschaft, dass A → B wahr ist, wenn B wahr ist oder wenn A falsch ist (in der klassischen Logik, aber nicht in der intuitionistischen Logik, ist dies auch eine notwendige Bedingung).

So wie es hier angewendet wurde, wurde die Aussage „Wenn er trinkt, trinkt jeder“ in einem Fall als richtig angesehen, wenn jeder trank, und im anderen Fall, wenn er nicht trank – auch wenn er vielleicht trinkt Ich habe nichts mit dem Trinken anderer zu tun.

Andererseits wird in der natürlichen Sprache typischerweise „wenn… dann…“ als indikative Bedingung verwendet.

Geschichte und Variationen
Smullyan schreibt in seinem 1978 erschienenen Buch seinen Doktoranden die Benennung von „The Drinking Principle“ zu. Er diskutiert auch Varianten (erhalten durch Ersetzen von D durch andere, dramatischere Prädikate):

„Es gibt eine Frau auf der Erde, bei der die gesamte Menschheit aussterben wird, wenn sie steril wird.“ Smullyan schreibt, dass diese Formulierung aus einem Gespräch mit dem Philosophen John Bacon hervorgegangen ist.
Eine „duale“ Version des Prinzips: „Es gibt mindestens eine Person, die es tut, wenn jemand trinkt.“

Als „Smullyans“ Trinkerprinzip „oder einfach als“ Trinkerprinzip „erscheint es in HP Barendregts“ Das Streben nach Korrektheit „(1996), begleitet von einigen maschinellen Beweisen. Seitdem ist es regelmäßig als Beispiel in Veröffentlichungen über automatisiertes Denken aufgetaucht. es wird manchmal verwendet, um die Ausdruckskraft von Beweisassistenten gegenüberzustellen

Nicht leere Domain
In der Einstellung mit zulässigen leeren Domänen muss das Trinkerparadox wie folgt formuliert werden:

Eine Menge P erfüllt

∃ X ∈ P. [D (x) → ∀ y ∈ P. D (y)],
genau dann, wenn es nicht leer ist.

Oder in Worten:

Wenn und nur wenn jemand in der Kneipe ist, ist jemand in der Kneipe, so dass, wenn er trinkt, jeder in der Kneipe trinkt.