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Logik Paradoxe

Paradox der Folge

Als bekanntestes und formal einfachstes Paradoxon ist das Paradox der Entailment die beste Einführung.

In der natürlichen Sprache entsteht ein Beispiel für das Paradox der Folge:

Es regnet

Und

Es regnet nicht

Deshalb

George Washington besteht aus Rechen.

Dies ergibt sich aus dem Explosionsprinzip, einem Gesetz der klassischen Logik, das besagt, dass inkonsistente Prämissen ein Argument immer gültig machen; Das heißt, inkonsistente Prämissen implizieren überhaupt eine Schlussfolgerung. Dies erscheint paradox, da das oben Gesagte zwar ein logisch gültiges Argument ist, aber nicht stichhaltig (nicht alle Prämissen sind wahr).

Konstruktion
Die Gültigkeit wird in der klassischen Logik wie folgt definiert:

Ein Argument (bestehend aus Prämissen und einer Schlussfolgerung) ist nur dann gültig, wenn es keine mögliche Situation gibt, in der alle Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch sind.
Beispielsweise könnte ein gültiges Argument ausgeführt werden:

Wenn es regnet, ist Wasser vorhanden (1. Prämisse)
Es regnet (2. Prämisse)
Wasser existiert (Schlussfolgerung)

In diesem Beispiel gibt es keine mögliche Situation, in der die Prämissen wahr sind, während die Schlussfolgerung falsch ist. Da es kein Gegenbeispiel gibt, ist das Argument gültig.

Man könnte aber ein Argument konstruieren, bei dem die Prämissen inkonsistent sind. Dies würde den Test für ein gültiges Argument erfüllen, da es keine mögliche Situation geben würde, in der alle Prämissen wahr sind, und daher keine mögliche Situation, in der alle Prämissen wahr sind und die Schlussfolgerung falsch ist.

Beispielsweise könnte ein Argument mit inkonsistenten Prämissen ausgeführt werden:

Es regnet definitiv (1. Prämisse; wahr)
Es regnet nicht (2. Prämisse; falsch)
George Washington besteht aus Rechen (Fazit)

Da es keine mögliche Situation gibt, in der beide Prämissen wahr sein könnten, gibt es sicherlich keine mögliche Situation, in der die Prämissen wahr sein könnten, während die Schlussfolgerung falsch war. Das Argument ist also gültig, unabhängig von der Schlussfolgerung. inkonsistente Prämissen implizieren alle Schlussfolgerungen.

Erläuterung
Die Seltsamkeit des Paradoxons der Folge ergibt sich aus der Tatsache, dass die Definition der Gültigkeit in der klassischen Logik nicht immer mit der Verwendung des Begriffs in der gewöhnlichen Sprache übereinstimmt. Im täglichen Gebrauch deutet die Gültigkeit darauf hin, dass die Räumlichkeiten konsistent sind. In der klassischen Logik wird der zusätzliche Begriff der Solidität eingeführt. Ein solides Argument ist ein gültiges Argument mit allen wahren Prämissen. Daher kann ein gültiges Argument mit einem inkonsistenten Satz von Prämissen niemals stichhaltig sein. Eine vorgeschlagene Verbesserung des Begriffs der logischen Gültigkeit, um dieses Paradoxon zu beseitigen, ist relevante Logik.

Vereinfachung
Die klassischen paradoxen Formeln sind eng mit der Formel verbunden,

p ∧ q → p
das Prinzip der Vereinfachung, das sich ziemlich leicht aus den paradoxen Formeln ableiten lässt (z. B. aus (1) durch Einfuhr). Darüber hinaus gibt es ernsthafte Probleme beim Versuch, materielle Implikationen als Repräsentanten des englischen „wenn… dann…“ zu verwenden. Die folgenden Schlussfolgerungen sind beispielsweise gültig:

(p → q) ∧ (r → s) ⊢ (p → s) ∨ (r → q)
(p ∧ q) → r ⊢ (p → r) ∨ (q → r)}
Wenn Sie diese jedoch mit „if“ auf englische Sätze zurückführen, erhalten Sie Paradoxe. Das erste könnte lauten: „Wenn John in London ist, ist er in England, und wenn er in Paris ist, ist er in Frankreich. Daher ist es entweder wahr, dass (a) wenn John in London ist, dann ist er in Frankreich, oder (b) wenn er in Paris ist, dann ist er in England. “ Wenn John wirklich in London ist, dann ist materielle Implikation (da er nicht in Paris ist) (b) wahr; Wenn er in Paris ist, dann ist (a) wahr. Da er nicht an beiden Orten sein kann, ist die Schlussfolgerung gültig, dass mindestens einer von (a) oder (b) wahr ist.

Dies stimmt jedoch nicht mit der Verwendung von „wenn… dann…“ in natürlicher Sprache überein: Das wahrscheinlichste Szenario, in dem man sagen würde, „wenn John in London ist, ist er in England“, ist, wenn man nicht weiß, wo John ist, aber Trotzdem weiß er, dass er in England ist, wenn er in London ist. Nach dieser Interpretation sind beide Prämissen wahr, aber beide Klauseln der Schlussfolgerung sind falsch.

Das zweite Beispiel lautet: „Wenn sowohl Schalter A als auch Schalter B geschlossen sind, leuchtet das Licht. Daher ist es entweder richtig, dass bei geschlossenem Schalter A das Licht an ist oder dass bei geschlossenem Schalter B das Licht an ist. “ Hier wäre die wahrscheinlichste Interpretation der Aussagen „wenn… dann…“ in natürlicher Sprache „wann immer Schalter A geschlossen ist, ist das Licht an“ und „wann immer Schalter B geschlossen ist, ist das Licht an“. Wiederum können unter dieser Interpretation beide Klauseln der Schlussfolgerung falsch sein (zum Beispiel in einer Reihenschaltung mit einem Licht, das nur aufleuchtet, wenn beide Schalter geschlossen sind).