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Logik Paradoxe

Lotterie-Paradoxon

Das Lotterie-Paradoxon von Henry E. Kyburg Jr. ergibt sich aus der Betrachtung einer fairen 1000-Ticket-Lotterie mit genau einem Gewinnschein. Wenn so viel über die Durchführung der Lotterie bekannt ist, ist es daher vernünftig zu akzeptieren, dass ein Ticket gewinnt. Angenommen, ein Ereignis ist nur dann sehr wahrscheinlich, wenn die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens größer als 0,99 ist. Aus diesen Gründen wird es als vernünftig angesehen, den Vorschlag zu akzeptieren, dass Ticket 1 der Lotterie nicht gewinnt. Da die Lotterie fair ist, ist es vernünftig zu akzeptieren, dass Ticket 2 auch nicht gewinnt – tatsächlich ist es vernünftig, für jedes einzelne Ticket i der Lotterie zu akzeptieren, dass Ticket i nicht gewinnt. Das Akzeptieren dieses Tickets 1 wird jedoch nicht gewinnen, das Akzeptieren dieses Tickets 2 wird nicht gewinnen, und so weiter, bis das Akzeptieren dieses Tickets 1000 nicht gewinnt, bedeutet es, dass es rational ist zu akzeptieren, dass kein Ticket gewinnt, was bedeutet, dass es rational ist zu akzeptieren die widersprüchliche These, dass ein Ticket gewinnt und kein Ticket gewinnt.

Das Lotterie-Paradoxon sollte zeigen, dass drei attraktive Prinzipien, die die rationale Akzeptanz regeln, zu Widersprüchen führen, nämlich das

Es ist vernünftig, einen Satz zu akzeptieren, der sehr wahrscheinlich wahr ist.
Es ist irrational, einen Satz zu akzeptieren, von dem bekannt ist, dass er inkonsistent und gemeinsam inkonsistent ist
Wenn es rational ist, einen Satz A zu akzeptieren, und es rational ist, einen anderen Satz A ‚zu akzeptieren, dann ist es rational, A und A‘ zu akzeptieren.

Das Paradoxon bleibt von anhaltendem Interesse, da es verschiedene Fragen auf den Grundlagen der Wissensrepräsentation und des unsicheren Denkens aufwirft: die Beziehungen zwischen Fehlbarkeit, zutreffendem Glauben und logischer Konsequenz; die Rollen, die Konsistenz, statistische Evidenz und Wahrscheinlichkeit bei der Glaubensfixierung spielen; die genaue normative Kraft, die logische und probabilistische Konsistenz auf den rationalen Glauben haben.

Geschichte
Obwohl die erste veröffentlichte Erklärung des Lotterieparadoxons in Kyburgs Wahrscheinlichkeit von 1961 und der Logik des rationalen Glaubens erscheint, erscheint die erste Formulierung des Paradoxons in seiner „Wahrscheinlichkeit und Zufälligkeit“, einem Papier, das 1959 auf der Tagung der Association for Symbolic Logic gehalten wurde. und der Internationale Kongress für Geschichte und Philosophie der Wissenschaft von 1960, der 1963 in der Zeitschrift Theoria veröffentlicht wurde. Dieses Papier wurde in Kyburg (1987) nachgedruckt.

Smullyans Variation
Raymond Smullyan präsentiert die folgende Variation des Lotterie-Paradoxons: Eine ist entweder inkonsistent oder eingebildet. Da das menschliche Gehirn endlich ist, gibt es eine endliche Anzahl von Sätzen p1… pn, an die man glaubt. Aber wenn Sie nicht eingebildet sind, wissen Sie, dass Sie manchmal Fehler machen und dass nicht alles, was Sie glauben, wahr ist. Wenn Sie also nicht eingebildet sind, wissen Sie, dass zumindest einige der pi falsch sind. Dennoch glaubst du jedem der Pi individuell. Dies ist eine Inkonsistenz (Smullyan 1978, S. 206).

Kurzer Leitfaden zur Literatur
Das Lotterie-Paradoxon ist zu einem zentralen Thema in der Erkenntnistheorie geworden, und die enorme Literatur, die dieses Rätsel umgibt, droht, seinen ursprünglichen Zweck zu verschleiern. Kyburg schlug das Gedankenexperiment vor, um ein Merkmal seiner innovativen Ideen zur Wahrscheinlichkeit zu vermitteln (Kyburg 1961, Kyburg und Teng 2001), die darauf beruhen, die ersten beiden oben genannten Prinzipien ernst zu nehmen und die letzten abzulehnen. Für Kyburg ist das Lotterie-Paradoxon nicht wirklich ein Paradoxon: Seine Lösung besteht darin, die Aggregation einzuschränken.

Trotzdem sind für orthodoxe Probabilisten das zweite und dritte Prinzip primär, so dass das erste Prinzip abgelehnt wird. Auch hier wird man Behauptungen sehen, dass es wirklich kein Paradoxon gibt, sondern einen Fehler: Die Lösung besteht darin, das erste Prinzip und damit die Idee der rationalen Akzeptanz abzulehnen. Für jeden mit Grundkenntnissen der Wahrscheinlichkeit sollte das erste Prinzip abgelehnt werden: Für ein sehr wahrscheinliches Ereignis ist der rationale Glaube an dieses Ereignis nur, dass es sehr wahrscheinlich ist, nicht dass es wahr ist.

Der größte Teil der erkenntnistheoretischen Literatur nähert sich dem Rätsel aus orthodoxer Sicht und setzt sich mit den besonderen Konsequenzen auseinander, weshalb die Lotterie mit Diskussionen über Skepsis (z. B. Klein 1981) und Bedingungen für die Geltendmachung von Wissensansprüchen verbunden ist (zB JP Hawthorne 2004). Es ist üblich, auch Lösungsvorschläge für das Rätsel zu finden, die bestimmte Merkmale des Lotterie-Gedankenexperiments aktivieren (z. B. Pollock 1986), das dann zum Vergleich der Lotterie mit anderen epistemischen Paradoxien wie David Makinsons Vorwort-Paradoxon und zu „ Lotterien “mit einer anderen Struktur. Diese Strategie wird in (Kyburg 1997) und auch in (Wheeler 2007) angesprochen. Eine umfangreiche Bibliographie ist in (Wheeler 2007) enthalten.

Philosophische Logiker und KI-Forscher waren tendenziell daran interessiert, geschwächte Versionen der drei Prinzipien in Einklang zu bringen, und es gibt viele Möglichkeiten, dies zu tun, einschließlich der Glaubenslogik von Jim Hawthorne und Luc Bovens (1999), Gregory Wheelers (2006) Verwendung von 1- monotone Kapazitäten, Bryson Browns (1999) Anwendung konservatorischer parakonsistenter Logik, Igor Douven und Timothy Williamsons (2006) Appell an kumulative nicht-monotone Logik, Horacio Arlo-Costas (2007) Verwendung minimaler (klassischer) Modallogiken und Joe Halperns (2003) Verwendung der Wahrscheinlichkeit erster Ordnung.

Schließlich neigen Wissenschaftsphilosophen, Entscheidungswissenschaftler und Statistiker dazu, das Lotterieparadoxon als ein frühes Beispiel für die Komplikationen zu betrachten, denen man bei der Konstruktion prinzipieller Methoden zur Aggregation unsicherer Informationen gegenübersteht, die heute eine eigene Disziplin sind. Information Fusion, zusätzlich zu kontinuierlichen Beiträgen zu allgemeinen Fachzeitschriften.