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Unerwartetes hängendes Paradoxon

Das unerwartete hängende Paradoxon oder Henkerparadoxon ist ein Paradoxon über die Erwartungen einer Person an den Zeitpunkt eines zukünftigen Ereignisses, von dem sie erfährt, dass es zu einem unerwarteten Zeitpunkt eintreten wird. Das Paradoxon wird auf verschiedene Weise auf das Hängen eines Gefangenen oder einen Überraschungsschultest angewendet. Es könnte auf Moores Paradox reduziert werden.

Trotz erheblichen akademischen Interesses besteht kein Konsens über seine genaue Natur und folglich wurde noch keine endgültige korrekte Lösung gefunden. Die logische Analyse legt nahe, dass das Problem in einer widersprüchlichen, sich selbst referenzierenden Aussage im Herzen des Urteils des Richters auftritt. Erkenntnistheoretische Studien des Paradoxons haben gezeigt, dass es unser Wissenskonzept aktiviert. Obwohl es anscheinend einfach ist, haben die zugrunde liegenden Komplexitäten des Paradoxons sogar dazu geführt, dass es als „bedeutendes Problem“ für die Philosophie bezeichnet wird.

Beschreibung des Paradoxons
Das Paradoxon wurde wie folgt beschrieben:

Ein Richter teilt einem verurteilten Gefangenen mit, dass er an einem Wochentag in der folgenden Woche mittags gehängt wird, die Hinrichtung jedoch für den Gefangenen eine Überraschung sein wird. Er wird den Tag des Hängens nicht kennen, bis der Henker an diesem Tag mittags an seine Zellentür klopft.

Nachdem der Gefangene über sein Urteil nachgedacht hat, kommt er zu dem Schluss, dass er dem Hängen entkommen wird. Seine Argumentation besteht aus mehreren Teilen. Er kommt zu dem Schluss, dass das „Hängen der Überraschung“ nicht am Freitag stattfinden kann, als ob er bis Donnerstag nicht gehängt worden wäre. Es bleibt nur noch ein Tag – und es ist keine Überraschung, wenn er am Freitag gehängt wird. Da das Urteil des Richters vorsah, dass das Erhängen eine Überraschung für ihn sein würde, kommt er zu dem Schluss, dass es am Freitag nicht stattfinden kann.

Er begründet dann, dass das Aufhängen der Überraschung auch nicht am Donnerstag stattfinden kann, da der Freitag bereits beseitigt wurde und wenn er bis Mittwochmittag nicht aufgehängt wurde, muss das Aufhängen am Donnerstag erfolgen, sodass das Aufhängen eines Donnerstag ebenfalls keine Überraschung darstellt. Aus ähnlichen Gründen kommt er zu dem Schluss, dass das Aufhängen auch nicht am Mittwoch, Dienstag oder Montag stattfinden kann. Freudig zieht er sich in seine Zelle zurück und ist zuversichtlich, dass das Aufhängen überhaupt nicht stattfinden wird.

In der nächsten Woche klopft der Henker am Mittwochmittag an die Tür des Gefangenen – was ihn trotz alledem völlig überraschte. Alles, was der Richter sagte, wurde wahr.

Andere Versionen des Paradoxons ersetzen das Todesurteil durch eine Überraschungsübung, eine Untersuchung, ein Pop-Quiz, einen A / B-Teststart oder einen Löwen hinter einer Tür.

Klassische Darstellungen
Das Paradoxon wird erstmals in der Juli-Ausgabe 1948 der englischen philosophischen Zeitschrift Mind schriftlich erwähnt. Die Variante dort ist: Ein Militärbefehlshaber hatte in der kommenden Woche einen Totalausfall („Class A Blackout“) angekündigt, und die Betroffenen sollten erst am entsprechenden Tag nach 6:00 Uhr davon erfahren.

Das Paradoxon ist spätestens seit 1943 mündlich verbreitet. Das schwedische Radio hatte Berichten zufolge 1943 oder 1944 eine Luftangriffsübung angekündigt, die in der folgenden Woche stattfinden sollte. Es wurde hinzugefügt, dass niemand vorhersagen konnte, wann es stattfinden würde, selbst am Morgen des Trainingstages. Lennart Ekbom, Professor für Mathematik am Östermalms College in Stockholm, war sich der logischen Schwierigkeiten bewusst geworden.

Michael Scriven, Professor für wissenschaftliche Logik an der University of Indiana, diskutierte das Paradoxon 1951 auch in Mind als „neues und mächtiges Paradoxon“.

In klassischen Darstellungen wird das Paradoxon am Beispiel einer zum Tode verurteilten Person dargestellt. Entschärfte Versionen ersetzen die Hinrichtung des Gefangenen durch einen Überraschungstest, der den Studenten in naher Zukunft angekündigt wird.

Das Paradoxon des Henkers
Ein Gefangener wird verurteilt, innerhalb einer Woche (Montag bis Sonntag) hingerichtet zu werden. Hinrichtungen finden immer mittags statt. Am Tag der Hinrichtung wird ihm nicht gesagt, er solle sich Sorgen machen. Ihm wird auch gesagt, dass der Termin für ihn völlig unerwartet ist. Er meint jedoch: „Wenn ich am vorletzten Wochentag mittags überlebe, muss ich am letzten Tag mittags hingerichtet werden, aber das wäre nicht unerwartet. So kann der letztmögliche Termin ausgeschlossen werden. Wenn ich noch mittags vor dem vorletzten Datum wohne, könnte die Hinrichtung für das letzte oder vorletzte Datum geplant sein, aber ich habe das letzte bereits ausgeschlossen, sodass es nur das vorletzte gibt; Dies wäre jedoch nicht unerwartet. Und so weiter: Ich lebe immer noch mittags vor dem vorletzten Termin,

Unerwarteter Test
Eine Lehrerin sagt zu ihrer Klasse: „Nächste Woche werden Sie einen völlig überraschenden Test zu diesem Thema schreiben!“ Eines der Kinder hält dies für unmöglich. Sie sagt: „Die Klasse hat dieses Thema montags, donnerstags und freitags. Wenn der Test am Freitag geschrieben wird, ist dies nicht überraschend, aber bereits am Donnerstag nach dem Unterricht vorhersehbar. Findet der Test am Donnerstag statt? Nein, denn ich habe Freitag bereits ausgeschlossen und Montag ist bereits vorbei und kann auch ausgeschlossen werden. Der Test muss also am Montag sein und wäre nicht überraschend. Kann die Lehrerin ihre Ankündigung noch wahr machen?

Wissensparadox
Nach Kaplan und Montague kann das Paradoxon auf das sogenannte „Wissensparadoxon“ (Paradoxon des Wissens) reduziert werden, das aus dem folgenden Satz besteht: „Es ist bekannt, dass dieser Satz falsch ist.“

Analysen
Neben der Lösung des Paradoxons stellt sich die Frage, wo der Fehler in der Logik des Gefangenen liegt, der davon ausgeht, dass er überleben wird.

1. Analyse: Der Fehler des Gefangenen besteht darin, einen Einführungsschritt durchzuführen, nachdem er einen Widerspruch erkannt hat. Grundsätzlich können Sie alles aus etwas Falschem ableiten, einschließlich des Überlebens (nicht zutreffend). Wenn der Gefangene am Sonntagmorgen noch am Leben ist, weiß er, dass eine der beiden Aussagen der Wache („Sie werden spätestens am Sonntag hingerichtet werden“ und „Sie werden es am Vortag nicht wissen“) falsch war. Da er nicht weiß, welche der beiden Aussagen falsch war, kann er keine weiteren Schlussfolgerungen ziehen.

Natürlich kann der Gefangene die Schlussfolgerung ziehen: „Wenn beide Aussagen der Wache wahr sind, werde ich den Sonntag nicht mehr erleben.“

Am Samstagmorgen gibt es folgende Möglichkeiten: „Entweder kommt der Henker heute oder der Wachmann hat gelogen.“ Der Gefangene weiß nicht, welche der beiden Aussagen über das „oder“ wahr ist. Ergo kann der Henker am Samstag „überraschend“ kommen. Und so natürlich besonders am Freitag, Donnerstag, Mittwoch, Dienstag oder Montag.

2. Analyse: Nehmen wir an, der Gefangene lebt am Samstagabend noch: Könnte er mit hundertprozentiger Sicherheit vorhersagen, dass er am Sonntag hingerichtet wird? Das Paradox ergibt sich aus der Beantwortung dieser Frage mit Ja, aber die richtige Antwort ist Nein. Der Gefangene geht davon aus, dass die Aussage, dass er in der nächsten Woche überraschend hingerichtet wird, wahr ist; Wenn er jedoch auch am Samstagabend von einer unerwarteten Hinrichtung ausgeht, kann er nicht damit rechnen, am Sonntag hingerichtet zu werden, da dies seiner eigenen Annahme widersprechen würde. Ergo kann der Gefangene auch am Sonntag überraschend hingerichtet werden, womit seine Argumentation widerlegt würde.

Analoger Fall: Ich werde Ihnen das Buch geben, das Sie angefordert haben, und mein Geschenk wird eine Überraschung sein. Auf den ersten Blick kann nur eines der beiden Versprechen gehalten werden. Wenn die andere Person jedoch davon ausgeht, dass meine Aussage korrekt ist, können sie nicht vorhersagen, dass ich ihnen das entsprechende Buch geben werde, da sich aus Sicht dieser Person die beiden Teilaussagen widersprechen, was eine Vorhersage unmöglich macht. So kann ich der Person das gewünschte Buch als Überraschung geben.

Der logische Fehler, der beide Fälle in Paradoxien verwandelt, ist die Annahme, dass eine klare Vorhersage auf der Grundlage der Fakten getroffen werden kann. Dies gilt nicht aus dem einfachen Grund, dass beide Male die Aussage getroffen wird, dass eine Vorhersage unmöglich ist. Da die Richtigkeit dieser Aussage vorausgesetzt werden muss, kann kein Tag ausgeschlossen werden (basierend auf der Situation des Gefangenen), da ein Ausschluss auch eine klare Vorhersage ist, die der Überraschungsaussage widerspricht und daher nicht akzeptiert werden kann. Mit anderen Worten, die Anweisung Die Ausführung erfolgt überraschend automatisch, sodass die Ausführung an jedem Wochentag erfolgen kann. daher kann auch sonntag nicht ausgeschlossen werden.

3. Analyse: Die logische Argumentation des Gefangenen erfolgt als Rückwärtsinduktion. Das heißt, er beginnt seine Argumentation mit dem Ansatz: „Wenn ich noch am Samstagabend lebe…“ Das Argument kann nicht mehr verwendet werden, wenn er den Samstag nicht mehr erlebt, weil er zuvor hingerichtet wurde. Seine Argumentation impliziert, dass er noch am Leben sein wird, um sicher oder überrascht zu sein. Oder anders ausgedrückt: Aus der Annahme, dass die Hinrichtung nicht bis einschließlich Samstag stattgefunden hat, kann richtig geschlossen werden, dass Sonntag auch nicht das Datum der Hinrichtung ist. Die weiteren Schlussfolgerungen werden dann aus dieser ersten Schlussfolgerung abgeleitet, nämlich dass Samstag, dann Freitag, dann Donnerstag usw. ebenfalls ausgeschlossen werden sollten. Da diese Schlussfolgerungen aufeinander und damit letztendlich auf der ersten beruhen, gelten sie alle nur, wenn die Voraussetzung für die erste Schlussfolgerung erfüllt ist, nämlich dass die Ausführung erst am Samstag stattgefunden hat. Der Gedankengang beweist also nur, dass der Straftäter nicht hingerichtet werden kann, wenn er bis Samstagabend überlebt hat. Ansonsten wiederholen die Schlussfolgerungen einfach ihre Annahme.

Logische Schule
Die Formulierung der Ankündigung des Richters in formale Logik wird durch die vage Bedeutung des Wortes „Überraschung“ erschwert. Ein Formulierungsversuch könnte sein:

Der Gefangene wird nächste Woche gehängt und das Datum (des Hängens) kann in der Nacht zuvor nicht aus der Annahme abgeleitet werden, dass das Hängen während der Woche stattfinden wird (A).

Aufgrund dieser Ankündigung kann der Gefangene schließen, dass das Aufhängen nicht am letzten Tag der Woche stattfinden wird. Um jedoch die nächste Stufe des Arguments zu reproduzieren, die den vorletzten Wochentag eliminiert, muss der Gefangene argumentieren, dass seine Fähigkeit, aus Aussage (A) abzuleiten, dass das Hängen nicht am letzten Tag stattfinden wird, impliziert dass ein Hängen vom vorletzten Tag nicht überraschend wäre. Da die Bedeutung von „überraschend“ auf die Annahme beschränkt ist, dass das Hängen während der Woche stattfinden wird, anstatt nicht aus Aussage (A) abzuleiten, wird das Argument blockiert.

Dies legt nahe, dass eine bessere Formulierung tatsächlich wäre:

Der Gefangene wird nächste Woche gehängt und sein Datum kann in der Nacht vor der Verwendung dieser Aussage als Axiom nicht abgeleitet werden (B).

Fitch hat gezeigt, dass diese Aussage immer noch in formaler Logik ausgedrückt werden kann. Mit einer äquivalenten Form des Paradoxons, die die Länge der Woche auf nur zwei Tage reduziert, bewies er, dass Selbstreferenz zwar nicht unter allen Umständen unzulässig ist, in diesem Fall jedoch, weil die Aussage selbst widersprüchlich ist.

Erkenntnistheoretische Schule
Es wurden verschiedene erkenntnistheoretische Formulierungen vorgeschlagen, die zeigen, dass die stillschweigenden Annahmen des Gefangenen über das, was er in Zukunft wissen wird, zusammen mit mehreren plausiblen Annahmen über das Wissen inkonsistent sind.

Chow (1998) liefert eine detaillierte Analyse einer Version des Paradoxons, in der an einem von zwei Tagen ein Überraschungsaufhängen stattfinden soll. Wenn wir Chows Analyse auf den Fall des unerwarteten Hängens anwenden (der Einfachheit halber verkürzt sich die Woche erneut auf zwei Tage), beginnen wir mit der Beobachtung, dass die Ankündigung des Richters drei Dinge zu bestätigen scheint:

S1: Das Aufhängen erfolgt am Montag oder Dienstag.
S2: Wenn das Aufhängen am Montag stattfindet, weiß der Gefangene am Sonntagabend nicht, dass es am Montag stattfinden wird.
S3: Wenn das Hängen am Dienstag stattfindet, weiß der Gefangene am Montagabend nicht, dass es am Dienstag stattfinden wird.

In einem ersten Schritt begründet der Gefangene, dass ein Szenario, in dem das Erhängen am Dienstag stattfindet, unmöglich ist, weil es zu einem Widerspruch führt: Einerseits könnte der Gefangene nach S3 den am Montagabend hängenden Dienstag nicht vorhersagen; Auf der anderen Seite könnte der Gefangene durch S1 und den Prozess der Ausscheidung den Dienstag vorhersagen, der am Montagabend hängt.

Chows Analyse weist auf einen subtilen Fehler in der Argumentation des Gefangenen hin. Was unmöglich ist, ist kein hängender Dienstag. Was unmöglich ist, ist vielmehr eine Situation, in der das Erhängen am Dienstag stattfindet, obwohl der Gefangene am Montagabend weiß, dass die Behauptungen S1, S2 und S3 des Richters alle wahr sind.

Die Argumentation des Gefangenen, die das Paradoxon hervorruft, kann auf den Weg gebracht werden, da der Gefangene stillschweigend davon ausgeht, dass er am Montagabend (wenn er noch lebt) S1, S2 und S3 als wahr kennt. Diese Annahme scheint aus verschiedenen Gründen nicht gerechtfertigt zu sein. Es kann argumentiert werden, dass die Aussage des Richters, dass etwas wahr ist, niemals ein ausreichender Grund für den Gefangenen sein kann, zu wissen, dass es wahr ist. Selbst wenn der Gefangene weiß, dass etwas im gegenwärtigen Moment wahr ist, können unbekannte psychologische Faktoren dieses Wissen in Zukunft löschen. Schließlich schlägt Chow vor, dass, weil die Aussage, von der der Gefangene „wissen“ soll, dass sie wahr ist, eine Aussage über seine Unfähigkeit ist, bestimmte Dinge zu „wissen“, Grund zu der Annahme besteht, dass das unerwartete Paradoxon einfach eine kompliziertere Version von ist Moores Paradoxon. Eine geeignete Analogie kann erreicht werden, indem die Länge der Woche auf nur einen Tag reduziert wird. Dann lautet das Urteil des Richters: Sie werden morgen gehängt, aber das wissen Sie nicht.

Es wurde vorgeschlagen, dass die logische Beseitigung des Gefangenen jeden Wochentag zu einem gültigen Tag für die Hinrichtung macht.

Kommentar
Dieses Paradoxon ist so beunruhigend, weil es trotz der Tatsache, dass die Schüler zu beweisen scheinen, dass die Behauptung selbst widersprüchlich ist, am Ende wahr ist. Für sie wurden mehrere Resolutionen vorgeschlagen.

Man kann sagen, dass nicht klar ist, was die Schüler erwarten dürfen und wann sie überrascht sein sollen. Wenn die Schüler paranoid sind und jeden Tag glauben, dass sie den Test am nächsten Tag haben werden, ist dies offensichtlich keine Überraschung und das Paradoxon verschwindet. Wenn wir das Paradoxon studieren, bieten wir nicht die Möglichkeit, ihre Entscheidung zu wiederholen. Das heißt, wir glauben, dass die Schüler am Tag der Prüfung nur einmal wählen dürfen. In ihren Überlegungen bieten die Schüler jedoch diese Freiheit an: „Wenn wir sie am Donnerstag nicht haben, werden wir entscheiden, dass es Freitag sein soll, also werden wir am Mittwoch entscheiden, dass es Donnerstag sein soll…“.

Eine andere mögliche Lösung besteht darin, den Standpunkt der Schüler mit dem des Rest der Welt zu vergleichen. Wir können sagen, dass sie „überrascht“ sein werden, wenn sie nicht vernünftig und konsequent beweisen können, dass dies auf diese Weise geschehen wird, indem sie die Behauptungen des Lehrers als Axiome verwenden. In diesem Fall sind die Schüler zum Zeitpunkt der Prüfung wirklich überrascht. Obwohl sie nicht nachweisen konnten, wann der Test stattfinden wird, konnten alle anderen Beobachter dies. Der Widerspruch ist erst aufgetreten, als die Schüler versuchen, ihn zu beweisen.

Dieses Paradoxon ist analog zum Paradoxon des Lügners in dem Sinne, dass seine Axiome Selbstreferenzen sind, das heißt, sie sprechen von seiner eigenen Wahrhaftigkeit. Es unterscheidet sich davon darin, dass es ein neues Element hinzufügt, nämlich dass sie angeben, welche Person sie ausprobieren soll. Das Wort „Überraschung“ ist im Wesentlichen ein Axiom, das besagt, dass Schüler bestimmte Dinge nicht ausprobieren können, während alle anderen dies tun. Dies bedeutet, dass es wirklich kein Paradoxon gibt, da es durchaus möglich ist, dass wir etwas beweisen können, was die Schüler nicht können, da sich die Axiome auf denjenigen beziehen, der den Test durchführt.

Es ist interessant festzustellen, dass Gödels Unvollständigkeitssatz als ein Weg gesehen werden kann, das Paradox des Lügners in formale Mathematik zu übersetzen, da er einen formalen Weg gefunden hat, die Axiome sich selbst referenzieren zu lassen. Für dieses Paradoxon gibt es keine solche Übersetzung, da sich formale Axiome auf diese Weise nicht auf einen bestimmten Beobachter beziehen können.

In der Literatur
Das Paradoxon erscheint im Roman Mr Mee von Andrew Crumey:

Tissot zeigte ein ähnliches Missverständnis meiner Lehre, als ich, verärgert über seine anhaltende Morosität und seine fast permanente Belegung meines Schreibtisches, zu ihm sagte: »Nächste Woche werde ich Ihre Frau hierher bringen, damit Sie mit ihr sprechen können Person und klären Sie Ihre Schwierigkeiten. Ich weiß, dass du sie nicht sehen willst, und deshalb werde ich dir nicht sagen, an welchem ​​Tag sie ankommen wird. aber du kannst sicher sein, dass du sie treffen wirst, bevor die Woche abläuft. ‚

Tissot wusste, dass seine Frau nächsten Freitag nicht dazu gebracht werden würde, ihn zu konfrontieren, denn in diesem Fall konnte er bis Donnerstagabend sicher sein, dass sie kommen musste, und er konnte sich abwesend machen. Aber genauso müsste ich auch Donnerstag meiden, da er sonst gewarnt würde, wenn Mittwoch ohne Szene vergeht. Tissot entließ jeden zweiten Tag auf ähnliche Weise und kam zu dem Schluss, dass seine Frau niemals unerwartet auftauchen konnte, um ihn anzusprechen. aber am Donnerstag öffnete er die Tür, um nicht nur von ihr, sondern auch von ihrer Mutter begrüßt zu werden, die ihn beide fest um die Ohren boxten, während ich mich knapp machte und leise beurteilte, dass ein so armer Logiker alles verdiente, was er bekam.

Das Paradoxon erscheint auch in dem Kinderroman More Sideways Arithmetic From Wayside School von Louis Sachar. In einer der Geschichten plant die Lehrerin, Mrs. Jewls, in der folgenden Woche ein Pop-Quiz, wird die Klasse jedoch nicht im Voraus informieren. Anders als im klassischen Paradoxon veranlassen die Schüler, die die Tage nacheinander eliminieren, Frau Jewls, die Idee aufzugeben.