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Logik Paradoxe

Barbier-Paradoxon

Das Barbier-Paradoxon ist ein Rätsel, das aus Russells Paradoxon abgeleitet ist. Es wurde von Bertrand Russell selbst als Illustration des Paradoxons verwendet, obwohl er es einer unbenannten Person zuschreibt, die es ihm vorschlug. Das Rätsel zeigt, dass ein scheinbar plausibles Szenario logisch unmöglich ist. Insbesondere beschreibt es einen Friseur, der so definiert ist, dass er sich sowohl rasiert als auch nicht selbst rasiert.

Paradox
Der Friseur ist derjenige, der „all jene rasiert und nur jene, die sich nicht rasieren“. Die Frage ist, rasiert sich der Friseur?

Die Beantwortung dieser Frage führt zu einem Widerspruch. Der Friseur kann sich nicht rasieren, da er nur diejenigen rasiert, die sich nicht rasieren. Wenn er sich also rasiert, hört er auf, der Friseur zu sein. Umgekehrt, wenn der Friseur sich nicht rasiert, passt er in die Gruppe der Menschen, die vom Friseur rasiert würden, und muss sich daher als Friseur rasieren.

Geschichte
Dieses Paradoxon wird oft fälschlicherweise Bertrand Russell zugeschrieben (z. B. von Martin Gardner in Aha!). Es wurde Gardner als alternative Form von Russells Paradox vorgeschlagen, das Russell entwickelt hatte, um zu zeigen, dass die von Georg Cantor und Gottlob Frege verwendete Mengenlehre Widersprüche enthielt. Russell bestritt jedoch, dass das Paradoxon des Barbiers eine eigene Instanz sei:

Dieser Widerspruch [Russells Paradoxon] ist äußerst interessant. Sie können die Form ändern. Einige Formen der Änderung sind gültig, andere nicht. Mir wurde einmal ein Formular vorgeschlagen, das nicht gültig war, nämlich die Frage, ob sich der Friseur rasiert oder nicht. Sie können den Friseur als „jemanden definieren, der all diese und nur diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren“. Die Frage ist, rasiert sich der Friseur? In dieser Form ist der Widerspruch nicht sehr schwer zu lösen. Aber in unserer vorherigen Form denke ich, dass es klar ist, dass man es nur umgehen kann, wenn man beobachtet, dass die ganze Frage, ob eine Klasse ein Mitglied von sich selbst ist oder nicht, Unsinn ist, dh dass keine Klasse ein Mitglied von sich selbst ist oder nicht und dass es nicht einmal wahr ist, das zu sagen, weil die ganze Form von Wörtern nur Lärm ohne Bedeutung ist.
– Bertrand Russell, Die Philosophie des logischen Atomismus

Dieser Punkt wird unter Angewandte Versionen von Russells Paradox weiter ausgeführt.

Erklärung
Wir können das Paradox wie folgt formulieren:

Der Gemeinderat eines Dorfes beschließt ein Gemeindedekret, das seinem (männlichen) Friseur vorschreibt, alle männlichen Bewohner des Dorfes zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese.

Der im Dorf lebende Friseur konnte diese Regel nicht einhalten, weil:

Wenn er sich rasiert, bricht er die Regel, weil der Friseur nur Männer rasieren kann, die sich nicht rasieren;
Wenn er sich nicht rasiert – ob er sich rasiert oder seinen Bart behält – ist er auch schuld, weil er für die Rasur von Männern verantwortlich ist, die sich nicht rasieren.
Diese Regel ist daher nicht anwendbar. Ist dies jedoch ein Paradoxon? Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass ein Dorfrat oder eine andere Einrichtung die Quelle eines absurden Gesetzes sein könnte. Dieses „Paradoxon“ ist keine logische Antinomie, sondern zeigt lediglich, dass ein Friseur, der diese Regel respektiert, nicht existieren kann. Es ist eine Illustration dessen, was, wenn R eine willkürliche binäre Beziehung ist (in diesem Fall „… rasieren…“), die folgende Aussage ist, die in formaler Sprache geschrieben ist:

¬ ∃ y ∀ x (y R x ¬ x R x)
ist eine universell gültige Formel zur Berechnung von Prädikaten erster Ordnung. Wir werden auf den Artikel über Russells Paradoxon verweisen, um zu sehen, warum dies im Fall der Zugehörigkeitsbeziehung in einer zu naiven Mengenlehre zu einer echten Antinomie führen kann, dh zu einem theoretisch aufgezeigten Widerspruch.

Da es tatsächlich für jede (binäre) Beziehung gilt, kann man ihr mit mehr oder weniger Glück mehrere Varianten geben. Lassen Sie uns diesen aufgrund von Martin Gardner zitieren: Ist es logisch möglich, einen Katalog zu schreiben, der alle Kataloge auflistet, die sich nicht selbst auflisten, und nur diese? Die Antwort lautet Nein, da dieser Katalog weder aufgelistet noch aufgelistet werden kann.

In der Logik erster Ordnung
{\ displaystyle (\ existiert x) ({\ text {person}} (x) \ wedge (\ forall y) ({\ text {person}} (y) \ rightarrow ({\ text {shaves}} (x, y) \ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}} (y, y))))}
Dieser Satz ist wegen des universellen Quantifizierers unbefriedigend (ein Widerspruch)(\für alle ). Der universelle Quantifizierer y enthält jedes einzelne Element in der Domäne, einschließlich unseres berüchtigten Friseurs x. Wenn also y der Wert x zugewiesen wird, kann der Satz umgeschrieben werden{\ text {shaves}} (x, x) \ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}} (x, x), was ein Beispiel für den Widerspruch ista \ leftrightarrow \ neg a.

Varianten
Es gibt viele Varianten des Paradoxons, zum Beispiel:

Der Sevilla-Friseur rasiert alle Sevilla-Männer, außer denen, die sich rasieren. Diese Dekoration liefert nicht Russells sinnlose Definition, sondern impliziert nur, dass der Friseur kein Mann aus Sevilla ist (vielleicht eine Friseurin oder ein Friseur, der dort aus einer Nachbarstadt arbeitet).

Ein paradoxer Befehl: „Alle Bürgermeister dürfen nicht in ihrer eigenen Stadt leben, sondern müssen in die eigens eingerichtete Bürgermeisterstadt Bümstädt ziehen. Wo wohnt jetzt der Bürgermeister von Bümstädt? ”

Annäherung an die Russellsche Antinomie: Eine Bibliothek möchte einen Bibliographiekatalog erstellen, in dem alle Bibliographiekataloge aufgelistet sind, die keinen Verweis auf sich selbst enthalten. Soll dieser Katalog auch aufgeführt werden? In diesem Fall erhält er einen Verweis auf sich selbst und gehört dennoch nicht zu den aufgeführten Katalogen. Wenn nicht, enthält es keinen Verweis auf sich selbst und gehört dennoch zu dieser Menge.

Der alte Sophismus von Euathlos ist ebenfalls verwandt.