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Logik Paradoxe

Hilbert-Bernays-Paradoxon

Das Hilbert-Bernays-Paradoxon ist ein charakteristisches Paradoxon, das zur Familie der Referenzparadoxien gehört (wie Berrys Paradoxon). Es ist nach David Hilbert und Paul Bernays benannt.

Geschichte
Das Paradoxon erscheint in Hilbert und Bernays ‚Grundlagen der Mathematik und wird von ihnen verwendet, um zu zeigen, dass eine ausreichend starke konsistente Theorie keinen eigenen Referenzfunktor enthalten kann. Obwohl es im Laufe des 20. Jahrhunderts weitgehend unbemerkt blieb, wurde es kürzlich wiederentdeckt und für seine besonderen Schwierigkeiten geschätzt.

Formulierung
So wie die semantische Eigenschaft der Wahrheit vom naiven Schema bestimmt zu sein scheint:

(T) Der Satz ‚P‘ ist genau dann wahr, wenn P.
(wo wir einfache Anführungszeichen verwenden, um auf den sprachlichen Ausdruck in den Anführungszeichen zu verweisen), scheint die semantische Eigenschaft der Referenz durch das naive Schema bestimmt zu werden:

(R) Wenn a existiert, ist der Referent des Namens ‚a‘ identisch mit a
Betrachten Sie jedoch einen Namen h für (natürliche) Zahlen, die Folgendes erfüllen:

(H) h ist identisch mit ‚(der Referenz von h) +1‘
Angenommen, für eine Zahl n:

(1) Der Referent von h ist identisch mit n
Dann existiert sicherlich der Referent von h und ebenso (der Referent von h) +1. Nach (R) folgt dann:

(2) Der Referent von ‚(der Referent von h) +1‘ ist identisch mit (dem Referenten von h) +1
und so ist es nach (H) und dem Prinzip der Ununterscheidbarkeit von Identitäten so:

(3) Der Referent von h ist identisch mit (dem Referenten von h) +1
Aber auch hier ergeben (1) und (3) durch Ununterscheidbarkeit von Identitäten:

(4) Der Referent von h ist identisch mit n + 1
und durch Transitivität der Identität ergibt (1) zusammen mit (4):

(5) n ist identisch mit n + 1
Aber (5) ist absurd, da keine Zahl mit ihrem Nachfolger identisch ist.

Lösungen
Da jede hinreichend starke Theorie so etwas wie (H) akzeptieren muss, kann Absurdität nur vermieden werden, indem das Prinzip der naiven Referenz (R) abgelehnt wird oder indem die klassische Logik abgelehnt wird (die die Argumentation aus (R) und bestätigt) (H) zur Absurdität). Beim ersten Ansatz überträgt sich normalerweise alles, was man über das Lügner-Paradoxon sagt, reibungslos auf das Hilbert-Bernays-Paradoxon. Das Paradoxon stellt stattdessen für viele Lösungen, die den zweiten Ansatz verfolgen, besondere Schwierigkeiten dar: Zum Beispiel haben Lösungen für das Lügnerparadoxon, die das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (das vom Hilbert-Bernays-Paradoxon nicht verwendet wird) ablehnen, bestritten, dass es so etwas wie gibt der Referent von h;