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Logik Paradoxe

Barbershop-Paradoxon

Das Barbershop-Paradoxon wurde von Lewis Carroll in einem dreiseitigen Aufsatz mit dem Titel „A Logical Paradox“ vorgeschlagen, der in der Juli-Ausgabe 1894 von Mind erschien. Der Name stammt von der „dekorativen“ Kurzgeschichte, die Carroll in dem Artikel verwendet, um das Paradoxon zu veranschaulichen. Es existierte zuvor in mehreren alternativen Formen in seinem Schreiben und in seiner Korrespondenz, wobei nicht immer ein Friseurladen involviert war. Carroll beschrieb es als Beispiel für „eine sehr reale Schwierigkeit in der Theorie der Hypothesen“. Aus Sicht der modernen Logik wird es weniger als Paradoxon als als einfacher logischer Fehler gesehen. Es ist jetzt hauptsächlich als eine Episode in der Entwicklung algebraischer logischer Methoden von Interesse, wenn diese (selbst unter Logikern) nicht so weit verbreitet waren, obwohl das Problem weiterhin in Bezug auf Implikationstheorien und modale Logik diskutiert wird.

Das Paradox
In der Geschichte gehen Onkel Joe und Onkel Jim zum Friseurladen. Sie erklären, dass drei Friseure im Geschäft leben und arbeiten – Allen, Brown und Carr – und einige oder alle von ihnen sind möglicherweise in. Wir erhalten zwei Informationen, aus denen wir Schlussfolgerungen ziehen können. Erstens ist der Laden definitiv geöffnet, also muss mindestens einer der Friseure da sein. Zweitens soll Allen sehr nervös sein, so dass er den Laden nie verlässt, wenn Brown nicht mit ihm geht.

Laut Onkel Jim ist Carr ein sehr guter Friseur, und er möchte wissen, ob Carr da sein wird, um ihn zu rasieren. Onkel Joe besteht darauf, dass Carr sicher dabei ist, und behauptet, dass er es logisch beweisen kann. Onkel Jim verlangt diesen Beweis.

Onkel Joe argumentiert wie folgt:

Angenommen, Carr ist raus. Wir werden zeigen, dass diese Annahme einen Widerspruch erzeugt. Wenn Carr draußen ist, dann wissen wir Folgendes: „Wenn Allen draußen ist, dann ist Brown drin“, weil es jemanden geben muss, der sich um den Laden kümmert. Wir wissen aber auch, dass Allen Brown immer dann mitnimmt, wenn er ausgeht. In der Regel also: „Wenn Allen draußen ist, ist Brown draußen“. Die beiden Aussagen, zu denen wir gekommen sind, sind nicht kompatibel, denn wenn Allen draußen ist, kann Brown nicht sowohl In (nach dem einen) als auch Out (nach dem anderen) sein. Es gibt einen Widerspruch. Wir müssen also unsere Hypothese aufgeben, dass Carr Out ist, und daraus schließen, dass Carr In sein muss.

Onkel Jims Antwort ist, dass diese Schlussfolgerung nicht gerechtfertigt ist. Die richtige Schlussfolgerung aus der Inkompatibilität der beiden „Hypothesen“ ist, dass das, was in ihnen angenommen wird (dass Allen aus ist), unter unserer Annahme, dass Carr aus ist, falsch sein muss. Dann erlaubt uns unsere Logik einfach, zu dem Schluss zu kommen: „Wenn Carr draußen ist, muss Allen unbedingt drin sein.“

Der historische Streit
Das Paradoxon entstand aus einer Meinungsverschiedenheit zwischen Carroll und seinem Kollegen aus Oxford, Wykeham-Professor für Logik John Cook Wilson, die beide einen langjährigen Gegensatz hatten. Das Problem wurde auch von anderen diskutiert, mit denen Carroll korrespondierte, und in späteren Artikeln, die unter anderem von John Venn, Alfred Sidgwick und Bertrand Russell veröffentlicht wurden, angesprochen. Cook Wilsons Ansicht wird in der Geschichte durch die Figur von Onkel Joe dargestellt, der zu beweisen versucht, dass Carr immer im Laden bleiben muss. Andere waren der gleichen Ansicht, als Carroll seine privat gedruckten Versionen des Problems in Umlauf brachte. Carroll bemerkte: „Ich stehe in diesem merkwürdigen Punkt mit etwa einem Dutzend Logikern in Korrespondenz. & Bisher scheinen die Meinungen über die Freiheit von C gleichermaßen geteilt zu sein. ”.: 445-448

Vereinfachung

Notation
Beim Lesen des Originals kann es hilfreich sein, Folgendes zu beachten:

Was Carroll „hypothetische“ nannte, nennen moderne Logiker „logische Bedingungen“.
Onkel Joe schließt seinen Beweis reductio ad absurdum ab, was auf Englisch „Beweis durch Widerspruch“ bedeutet.
Was Carroll die Protasis einer Bedingung nennt, wird jetzt als Antezedenz bezeichnet, und in ähnlicher Weise wird die Apodose jetzt als Konsequenz bezeichnet.
Symbole können verwendet werden, um logische Aussagen, wie sie in dieser Geschichte enthalten sind, erheblich zu vereinfachen:

Name des Bedieners) Umgangssprachlich Symbolisch
Negation NICHT nicht X. ¬ ¬X
Verbindung UND X und Y. X ∧ Y.
Disjunktion ODER X oder Y. X ∨ Y.
Bedingt WENN, DANN wenn X dann Y. X ⇒ Y.

Hinweis: X ⇒ Y (auch als „Implikation“ bekannt) kann auf Englisch auf viele Arten gelesen werden, von „X ist ausreichend für Y“ bis „Y folgt aus X“. (Siehe auch Tabelle der mathematischen Symbole.)

Restatement
Um Carrolls Geschichte einfacher wiederzugeben, werden wir die folgenden atomaren Aussagen treffen:

A = Allen ist im Laden
B = Brown ist in
C = Carr ist in
So steht zum Beispiel (¬A ∧ B) für „Allen ist raus und Brown ist rein“.

Onkel Jim gibt uns unsere zwei Axiome:

Es ist jetzt mindestens ein Friseur im Laden (A ∨ B ∨ C)
Allen verlässt den Laden niemals ohne Brown (¬A ⇒ ¬B)
Onkel Joe legt einen Beweis vor:

Abkürzung Englisch mit logischen Markierungen Hauptsächlich symbolisch
Angenommen, Carr ist NICHT in. H0: ¬C
Wenn NICHT C gegeben ist, WENN Allen NICHT in DANN ist, muss Brown in sein, um Axiom 1 (A1) zu erfüllen. Nach H0 und A1 ist ¬A ⇒ B.
Aber Axiom 2 (A2) gibt an, dass IF Allen allgemein wahr ist
ist nicht in DANN ist Brown nicht in (es ist immer wahr, dass wenn ¬A dann ¬B)
Mit A2 ist ¬A ⇒ ¬B
Bisher haben wir, dass NOT C sowohl (Not A THEN B) als auch (Not A THEN Not B) ergibt. Also ¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B))
Onkel Joe behauptet, dass diese widersprüchlich sind.
Daher muss Carr in sein. ∴C

Onkel Joe argumentiert grundsätzlich, dass (¬A ⇒ B) und (¬A ⇒ ¬B) widersprüchlich sind, und sagt, dass derselbe Vorgänger nicht zu zwei unterschiedlichen Konsequenzen führen kann.

Dieser angebliche Widerspruch ist der Kern von Joes „Beweis“. Carroll präsentiert dieses Ergebnis, das der Intuition trotzt, als Paradoxon in der Hoffnung, dass die zeitgenössische Ambiguität gelöst wird.

Diskussion
In der modernen Logiktheorie ist dieses Szenario kein Paradoxon. Das Implikationsgesetz gleicht das aus, was Onkel Joe für unvereinbare Hypothesen hält. Dieses Gesetz besagt, dass „wenn X dann Y“ logisch identisch ist mit „X ist falsch oder Y ist wahr“ (¬X ∨ Y). Angesichts der Aussage „Wenn Sie die Taste drücken, geht das Licht an“ muss es beispielsweise zu jedem Zeitpunkt zutreffen, dass Sie entweder die Taste nicht gedrückt haben oder das Licht leuchtet.

Kurz gesagt, es wird nicht erhalten, dass ¬C einen Widerspruch ergibt, sondern dass es A benötigt, weil ¬A das ist, was tatsächlich den Widerspruch ergibt.

In diesem Szenario bedeutet das, dass Carr nicht dabei sein muss, aber wenn er nicht dabei ist, muss Allen dabei sein.

Vereinfachung zu Axiom 1
Die Anwendung des Implikationsgesetzes auf die beleidigenden Bedingungen zeigt, dass man, anstatt sich zu widersprechen, einfach die Tatsache wiederholt, dass, da der Laden geöffnet ist, einer oder mehrere von Allen, Brown oder Carr in und der andere nur sehr wenig einschränkt, wer kann oder nicht im Laden sein.

Um dies zu sehen, greifen wir Jims großes „widersprüchliches“ Ergebnis an, hauptsächlich indem wir das Gesetz der Implikation wiederholt anwenden. Lassen Sie uns zunächst eine der beiden beleidigenden Bedingungen aufschlüsseln:

„Wenn Allen draußen ist, dann ist Brown draußen.“
„Allen ist rein oder Brown ist raus“
(¬A ⇒ ¬B)
(A ∨ ¬B)

Einsetzen in

„Wenn Carr draußen ist, dann wenn Allen auch draußen ist, dann ist Brown drin UND wenn Allen draußen ist, dann ist Brown draußen.“
¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B))

Welche Ausbeuten bei fortgesetzter Anwendung des Implikationsgesetzes ergeben,

„WENN Carr draußen ist, DANN, wenn Allen auch draußen ist, ist Brown drin UND entweder ist Allen drin oder Brown ist draußen.“
„WENN Carr draußen ist, dann sind beide wahr: Allen ist in ODER Brown ist in UND Allen ist in ODER Brown ist draußen.“
„Carr ist in ODER beide sind wahr: Allen ist in ODER Brown ist in UND Allen ist in ODER Brown ist draußen.“
¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (A ∨ ¬B))
¬C ⇒ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B))
C ∨ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ B))
Man beachte, dass: C (((A ∨ B) ∧ (A ∨ B)) zu C ∨ A vereinfacht werden kann
da ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) einfach A ist

Und schließlich (rechts verteilen wir auf die Klammern)

„Carr ist in ODER Entweder ist Allen in ODER Brown ist in UND Carr ist in ODER Entweder ist Allen in ODER Brown ist draußen.“
„Inklusive ist Carr in OR Allen ist in OR Brown ist in UND Inklusive ist Carr in OR Allen ist in OR Brown ist out.“
C ∨ (A ∨ B) ∧ C ∨ (A ∨ B)
(C ∨ A ∨ B) ∧ (C ∨ A ∨ B)

Die beiden Aussagen, die sofort wahr werden, lauten: „Eine oder mehrere von Allen, Brown oder Carr sind in“, was einfach Axiom 1 ist, und „Carr ist in oder Allen ist in oder Brown ist out“. Eine Möglichkeit, wie diese beiden Aussagen auf einmal wahr werden können, ist eindeutig der Fall, in dem Allen sich befindet (weil Allens Haus der Friseurladen ist und Brown irgendwann den Laden verlassen hat).

Eine andere Möglichkeit zu beschreiben, wie (X ⇒ Y) ⇔ (¬X ∨ Y) dies in einen gültigen Satz von Anweisungen auflöst, besteht darin, Jims Aussage, dass „Wenn Allen auch draußen ist…“ in „Wenn Carr draußen ist und Allen draußen ist, dann umzuformulieren Braun ist in ”((¬C ∧ ¬A) ⇒ B).

Bedingungen kompatibel anzeigen
Die beiden Bedingungen sind keine logischen Gegensätze: Um durch Widerspruch zu beweisen, musste Jim ¬C ⇒ (Z ∧ ¬Z) zeigen, wobei Z zufällig eine Bedingung ist.

Das Gegenteil von (A ⇒ B) ist ¬ (A ⇒ B), das sich nach dem De-Morgan-Gesetz in (A ∧ ¬B) auflöst, was überhaupt nicht dasselbe ist wie (¬A ∨ ¬B) ist das, worauf sich A ⇒ ¬B reduziert.

Diese Verwirrung über die „Kompatibilität“ dieser beiden Bedingungen wurde von Carroll vorausgesehen, der sie am Ende der Geschichte erwähnt. Er versucht, das Problem zu klären, indem er argumentiert, dass die Protasis und Apodose der Implikation „Wenn Carr in… ist“ „falsch geteilt“ sind. Die Anwendung des Implikationsgesetzes beseitigt jedoch das „Wenn…“ vollständig (reduziert auf Disjunktionen), sodass keine Protasis und Apodose existieren und kein Gegenargument erforderlich ist.