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Pinocchio-Paradoxon

Das Pinocchio-Paradoxon entsteht, wenn Pinocchio sagt „Meine Nase wächst jetzt“ und eine Version des Lügner-Paradoxons ist. Das Lügnerparadoxon wird in Philosophie und Logik als die Aussage „Dieser Satz ist falsch“ definiert. Jeder Versuch, dieser Aussage einen klassischen binären Wahrheitswert zuzuweisen, führt zu einem Widerspruch oder Paradoxon. Dies liegt daran, dass wenn die Aussage „Dieser Satz ist falsch“ wahr ist, sie falsch ist; Dies würde bedeuten, dass es technisch wahr ist, aber auch, dass es falsch ist, und so weiter ohne Ende. Obwohl das Pinocchio-Paradoxon zur Tradition des Lügnerparadoxons gehört, ist es ein Sonderfall, da es keine semantischen Prädikate hat, wie zum Beispiel „Mein Satz ist falsch“.

Das Pinocchio-Paradoxon hat nichts damit zu tun, dass Pinocchio ein bekannter Lügner ist. Wenn Pinocchio sagen würde „Ich werde krank“, könnte dies entweder wahr oder falsch sein, aber Pinocchios Satz „Meine Nase wächst jetzt“ kann weder wahr noch falsch sein; daher schafft dieser und nur dieser Satz das Pinocchio (Lügner) -Paradoxon.

Geschichte
Pinocchio ist ein Held des Kinderromanes The Adventures of Pinocchio von 1883 des italienischen Autors Carlo Collodi. Pinocchio, eine animierte Marionette, wird für jede Lüge, die er erzählt, bestraft, indem er seine Nase weiter wachsen lässt. Es gibt keine Einschränkungen hinsichtlich der Länge von Pinocchios Nase. Es wächst, wenn er lügt und irgendwann so lange wächst, dass er nicht einmal seine Nase „durch die Tür des Raumes“ bekommen kann.

Das Pinocchio-Paradoxon wurde im Februar 2001 von der 11-jährigen Veronique Eldridge-Smith vorgeschlagen. Veronique ist die Tochter von Peter Eldridge-Smith, der sich auf Logik und Logikphilosophie spezialisiert hat. Peter Eldridge-Smith erklärte Veronique und Veroniques älterem Bruder das Lügnerparadoxon und bat die Kinder, ihre eigenen Versionen des berühmten Paradoxons zu entwickeln. In wenigen Minuten schlug Veronique vor: „Pinocchio sagt: ‚Meine Nase wird wachsen‘.“ Eldridge-Smith mochte die Formulierung des von seiner Tochter vorgeschlagenen Paradoxons und schrieb einen Artikel zu diesem Thema. Der Artikel wurde in der Zeitschrift Analysis veröffentlicht und das Pinocchio-Paradoxon wurde im Internet populär.

Das Paradox
Das von Veronique vorgeschlagene Paradoxon „Meine Nase wächst jetzt“ oder in der Zukunftsform: „wird wachsen“ lässt Raum für unterschiedliche Interpretationen. In dem Roman wächst Pinocchios Nase weiter, während er lügt: „Während er sprach, wurde seine Nase, obwohl sie es war, mindestens zwei Zoll länger.“ Die Frage der Logiker, ob der Satz „Meine Nase wird wachsen“ der einzige Satz war, den Pinocchio sprach, hat er gelogen, bevor er sagte „Meine Nase wird wachsen“, oder ob er eine Lüge erzählen würde – und wie lange würde dauert es, bis seine Nase wächst?

Die Gegenwart des gleichen Satzes „Meine Nase wächst jetzt“ oder „Meine Nase wächst“ scheint eine bessere Gelegenheit zu bieten, das Lügnerparadoxon zu erzeugen.

Der Satz „Meine Nase wächst“ kann entweder wahr oder falsch sein.

Angenommen, der Satz: „Meine Nase wächst jetzt“ ist wahr:

Was bedeutet, dass Pinocchios Nase jetzt wächst, weil er ehrlich sagt, dass es so ist, aber dann
Pinocchios Nase wächst jetzt nicht, weil sie laut Roman nur wächst, wenn Pinocchio liegt, aber dann
Pinocchios Nase wächst jetzt, weil Pinocchios Nase jetzt nicht wächst, und Pinocchio sagt vertrauensvoll, dass sie jetzt wächst, und es ist falsch, was Pinocchios Satz falsch macht, aber dann
Pinocchios Nase wächst jetzt nicht, weil Pinocchios Nase jetzt wächst, und Pinocchio sagt vertrauensvoll, dass sie jetzt wächst, und es ist wahr, dass Pinocchios Satz wahr ist, aber dann
Und so weiter ohne Ende.

Angenommen, der Satz: „Meine Nase wächst jetzt“ ist falsch:

Was bedeutet, dass Pinocchios Nase jetzt nicht wächst, weil er fälschlicherweise sagt, dass es so ist, aber dann
Pinocchios Nase wächst jetzt, weil sie laut Roman nur wächst, wenn Pinocchio liegt, aber dann
Pinocchios Nase wächst jetzt nicht, weil Pinocchios Nase jetzt wächst, und Pinocchio sagt fälschlicherweise, dass sie jetzt wächst, und es ist falsch, dass Pinocchios Satz wahr ist, aber dann
Pinocchios Nase wächst jetzt, weil Pinocchios Nase jetzt nicht wächst, und Pinocchio sagt fälschlicherweise, dass sie jetzt wächst, und es ist wahr, dass Pinocchios Satz falsch ist, aber dann
Und so weiter ohne Ende.

Und nur um es einfacher zu machen, wie Eldridge-Smith feststellt, „wächst Pinocchios Nase genau dann, wenn sie nicht wächst“, was Pinocchios Satz zu einer „Version des Lügners“ macht.

Eldridge-Smith argumentiert, dass das Pinocchio-Paradoxon kein semantisches Paradoxon ist, da die Ausdrücke „ist nicht wahr“ und „wächst“ keine Synonyme sind:

Das Pinocchio-Paradoxon ist in gewisser Weise ein Gegenbeispiel zu Lösungen für den Lügner, die semantische Prädikate aus einer Objektsprache ausschließen würden, weil „wächst“ kein semantisches Prädikat ist.

Eldridge-Smith glaubt an Alfred Tarskis Theorie, in der er feststellt, dass Lügnerparadoxien nur in Sprachen diagnostiziert werden sollten, die „semantisch geschlossen“ sind. Damit meint er eine Sprache, in der es möglich ist, dass ein Satz die Wahrheit (oder Falschheit) eines Satzes in derselben Sprache aussagt, sollte nicht auf das Pinocchio-Paradox angewendet werden:

Das Pinocchio-Paradoxon wirft ein rein logisches Problem für jede strikte oder liberale Lösung der Metasprache-Hierarchie auf. Das Pinocchio-Szenario wird in unserer Welt nicht auftauchen, es ist also kein pragmatisches Thema. Es scheint jedoch, dass es eine logisch mögliche Welt geben könnte, in der Pinocchios Nase genau dann wächst, wenn er etwas sagt, das nicht wahr ist. Es kann jedoch keine so logisch mögliche Welt geben, in der er die Aussage „Meine Nase wächst“ macht. Ein Ansatz der Metasprachenhierarchie kann dies nicht auf der Grundlage von Tarskis Analyse erklären und kann daher das Pinocchio-Paradoxon, eine Version des Lügners, nicht lösen.

In seinem nächsten Artikel „Pinocchio gegen die Dialetheisten“ stellt Eldridge-Smith fest: „Wenn es ein wahrer Widerspruch ist, dass Pinocchios Nase wächst und nicht wächst, dann ist eine solche Welt metaphysisch unmöglich, nicht nur semantisch unmöglich.“ Dann erinnert er die Leser daran, dass Sokrates, als er (auf Buridans Brücke) fragte, ob er eine Brücke überqueren dürfe, antwortete, dass er die Brücke nur überqueren dürfe, „wenn Sie in der ersten Aussage, dass Sie etwas sagen würden, die Wahrheit sagen. Aber sicher, wenn du sprichst falsch, ich werde dich ins Wasser werfen. “ Sokrates antwortete: „Du wirst mich ins Wasser werfen.“ Sokrates ‚Antwort ist ein Sophismus, der Platon in eine schwierige Situation bringt. Er konnte Sokrates nicht ins Wasser werfen, denn damit hätte Platon sein Versprechen verletzt, Sokrates die Brücke überqueren zu lassen, wenn er die Wahrheit gesagt hätte. Andererseits, wenn Platon Sokrates erlaubt hätte, die Brücke zu überqueren, hätte dies bedeutet, dass Sokrates eine Unwahrheit sagte, als er antwortete: „Du wirst mich ins Wasser werfen“, und er hätte deshalb ins Wasser geworfen werden sollen . Mit anderen Worten, Sokrates könnte die Brücke nur dann überqueren dürfen, wenn er es nicht könnte.

Lösungen

Futur
William F. Vallicella gibt zwar zu, dass er die in Analysis veröffentlichten Artikel nicht gelesen hat, sagt jedoch, dass er in der Zukunftsform des Satzes „Meine Nase wird jetzt wachsen“ oder in der Gegenwartsform des Satzes kein Paradoxon sieht. “ Meine Nase wächst jetzt „.

Vallicella argumentiert, dass der Satz der Zukunftsform das Lügnerparadoxon nicht erzeugen kann, da dieser Satz niemals als Falschheit behandelt werden kann. Er erklärt seinen Standpunkt anhand dieses Beispiels: „Angenommen, ich sage voraus, dass mein Blutdruck morgen früh um 6 Uhr 125/75 sein wird, aber meine Vorhersage stellt sich als falsch heraus: Mein Blutdruck am nächsten Morgen ist 135/85. Niemand, der Ich hörte, dass meine Vorhersage behaupten könnte, ich hätte gelogen, als ich es geschafft habe, selbst wenn ich die Absicht hatte, meine Hörer zu täuschen. Obwohl ich (was sich herausstellte) eine falsche Aussage mit der Absicht machte, zu täuschen, hatte ich keine Möglichkeit, genau zu wissen was mein Blutdruck am nächsten Tag sein würde. “ Die gleiche Erklärung könnte verwendet werden, um Pinocchios Satz zu erklären. Selbst wenn sich seine Vorhersage, dass seine Nase wachsen wird, als falsch herausstellt, ist es unmöglich zu behaupten, dass er gelogen hat.

Wenn Pinocchio sagt „Meine Nase wächst jetzt“, lügt er entweder oder nicht. Wenn er lügt, macht er eine falsche Aussage, was impliziert, dass seine Nase jetzt nicht wächst. Wenn er nicht lügt, ist seine Aussage entweder wahr oder falsch, was bedeutet, dass entweder seine Nase jetzt wächst oder seine Nase jetzt nicht wächst. Daher wächst entweder seine Nase jetzt nicht oder seine Nase wächst jetzt. Das ist aber völlig unproblematisch.

Vallicellas Argument kann jedoch folgendermaßen kritisiert werden: Im Gegensatz zu Pinocchio reagiert Vallicellas Blutdruck nicht auf die Richtigkeit seiner eigenen Aussagen. Pinocchio, der im Rahmen der Beobachtung operiert, dass seine Nase wächst, wenn und nur wenn er lügt, würde jedoch eine induktiv begründete Aussage machen, die er aufgrund seiner früheren Erfahrungen für wahr hält.

Diese Kritik an Vallicellas Argumentation kann aber auch in Frage gestellt werden. Basierend auf Pinocchios vermutetem Verständnis der Art, wann und warum seine Nase wächst, kann „meine Nase wächst jetzt“ nur dann „induktiv begründet“ werden, wenn Pinocchio sich auf eine Lüge bezog, die er zuvor richtig dargelegt hatte. Für Pinocchio ist „meine Nase wächst jetzt“ eine Aussage, die lediglich impliziert, dass alles, was er zuvor gesagt hat, eine Lüge war und dass daher seine Nase aufgrund dieser Lüge wahrscheinlich jetzt wachsen wird. In diesem Zusammenhang ist die Aussage „meine Nase wächst jetzt“ eine Vorhersage oder eine „gebildete“ Vermutung, die ihrer Natur nach nicht als Lüge ausgelegt werden kann. Ob seine Nase jetzt wächst oder nicht, hängt also nur davon ab, was er vor „Meine Nase wächst jetzt“ gesagt hat.

Den gesunden Menschenverstand anwenden
Wie bei vielen Paradoxien bietet die Anwendung realer Logik, die gemeinsame Bedeutung von Wörtern oder Phrasen oder die Kenntnis der Umstände eines Paradoxons eine Lösung, die das Problem vermeidet. Für dieses Paradoxon kann man einfach sagen, dass Pinocchios Nase nur wachsen wird, wenn er absichtlich unehrlich ist, da der Zweck seiner Eigenschaften darin besteht, den richtigen Charakter zu lehren. Zum Beispiel können die Eigenschaften von Pinocchios Nase nicht dazu verwendet werden, die Gültigkeit wissenschaftlicher Theorien zu bestimmen oder die Zukunft vorherzusagen, indem er behauptet: „Ein Meteorit wird 2022 auf die Erde fallen.“ Da es keine Lösung für dieses Paradoxon gibt, kann er nicht absichtlich über das Ergebnis lügen. Pinocchios Nase wächst nicht.

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Lügnerparadoxon

In Philosophie und Logik ist das klassische Lügnerparadoxon oder das Lügnerparadoxon oder die Antinomie des Lügners die Aussage eines Lügners, dass er oder sie lügt: zum Beispiel zu erklären, dass „ich lüge“. Wenn der Lügner tatsächlich lügt, dann sagt der Lügner die Wahrheit, was bedeutet, dass der Lügner nur gelogen hat. In „Dieser Satz ist eine Lüge“ wird das Paradoxon gestärkt, um es einer strengeren logischen Analyse zugänglich zu machen. Es wird immer noch allgemein als „Lügnerparadoxon“ bezeichnet, obwohl die Abstraktion genau von dem Lügner erfolgt, der die Aussage macht. Der Versuch, dieser Aussage, dem gestärkten Lügner, einen klassischen binären Wahrheitswert zuzuordnen, führt zu einem Widerspruch.

Im Allgemeinen wird der Begriff „Paradox des Lügners“ häufiger verwendet, obwohl die Abstraktion genau vom Lügner selbst vorgenommen wird. Beim Versuch, der Aussage des verstärkten Lügners einen binären Wahrheitswert zuzuweisen, wird ein Widerspruch erreicht.

Wenn „dieser Satz ist falsch“ wahr ist, dann ist er falsch, aber der Satz besagt, dass er falsch ist, und wenn er falsch ist, muss er wahr sein und so weiter.

Um zu verhindern, dass sich eine Aussage auf ihren eigenen logischen Wert bezieht, kann man das Paradoxon auch folgendermaßen konstruieren, das als verstärktes Lügenparadoxon bezeichnet wird: Die folgende Aussage ist wahr. Die vorherige Aussage ist falsch.

Geschichte
Das Epimenides-Paradoxon (um 600 v. Chr.) Wurde als Beispiel für das Lügner-Paradoxon vorgeschlagen, aber sie sind logisch nicht äquivalent. Der halbmythische Seher Epimenides, ein Kreter, erklärte Berichten zufolge: „Alle Kreter sind Lügner.“ Die Aussage von Epimenides, dass alle Kreter Lügner sind, kann jedoch als falsch eingestuft werden, da er mindestens einen anderen Kreter kennt, der nicht lügt. Gerade um Unsicherheiten zu vermeiden, die sich aus dem menschlichen Faktor und aus unscharfen Konzepten ergeben, schlugen moderne Logiker einen „verstärkten“ Lügner wie den Satz „Dieser Satz ist falsch“ vor.

Der Name des Paradoxons bedeutet im Altgriechischen pseudómenos lógos (ψεψδόμενος λόγος). Eine Version des Lügnerparadoxons wird dem griechischen Philosophen Eubulides von Milet zugeschrieben, der im 4. Jahrhundert vor Christus lebte. Berichten zufolge fragte Eubulides: „Ein Mann sagt, dass er lügt. Ist das, was er sagt, wahr oder falsch?“

Das Paradoxon wurde einmal vom heiligen Hieronymus in einer Predigt besprochen:

„Ich sagte alarmiert: Jeder Mann ist ein Lügner!“ Sagt David die Wahrheit oder lügt er? Wenn es wahr ist, dass jeder Mann ein Lügner ist und Davids Aussage „Jeder Mann ist ein Lügner“ wahr ist, dann lügt auch David; Auch er ist ein Mann. Aber wenn auch er lügt, ist seine Aussage, dass „jeder Mann ein Lügner ist“, folglich nicht wahr. Wie auch immer Sie den Satz drehen, die Schlussfolgerung ist ein Widerspruch. Da David selbst ein Mann ist, folgt daraus, dass er auch lügt; aber wenn er lügt, weil jeder Mann ein Lügner ist, ist seine Lüge von einer anderen Art.

Der indische Grammatik-Philosoph Bhartrhari (Ende des 5. Jahrhunderts n. Chr.) War sich eines Lügnerparadoxons bewusst, das er als „alles, was ich sage, ist falsch“ (sarvam mithyā bravīmi) formulierte. Er analysiert diese Aussage zusammen mit dem Paradoxon der „Unbedeutbarkeit“ und untersucht die Grenze zwischen Aussagen, die im täglichen Leben unproblematisch sind, und Paradoxien.

Es gab Diskussionen über das Lügnerparadoxon in der frühislamischen Tradition für mindestens fünf Jahrhunderte, beginnend mit dem späten 9. Jahrhundert, und anscheinend ohne von irgendeiner anderen Tradition beeinflusst zu werden. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī könnte der erste Logiker gewesen sein, der das Lügnerparadoxon als selbstreferenziell identifiziert hat.

Erklärung und Varianten
Das Problem des Lügnerparadoxons ist, dass es zu zeigen scheint, dass gemeinsame Überzeugungen über Wahrheit und Falschheit tatsächlich zu einem Widerspruch führen. Sätze können konstruiert werden, denen nicht konsequent ein Wahrheitswert zugewiesen werden kann, obwohl sie vollständig mit Grammatik und semantischen Regeln übereinstimmen.

Die einfachste Version des Paradoxons ist der Satz:

A: Diese Aussage (A) ist falsch.

Wenn (A) wahr ist, dann ist „Diese Aussage ist falsch“ wahr. Daher muss (A) falsch sein. Die Hypothese, dass (A) wahr ist, führt zu der Schlussfolgerung, dass (A) falsch ist, ein Widerspruch.

Wenn (A) falsch ist, ist „Diese Aussage ist falsch“ falsch. Daher muss (A) wahr sein. Die Hypothese, dass (A) falsch ist, führt zu der Schlussfolgerung, dass (A) wahr ist, ein weiterer Widerspruch. In beiden Fällen ist (A) sowohl wahr als auch falsch, was ein Paradoxon ist.

Dass jedoch gezeigt werden kann, dass der Lügnersatz wahr ist, wenn er falsch ist, und falsch, wenn er wahr ist, hat einige zu dem Schluss geführt, dass er „weder wahr noch falsch“ ist. Diese Antwort auf das Paradoxon ist in der Tat die Ablehnung der Behauptung, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch sein muss, auch bekannt als das Prinzip der Bivalenz, ein Konzept, das sich auf das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte bezieht.

Der Vorschlag, dass die Aussage weder wahr noch falsch ist, hat zu der folgenden, verstärkten Version des Paradoxons geführt:

Diese Aussage ist nicht wahr. (B)

Wenn (B) weder wahr noch falsch ist, darf es nicht wahr sein. Da dies (B) selbst sagt, bedeutet dies, dass (B) wahr sein muss. Da anfangs (B) nicht wahr war und jetzt wahr ist, entsteht ein anderes Paradoxon.

Eine andere Reaktion auf das Paradoxon von (A) besteht darin, wie Graham Priest festgestellt hat, dass die Aussage sowohl wahr als auch falsch ist. Trotzdem ist selbst Priesters Analyse anfällig für die folgende Version des Lügners:

Diese Aussage ist nur falsch. (C)

Wenn (C) sowohl wahr als auch falsch ist, dann ist (C) nur falsch. Aber dann ist es nicht wahr. Da anfangs (C) wahr war und jetzt nicht wahr ist, ist es ein Paradoxon. Es wurde jedoch argumentiert, dass der dialetheische Ansatz durch die Verwendung einer zweiwertigen relationalen Semantik (im Gegensatz zur funktionalen Semantik) diese Version des Lügners überwinden kann.

Es gibt auch mehrsatzige Versionen des Lügnerparadoxons. Das Folgende ist die Zwei-Satz-Version:

Die folgende Aussage ist wahr. (D1)
Die vorstehende Aussage ist falsch. (D2)

Angenommen, (D1) ist wahr. Dann ist (D2) wahr. Dies würde bedeuten, dass (D1) falsch ist. Daher ist (D1) sowohl wahr als auch falsch.

Angenommen, (D1) ist falsch. Dann ist (D2) falsch. Dies würde bedeuten, dass (D1) wahr ist. Somit ist (D1) sowohl wahr als auch falsch. In beiden Fällen ist (D1) sowohl wahr als auch falsch – das gleiche Paradoxon wie (A) oben.

Die mehrsatzige Version des Lügnerparadoxons verallgemeinert sich auf jede zirkuläre Folge solcher Aussagen (wobei die letzte Aussage die Wahrheit / Falschheit der ersten Aussage behauptet), vorausgesetzt, es gibt eine ungerade Anzahl von Aussagen, die die Falschheit ihres Nachfolgers behaupten; Das Folgende ist eine Version mit drei Sätzen, wobei jede Aussage die Falschheit ihres Nachfolgers behauptet:

E2 ist falsch. (E1)
E3 ist falsch. (E2)
E1 ist falsch. (E3)

Angenommen, (E1) ist wahr. Dann ist (E2) falsch, was bedeutet, dass (E3) wahr ist, und daher ist (E1) falsch, was zu einem Widerspruch führt.

Angenommen, (E1) ist falsch. Dann ist (E2) wahr, was bedeutet, dass (E3) falsch ist und daher (E1) wahr ist. In beiden Fällen ist (E1) sowohl wahr als auch falsch – das gleiche Paradoxon wie bei (A) und (D1).

Es sind viele andere Varianten und viele Ergänzungen möglich. In der normalen Satzkonstruktion ist die einfachste Version des Komplements der Satz:

Diese Aussage ist wahr. (F)
Wenn angenommen wird, dass F einen Wahrheitswert trägt, stellt dies das Problem dar, das Objekt dieses Wertes zu bestimmen. Eine einfachere Version ist jedoch möglich, wenn angenommen wird, dass das einzelne Wort „wahr“ einen Wahrheitswert trägt. Das Analogon zum Paradoxon ist die Annahme, dass das einzelne Wort „falsch“ ebenfalls einen Wahrheitswert trägt, nämlich dass es falsch ist. Dies zeigt, dass das Paradoxon auf den mentalen Akt der Annahme reduziert werden kann, dass die Idee des Irrtums einen Wahrheitswert trägt, nämlich dass die Idee des Irrtums falsch ist: ein Akt der falschen Darstellung. Die symmetrische Version des Paradoxons wäre also:

Die folgende Aussage ist falsch. (G1)
Die vorstehende Aussage ist falsch. (G2)

Mögliche Auflösungen

Alfred Tarski
Alfred Tarski diagnostizierte, dass das Paradoxon nur in „semantisch geschlossenen“ Sprachen auftritt, womit er eine Sprache meinte, in der es möglich ist, dass ein Satz die Wahrheit (oder Falschheit) eines anderen Satzes in derselben Sprache (oder sogar von sich selbst) aussagt ). Um Selbstwiderspruch zu vermeiden, ist es bei der Erörterung von Wahrheitswerten erforderlich, sich Ebenen von Sprachen vorzustellen, von denen jede nur die Wahrheit (oder Falschheit) von Sprachen auf einer niedrigeren Ebene vorhersagen kann. Wenn sich also ein Satz auf den Wahrheitswert eines anderen bezieht, ist er semantisch höher. Der genannte Satz ist Teil der „Objektsprache“, während der referenzierende Satz in Bezug auf die Objektsprache als Teil einer „Metasprache“ betrachtet wird. Es ist legitim für Sätze in „Sprachen“ höher in der semantischen Hierarchie, um auf Sätze zu verweisen, die in der „Sprach“ -Hierarchie niedriger sind, aber nicht umgekehrt. Dies verhindert, dass ein System selbstreferenziell wird.

Dieses System ist jedoch unvollständig. Man möchte in der Lage sein, Aussagen wie „Für jede Aussage auf Ebene α der Hierarchie gibt es eine Anweisung auf Ebene α + 1, die behauptet, dass die erste Aussage falsch ist.“ Dies ist eine wahre, aussagekräftige Aussage über die von Tarski definierte Hierarchie, bezieht sich jedoch auf Aussagen auf jeder Hierarchieebene, muss sich also über jeder Hierarchieebene befinden und ist daher innerhalb der Hierarchie nicht möglich (obwohl begrenzte Versionen von der Satz ist möglich).

Arthur Prior
Arthur Prior behauptet, dass das Lügnerparadoxon nichts Paradoxes ist. Seine Behauptung (die er Charles Sanders Peirce und John Buridan zuschreibt) ist, dass jede Aussage eine implizite Behauptung ihrer eigenen Wahrheit beinhaltet. So enthält beispielsweise die Aussage „Es ist wahr, dass zwei plus zwei gleich vier sind“ nicht mehr Informationen als die Aussage „zwei plus zwei gleich vier“, da der Ausdruck „es ist wahr, dass …“ immer implizit vorhanden ist. Und im selbstreferenziellen Geist des Lügnerparadoxons ist der Ausdruck „es ist wahr, dass …“ gleichbedeutend mit „diese ganze Aussage ist wahr und …“.

Somit sind die folgenden zwei Aussagen äquivalent:

Diese Aussage ist falsch.
Diese Aussage ist wahr und diese Aussage ist falsch.
Letzteres ist ein einfacher Widerspruch zur Form „A und nicht A“ und daher falsch. Es gibt daher kein Paradoxon, da die Behauptung, dass dieser Lügner mit zwei Konjunktionen falsch ist, nicht zu einem Widerspruch führt. Eugene Mills präsentiert eine ähnliche Antwort.

Saul Kripke
Saul Kripke argumentierte, dass es von zufälligen Tatsachen abhängen kann, ob ein Satz paradox ist oder nicht.:6 Wenn das einzige, was Smith über Jones sagt, ist

Ein Großteil dessen, was Jones über mich sagt, ist falsch.
und Jones sagt nur diese drei Dinge über Smith:

Smith ist ein großer Spender.
Smith ist kriminell.
Alles, was Smith über mich sagt, ist wahr.
Wenn Smith wirklich ein großer Geldgeber ist, aber nicht kriminalitätsschonend, dann sind sowohl Smiths Bemerkung über Jones als auch Jones ‚letzte Bemerkung über Smith paradox.

Kripke schlägt eine Lösung auf folgende Weise vor. Wenn der Wahrheitswert einer Aussage letztendlich in einer auswertbaren Tatsache über die Welt gebunden ist, ist diese Aussage „begründet“. Wenn nicht, ist diese Aussage „unbegründet“. Unbegründete Aussagen haben keinen Wahrheitswert. Lügneraussagen und lügnerähnliche Aussagen sind unbegründet und haben daher keinen Wahrheitswert.

Jon Barwise und John Etchemendy
Jon Barwise und John Etchemendy schlagen vor, dass der Lügnersatz (den sie als Synonym für den gestärkten Lügner interpretieren) nicht eindeutig ist. Sie stützen diese Schlussfolgerung auf eine Unterscheidung zwischen einer „Verleugnung“ und einer „Verneinung“. Wenn der Lügner bedeutet: „Es ist nicht so, dass diese Aussage wahr ist“, dann leugnet er sich selbst. Wenn es bedeutet „Diese Aussage ist nicht wahr“, dann negiert es sich selbst. Sie argumentieren weiter, basierend auf der Situationssemantik, dass der „Leugnungslügner“ ohne Widerspruch wahr sein kann, während der „Negationslügner“ ohne Widerspruch falsch sein kann. Ihr Buch von 1987 verwendet stark die nicht fundierte Mengenlehre.

Dialetheismus
Graham Priest und andere Logiker, darunter JC Beall und Bradley Armor-Garb, haben vorgeschlagen, das Lügner-Urteil sowohl als wahr als auch als falsch zu betrachten, eine Sichtweise, die als Dialetheismus bekannt ist. Der Dialetheismus ist die Ansicht, dass es wahre Widersprüche gibt. Der Dialetheismus wirft seine eigenen Probleme auf. Das Wichtigste unter diesen ist, dass der Dialetheismus, da er das Lügnerparadoxon, einen intrinsischen Widerspruch, als wahr anerkennt, das seit langem anerkannte Prinzip der Explosion verwerfen muss, das besagt, dass jeder Satz aus einem Widerspruch abgeleitet werden kann, es sei denn, der Dialetheist ist bereit zu akzeptieren Trivialismus – die Ansicht, dass alle Aussagen wahr sind. Da Trivialismus eine intuitiv falsche Sichtweise ist, lehnen Dialetheisten das Explosionsprinzip fast immer ab. Logiken, die dies ablehnen, werden als parakonsistent bezeichnet.

Nichtkognitivismus
Andrew Irvine hat sich für eine nichtkognitivistische Lösung des Paradoxons ausgesprochen und darauf hingewiesen, dass sich einige scheinbar wohlgeformte Sätze weder als wahr noch als falsch herausstellen und dass „formale Kriterien allein sich zwangsläufig als unzureichend erweisen“, um das Paradoxon zu lösen.

Bhartrharis Perspektivismus
Der indische Grammatik-Philosoph Bhartrhari (Ende des 5. Jahrhunderts n. Chr.) Befasste sich in einem Abschnitt eines der Kapitel seines Magnum Opus Vākyapadīya mit Paradoxien wie dem Lügner. Obwohl er chronologisch allen modernen Behandlungen des Problems des Lügnerparadoxons vorausgeht, ist es erst in jüngster Zeit für diejenigen, die die ursprünglichen Sanskrit-Quellen nicht lesen können, möglich geworden, seine Ansichten und Analysen mit denen moderner Logiker und Philosophen zu konfrontieren, weil ausreichend zuverlässige Ausgaben und Übersetzungen vorliegen seiner Arbeiten sind erst seit der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts verfügbar. Bhartrharis Lösung passt zu seiner allgemeinen Herangehensweise an Sprache, Denken und Realität, die von einigen als „relativistisch“, „unverbindlich“ oder „perspektivisch“ charakterisiert wurde.

In Bezug auf das Lügnerparadoxon (sarvam mithyā bhavāmi „alles, was ich sage, ist falsch“) identifiziert Bhartrhari einen verborgenen Parameter, der unproblematische Situationen in der täglichen Kommunikation in ein hartnäckiges Paradoxon verwandeln kann. Bhartrharis Lösung kann anhand der 1992 von Julian Roberts vorgeschlagenen Lösung verstanden werden: „Paradoxe konsumieren sich selbst. Aber wir können die kriegführenden Seiten des Widerspruchs durch das einfache Mittel der zeitlichen Kontextualisierung auseinanderhalten: Was ist in Bezug auf eine“ wahr „? Zeitpunkt muss nicht so sein in einem anderen … Die Gesamtkraft des „Austinian“ -Arguments ist nicht nur, dass sich „Dinge ändern“, sondern dass Rationalität im Wesentlichen zeitlich ist, indem wir Zeit brauchen, um zu versöhnen und zu verwalten, was sonst wäre gegenseitig zerstörende Zustände sein. “

Nach Roberts Vorschlag ist es der Faktor „Zeit“, der es uns ermöglicht, die getrennten „Teile der Welt“ in Einklang zu bringen, die eine entscheidende Rolle bei der Lösung von Barwise und Etchemendy spielen.:188 Die Fähigkeit der Zeit, eine direkte Konfrontation von zu verhindern Die beiden „Teile der Welt“ befinden sich hier außerhalb des „Lügners“. Im Lichte von Bhartrharis Analyse ist jedoch die zeitliche Ausdehnung, die zwei Perspektiven auf die Welt oder zwei „Teile der Welt“ trennt – den Teil vor und den Teil nach der Erfüllung ihrer Aufgabe – jeder „Funktion“ inhärent: auch die Funktion, um zu kennzeichnen, welche jeder Aussage zugrunde liegt, einschließlich des „Lügners“. Das unlösbare Paradoxon – eine Situation, in der wir entweder Widerspruch (Virodha) oder unendlichen Rückschritt (Anavasthā) haben – entsteht,

Logische Struktur
Für ein besseres Verständnis des Lügnerparadoxons ist es nützlich, es formeller aufzuschreiben. Wenn „diese Aussage ist falsch“ mit A bezeichnet wird und ihr Wahrheitswert gesucht wird, ist es notwendig, eine Bedingung zu finden, die die Auswahl möglicher Wahrheitswerte von A einschränkt. Da A selbstreferenziell ist, ist es möglich, die Bedingung anzugeben durch eine Gleichung.

Wenn angenommen wird, dass eine Aussage B falsch ist, schreibt man „B = falsch“. Die Aussage (C), dass die Aussage B falsch ist, würde als „C = ‚B = falsch'“ geschrieben. Nun kann das Lügnerparadox als die Aussage A ausgedrückt werden, dass A falsch ist:

A = „A = falsch“
Dies ist eine Gleichung, aus der hoffentlich der Wahrheitswert von A = „diese Aussage ist falsch“ erhalten werden kann. In der booleschen Domäne ist „A = falsch“ äquivalent zu „nicht A“ und daher ist die Gleichung nicht lösbar. Dies ist die Motivation für eine Neuinterpretation von A. Der einfachste logische Ansatz, um die Gleichung lösbar zu machen, ist der dialetheistische Ansatz. In diesem Fall ist die Lösung A sowohl „wahr“ als auch „falsch“. Andere Auflösungen enthalten meist einige Modifikationen der Gleichung; Arthur Prior behauptet, dass die Gleichung „A = ‚A = falsch und A = wahr'“ sein sollte und daher A falsch ist. In der rechnerischen Verblogik wird das Lügnerparadoxon auf Aussagen wie „Ich höre, was er sagt; er sagt, was ich nicht höre“ erweitert, wobei die Verblogik verwendet werden muss, um das Paradoxon aufzulösen.

Anwendungen

Gödels erster Unvollständigkeitssatz
Gödels Unvollständigkeitssätze sind zwei grundlegende Sätze der mathematischen Logik, die die inhärenten Grenzen ausreichend leistungsfähiger axiomatischer Systeme für die Mathematik angeben. Die Theoreme wurden 1931 von Kurt Gödel bewiesen und sind in der Philosophie der Mathematik wichtig. Grob gesagt verwendete Gödel beim Beweis des ersten Unvollständigkeitssatzes eine modifizierte Version des Lügnerparadoxons und ersetzte „dieser Satz ist falsch“ durch „dieser Satz ist nicht beweisbar“, genannt „Gödel-Satz G“. Sein Beweis zeigte, dass für jede hinreichend leistungsfähige Theorie T G wahr, aber in T nicht beweisbar ist. Die Analyse der Wahrheit und Beweisbarkeit von G ist eine formalisierte Version der Analyse der Wahrheit des Lügnersatzes.

Um den ersten Unvollständigkeitssatz zu beweisen, stellte Gödel Aussagen durch Zahlen dar. Dann beweist die vorliegende Theorie, von der angenommen wird, dass sie bestimmte Tatsachen über Zahlen beweist, auch Tatsachen über ihre eigenen Aussagen. Fragen zur Beweisbarkeit von Aussagen werden als Fragen zu den Eigenschaften von Zahlen dargestellt, die von der Theorie entschieden würden, wenn sie vollständig wäre. In diesem Sinne besagt der Gödel-Satz, dass keine natürliche Zahl mit einer bestimmten, seltsamen Eigenschaft existiert. Eine Zahl mit dieser Eigenschaft würde einen Beweis für die Inkonsistenz der Theorie codieren. Wenn es eine solche Zahl gäbe, wäre die Theorie entgegen der Konsistenzhypothese inkonsistent. Unter der Annahme, dass die Theorie konsistent ist, gibt es keine solche Zahl.

Es ist nicht möglich, „nicht beweisbar“ in einem Gödel-Satz durch „falsch“ zu ersetzen, da das Prädikat „Q ist die Gödel-Zahl einer falschen Formel“ nicht als arithmetische Formel dargestellt werden kann. Dieses Ergebnis, bekannt als Tarskis Undefinierbarkeitssatz, wurde unabhängig von Gödel (als er am Beweis des Unvollständigkeitssatzes arbeitete) und von Alfred Tarski entdeckt.

George Boolos hat seitdem einen alternativen Beweis für den ersten Unvollständigkeitssatz entworfen, der Berrys Paradoxon anstelle des Lügnerparadoxons verwendet, um eine wahre, aber unbeweisbare Formel zu konstruieren.

In der Populärkultur
Das Lügnerparadoxon wird gelegentlich in der Fiktion verwendet, um künstliche Intelligenzen auszuschalten, die als unfähig dargestellt werden, den Satz zu verarbeiten. In Star Trek: Die Originalserie-Episode „I, Mudd“ wird das Lügnerparadoxon von Captain Kirk und Harry Mudd verwendet, um einen Android zu verwirren und letztendlich zu deaktivieren, der sie gefangen hält. In der Doctor Who-Serie The Green Death von 1973 stumpft der Doctor den verrückten Computer BOSS vorübergehend ab, indem er ihn fragt: „Wenn ich Ihnen sagen würde, dass das nächste, was ich sage, wahr wäre, aber das letzte, was ich sagte, war eine Lüge, oder?“ glaube mir?“ BOSS entscheidet jedoch letztendlich, dass die Frage irrelevant ist, und fordert Sicherheit.

Im Videospielportal 2 von 2011 versucht GLaDOS, das Paradoxon „Dieser Satz ist falsch“ zu verwenden, um die naive künstliche Intelligenz Wheatley zu besiegen. Da ihm jedoch die Intelligenz fehlt, um die Aussage als Paradoxon zu verwirklichen, antwortet er einfach: „Ähm, wahr. Ich.“ Ich werde mit wahr gehen. Dort war das einfach. “ und ist nicht betroffen, obwohl die frankencubes um ihn herum funken und offline gehen.

In der siebten Folge von Minecraft: Story Mode mit dem Titel „Access Denied“ werden die Hauptfigur Jesse und seine Freunde von einem Supercomputer namens PAMA gefangen genommen. Nachdem PAMA zwei von Jesses Freunden kontrolliert hat, erfährt Jesse, dass PAMA bei der Verarbeitung stehen bleibt und verwendet ein Paradoxon, um ihn zu verwirren und mit seinem letzten Freund zu fliehen. Eines der Paradoxe, die der Spieler sagen lassen kann, ist das Lügnerparadoxon.

In Douglas Adams, Per Anhalter durch die Galaxis, Kapitel 21, beschreibt er einen einsamen alten Mann, der einen kleinen Asteroiden in den Raumkoordinaten bewohnt, wo es sich um einen ganzen Planeten handeln sollte, der den Lebensformen des Kugelschreibers (Kugelschreiber) gewidmet ist. Dieser alte Mann behauptete wiederholt, dass nichts wahr sei, obwohl später festgestellt wurde, dass er lügt.

Rollins Bands 1994er Song „Liar“ spielte auf das Paradox an, als der Erzähler den Song mit den Worten „Ich werde immer wieder lügen und ich werde weiter lügen, ich verspreche es“ beendet.

Robert Earl Keen’s Lied „The Road Goes On and On“ spielt auf das Paradox an. Es wird allgemein angenommen, dass das Lied als Teil von Keen’s Fehde mit Toby Keith geschrieben wurde, der vermutlich der „Lügner“ ist, auf den sich Keen bezieht.

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Wissensparadoxon

Das Wissensparadoxon ist ein Paradoxon, das zur Familie der Paradoxe der Selbstreferenz gehört (wie das Lügnerparadoxon). Informell besteht es darin, einen Satz zu betrachten, der von sich selbst sagt, dass er nicht bekannt ist, und anscheinend den Widerspruch abzuleiten, dass ein solcher Satz sowohl nicht bekannt als auch bekannt ist.

Geschichte
Eine Version des Paradoxons findet sich bereits in Kapitel 9 von Thomas Bradwardines Insolubilia. Im Zuge der modernen Diskussion über die Paradoxe der Selbstreferenz wurde das Paradoxon von den US-amerikanischen Logikern und Philosophen David Kaplan und Richard Montague wiederentdeckt (und mit seinem heutigen Namen bezeichnet) und gilt heute als wichtiges Paradoxon in diesem Bereich . Das Paradoxon steht in Verbindung mit anderen epistemischen Paradoxien wie dem Henkerparadoxon und dem Paradoxon der Erkennbarkeit.

Formulierung
Der Begriff des Wissens scheint von dem Prinzip bestimmt zu sein, dass Wissen faktisch ist:

(KF): Wenn der Satz ‚P‘ bekannt ist, dann P.
(wo wir einfache Anführungszeichen verwenden, um auf den sprachlichen Ausdruck in den Anführungszeichen zu verweisen, und wo „bekannt“ für „ist irgendwann jemandem bekannt“ steht). Es scheint auch von dem Prinzip bestimmt zu sein, dass Beweise Wissen liefern:

(PK): Wenn der Satz ‚P‘ bewiesen wurde, ist ‚P‘ bekannt
Betrachten Sie jedoch den Satz:

(K): (K) ist nicht bekannt
Nehmen Sie für reductio ad absurdum an, dass (K) bekannt ist. Dann ist (K) durch (KF) nicht bekannt, und so ist (K) durch reductio ad absurdum nicht bekannt. Nun, diese Schlussfolgerung, die der Satz (K) selbst ist, hängt von keinen ungelösten Annahmen ab und wurde gerade bewiesen. Daher können wir durch (PK) weiter schließen, dass (K) bekannt ist. Wenn wir die beiden Schlussfolgerungen zusammenfassen, haben wir den Widerspruch, dass (K) sowohl nicht bekannt als auch bekannt ist.

Lösungen
Da angesichts des diagonalen Lemmas jede ausreichend starke Theorie so etwas wie (K) akzeptieren muss, kann Absurdität nur vermieden werden, indem entweder eines der beiden Prinzipien des Wissens (KF) und (PK) oder die klassische Logik (die) abgelehnt wird bestätigt die Argumentation von (KF) und (PK) zur Absurdität). Die erste Art von Strategie unterteilt sich in mehrere Alternativen. Ein Ansatz lässt sich von der Hierarchie der Wahrheitsprädikate inspirieren, die aus Alfred Tarskis Arbeit über das Lügnerparadox bekannt ist, und konstruiert eine ähnliche Hierarchie von Wissensprädikaten. Ein anderer Ansatz hält ein einzelnes Wissensprädikat aufrecht, nimmt jedoch das Paradox, um entweder die uneingeschränkte Gültigkeit von (PK) oder zumindest das Wissen von (KF) in Zweifel zu ziehen. Die zweite Art von Strategie unterteilt sich auch in mehrere Alternativen. Ein Ansatz lehnt das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte und folglich der reductio ad absurdum ab. Ein anderer Ansatz bestätigt reductio ad absurdum und akzeptiert somit die Schlussfolgerung, dass (K) sowohl nicht bekannt als auch bekannt ist, wodurch das Gesetz der Widerspruchsfreiheit abgelehnt wird.

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Logik Paradoxe

Kleene-Rosser-Paradoxon

In der Mathematik ist das Kleene-Rosser-Paradoxon ein Paradoxon, das zeigt, dass bestimmte Systeme der formalen Logik inkonsistent sind, insbesondere die 1930 eingeführte Version von Currys kombinatorischer Logik und die ursprüngliche Lambda-Rechnung der Kirche, die 1932–1933 eingeführt wurde und beide ursprünglich als gedacht war Systeme der formalen Logik. Das Paradoxon wurde 1935 von Stephen Kleene und JB Rosser ausgestellt.

Das Paradox
Kleene und Rosser konnten zeigen, dass beide Systeme ihre nachweislich vollständigen, definierbaren zahlentheoretischen Funktionen charakterisieren und aufzählen können, wodurch sie einen Begriff konstruieren konnten, der das Richard-Paradoxon in formaler Sprache im Wesentlichen repliziert.

Später gelang es Curry, die entscheidenden Bestandteile der Kalküle zu identifizieren, die die Konstruktion dieses Paradoxons ermöglichten, und daraus ein viel einfacheres Paradoxon zu konstruieren, das heute als Curry-Paradoxon bekannt ist.

1935 veröffentlichten Kleene und Rosser einen Beweis dafür, dass bestimmte Systeme der formalen Logik inkonsistent sind, in dem Sinne, dass jede Formel, die in ihrer Notation ausgedrückt werden kann, auch nachweisbar ist. Es gibt also nur zwei Systeme in der Literatur, für die dieser Inkonsistenzbeweis gilt; Das kirchliche System von 1932-1933 und das, was ich 1934 als 8-System bezeichnete. Trotz dieser begrenzten Anwendung ist das Argument von Kleene und Rosser ein Theorem von großer Bedeutung für die Führung künftiger Forschung. Es ist ein Theorem mit demselben allgemeinen Charakter wie die berühmten Unvollständigkeitssätze von Löwenheim, Skolem und Godel, die in der jüngsten Forschung zu mathematischen Grundlagen eine so herausragende Rolle gespielt haben.

Der Beweis von Kleene und Rosser ist lang und kompliziert und enthält Komplikationen, die dazu neigen, die wesentliche Bedeutung ihres Satzes zu verschleiern. Dementsprechend besteht ein gewisses Interesse an dem Problem, dieses Paradoxon zugänglicher zu machen und es so darzustellen, dass diese wesentliche Bedeutung deutlicher hervorgehoben wird. Dies versucht das vorliegende Papier zu tun. Das Paradoxon wird hier durch eine Methode dargestellt und abgeleitet, die unter dem angegebenen Gesichtspunkt viele Vorteile gegenüber den ursprünglichen Entdeckern aufweist.

Bevor wir auf eine ausführliche Diskussion eingehen, ist es zweckmäßig, das Paradoxon vage vorab zu untersuchen und die zentrale Idee in ihrer Ableitung intuitiv zu erläutern

Eines der Ziele, auf die Mathematiker beim Aufbau formaler Systeme abzielen, ist die Vollständigkeit – womit ich nicht die Vollständigkeit im technischen Sinne meine, sondern einfach die Angemessenheit des Systems für den einen oder anderen Zweck.

Es gibt zwei Arten solcher Vollständigkeit, die besonders betroffen sind; beide sind wünschenswerte Eigenschaften formaler Systeme der mathematischen Logik. Diese kombinatorische Vollständigkeit bzw. deduktive Vollständigkeit. Sie können grob wie folgt erklärt werden. Eine Theorie ist genau dann kombinatorisch vollständig, wenn jeder Ausdruck A, der aus den Begriffen des Systems und einem unbestimmten oder variablen Hilfsmittel x gebildet wird, innerhalb des Systems als Funktion von x dargestellt werden kann (dh wir können im System eine Funktion bilden, deren Der Wert für ein beliebiges Argument entspricht dem Ergebnis des Ersetzens dieses Arguments für x in W). Eine Theorie ist deduktiv vollständig, wenn wir, wenn wir einen Satz B auf der Hypothese ableiten können, dass ein anderer Satz A gilt, ohne Hypothese einen dritten Satz (wie A ^) B ableiten können, der diese Ableitbarkeit ausdrückt. Die kombinatorische Vollständigkeit ist somit eine Eigenschaft, die sich auf die möglichen Konstruktionen von Begriffen (oder Formeln) innerhalb des Systems bezieht. Die deduktive Vollständigkeit bezieht sich auf die möglichen Ableitungen. Die deduktive Vollständigkeit ist eine bekannte Eigenschaft bestimmter Systeme. Die kombinatorische Vollständigkeit wurde erst in den letzten Jahren erreicht.

Das Wesentliche des Kleene-Rosser-Theorems ist, dass es zeigt, dass diese beiden Arten der Vollständigkeit nicht kompatibel sind – dh dass jedes System, das beide besitzt, inkonsistent ist. Das Argument ist im Wesentlichen eine Verfeinerung des Richard-Paradoxons; es zeigt in der Tat, dass das Richard-Paradoxon formal innerhalb des Systems eingerichtet werden kann.

Um dies vorläufig zu sehen, stellen wir das Richard-Paradoxon wie folgt auf. In jedem formalen System der Arithmetik ist die Anzahl definierbarer numerischer Funktionen natürlicher Zahlen aufzählbar; Lassen Sie sie daher in einer Reihenfolge aufzählen

Lassen wir die Erklärung dieses Paradoxons aus intuitiver Sicht außer Acht und betrachten wir, was bei einem System geschieht, das sowohl kombinatorisch als auch deduktiv vollständig ist. Wenn in einem solchen System eine Funktion eine numerische Funktion ist, dh wenn sie numerische Werte für alle numerischen Argumente (u) angibt, kann eine formale Aussage dieser Tatsache innerhalb des Systems demonstriert werden, da sie deduktiv vollständig ist; Durch eine rekursive Aufzählung aller Theoreme kann dann die Menge aller numerischen Funktionen effektiv in einer Folge aufgezählt werden. Da die Theorie kombinatorisch vollständig ist, können wir dann innerhalb des Systems die Funktion / definieren; Dies ist nachweislich eine numerische Funktion, und die Demonstration dieser Tatsache wird uns den Wert von n effektiv sagen, so dass der obige Widerspruch sicherlich entstehen wird.

Dies zeigt auf grobe Weise die Natur des Paradoxons. Bevor wir zu den formalen Entwicklungen übergehen, werde ich einige Bemerkungen zum vorliegenden Beweis und seiner Beziehung zu dem von Kleene und Rosser interpolieren.

Bei den Untersuchungen von Church und seinen Schülern wird die postulierte kombinatorische Vollständigkeit dadurch geschwächt, dass das A tatsächlich x enthält – so dass es keinen Apparat zur Darstellung einer Konstanten als Funktion geben muss; Es gibt auch eine Schwächung der deduktiven Vollständigkeit. Diese Komplikationen vermeiden nicht das Paradoxon, wie Kleene und Rosser gezeigt haben; Sie erhöhen jedoch die Länge und Komplexität der Ableitung erheblich. Wenn das Ziel darin besteht, den zentralen Nerv des Paradoxons freizulegen, besteht der logische Ansatz darin, den Beweis für den einfacheren Fall, den der kombinatorischen (und deduktiven) Vollständigkeit im starken Sinne, durchzuführen und dann zu zeigen, welche Änderungen erforderlich sind Führen Sie den Beweis für den komplizierteren Fall durch.

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Logik Paradoxe

Hilbert-Bernays-Paradoxon

Das Hilbert-Bernays-Paradoxon ist ein charakteristisches Paradoxon, das zur Familie der Referenzparadoxien gehört (wie Berrys Paradoxon). Es ist nach David Hilbert und Paul Bernays benannt.

Geschichte
Das Paradoxon erscheint in Hilbert und Bernays ‚Grundlagen der Mathematik und wird von ihnen verwendet, um zu zeigen, dass eine ausreichend starke konsistente Theorie keinen eigenen Referenzfunktor enthalten kann. Obwohl es im Laufe des 20. Jahrhunderts weitgehend unbemerkt blieb, wurde es kürzlich wiederentdeckt und für seine besonderen Schwierigkeiten geschätzt.

Formulierung
So wie die semantische Eigenschaft der Wahrheit vom naiven Schema bestimmt zu sein scheint:

(T) Der Satz ‚P‘ ist genau dann wahr, wenn P.
(wo wir einfache Anführungszeichen verwenden, um auf den sprachlichen Ausdruck in den Anführungszeichen zu verweisen), scheint die semantische Eigenschaft der Referenz durch das naive Schema bestimmt zu werden:

(R) Wenn a existiert, ist der Referent des Namens ‚a‘ identisch mit a
Betrachten Sie jedoch einen Namen h für (natürliche) Zahlen, die Folgendes erfüllen:

(H) h ist identisch mit ‚(der Referenz von h) +1‘
Angenommen, für eine Zahl n:

(1) Der Referent von h ist identisch mit n
Dann existiert sicherlich der Referent von h und ebenso (der Referent von h) +1. Nach (R) folgt dann:

(2) Der Referent von ‚(der Referent von h) +1‘ ist identisch mit (dem Referenten von h) +1
und so ist es nach (H) und dem Prinzip der Ununterscheidbarkeit von Identitäten so:

(3) Der Referent von h ist identisch mit (dem Referenten von h) +1
Aber auch hier ergeben (1) und (3) durch Ununterscheidbarkeit von Identitäten:

(4) Der Referent von h ist identisch mit n + 1
und durch Transitivität der Identität ergibt (1) zusammen mit (4):

(5) n ist identisch mit n + 1
Aber (5) ist absurd, da keine Zahl mit ihrem Nachfolger identisch ist.

Lösungen
Da jede hinreichend starke Theorie so etwas wie (H) akzeptieren muss, kann Absurdität nur vermieden werden, indem das Prinzip der naiven Referenz (R) abgelehnt wird oder indem die klassische Logik abgelehnt wird (die die Argumentation aus (R) und bestätigt) (H) zur Absurdität). Beim ersten Ansatz überträgt sich normalerweise alles, was man über das Lügner-Paradoxon sagt, reibungslos auf das Hilbert-Bernays-Paradoxon. Das Paradoxon stellt stattdessen für viele Lösungen, die den zweiten Ansatz verfolgen, besondere Schwierigkeiten dar: Zum Beispiel haben Lösungen für das Lügnerparadoxon, die das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (das vom Hilbert-Bernays-Paradoxon nicht verwendet wird) ablehnen, bestritten, dass es so etwas wie gibt der Referent von h;

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Logik Paradoxe

Epimenides-Paradoxon

Das Epimenides-Paradoxon zeigt ein Problem mit der Selbstreferenz in der Logik. Es ist nach dem kretischen Philosophen Epimenides von Knossos (lebendig um 600 v. Chr.) Benannt, dem die ursprüngliche Aussage zugeschrieben wird. Eine typische Beschreibung des Problems findet sich in dem Buch Gödel, Escher, Bach von Douglas Hofstadter:

Epimenides war ein Kreter, der eine unsterbliche Aussage machte: „Alle Kreter sind Lügner.“

Ein Paradox der Selbstreferenz entsteht, wenn man überlegt, ob es Epimenides möglich ist, die Wahrheit gesagt zu haben.

Logisches Paradoxon
Thomas Fowler (1869) stellt das Paradoxon wie folgt fest: „Epimenides, der Kreter, sagt, dass alle Kreter Lügner sind, aber Epimenides ist selbst ein Kreter; deshalb ist er selbst ein Lügner. Aber wenn er ein Lügner ist, ist das, was er sagt, falsch, und folglich sind die Kreter wahrhaftig; aber Epimenides ist ein Kreter, und deshalb ist das, was er sagt, wahr; Epimenides sagt, die Kreter seien Lügner, er selbst sei ein Lügner, und was er sagt, sei falsch. So können wir abwechselnd beweisen, dass Epimenides und die Kreter wahr und unwahr sind. “

Das Epimenides-Paradoxon in dieser Form kann jedoch gelöst werden. Es gibt zwei Möglichkeiten: Es ist entweder wahr oder falsch. Nehmen wir zunächst an, dass es wahr ist, aber dann wäre Epimenides als Kreter ein Lügner, und wenn man davon ausgeht, dass Lügner nur falsche Aussagen machen, ist die Aussage falsch. Wenn wir also davon ausgehen, dass die Aussage wahr ist, schließen wir, dass die Aussage falsch ist. Dies ist ein Widerspruch, daher ist die Option, dass die Aussage wahr ist, nicht möglich. Damit bleibt die zweite Option: dass es falsch ist.

Wenn wir annehmen, dass die Aussage falsch ist und Epimenides darüber lügt, dass alle Kreter Lügner sind, muss es mindestens einen Kreter geben, der ehrlich ist. Dies führt nicht zu einem Widerspruch, da es nicht erforderlich ist, dass dieser Kreter Epimeniden ist. Dies bedeutet, dass Epimenides die falsche Aussage machen kann, dass alle Kreter Lügner sind, während sie mindestens einen ehrlichen Kreter kennen und über diesen bestimmten Kreter lügen. Aus der Annahme, dass die Aussage falsch ist, folgt daher nicht, dass die Aussage wahr ist. So können wir ein Paradox vermeiden, indem wir die Aussage „Alle Kreter sind Lügner“ als eine falsche Aussage betrachten, die von einem lügnerischen Kreter, Epimenides, gemacht wird. Der Fehler, den Thomas Fowler (und viele andere Menschen) oben gemacht haben, ist zu denken, dass die Negation von „alle Kreter sind Lügner“ „alle Kreter sind ehrlich“ (ein Paradoxon) ist, obwohl die Negation tatsächlich lautet: „Es gibt einen Kreter, der es gibt ehrlich “oder„ nicht alle Kreter sind Lügner “.

Das Epimenides-Paradoxon kann leicht modifiziert werden, um die oben beschriebene Art der Lösung nicht zuzulassen, wie es im ersten Paradoxon von Eubulides der Fall war, sondern zu einem nicht vermeidbaren Selbstwiderspruch führt. Paradoxe Versionen des Epimenides-Problems sind eng mit einer Klasse schwierigerer logischer Probleme verbunden, einschließlich des Lügnerparadoxons, des sokratischen Paradoxons und des Burali-Forti-Paradoxons, die alle eine Selbstreferenz mit Epimenides gemeinsam haben. In der Tat wird das Epimenides-Paradoxon normalerweise als Variation des Lügner-Paradoxons klassifiziert, und manchmal werden die beiden nicht unterschieden. Das Studium der Selbstreferenz führte im 20. Jahrhundert zu wichtigen Entwicklungen in Logik und Mathematik.

Mit anderen Worten, es ist kein Paradoxon, wenn man erkennt, dass „Alle Kreter sind Lügner“ nicht wahr ist, sondern nur „Nicht alle Kreter sind Lügner“ bedeutet, anstatt anzunehmen, dass „Alle Kreter sind ehrlich“.

Vielleicht besser ausgedrückt, denn „Alle Kreter sind Lügner“ bedeutet nicht, dass alle Kreter die ganze Zeit lügen müssen. Tatsächlich konnten Kreter ziemlich oft die Wahrheit sagen, aber dennoch sind alle Lügner in dem Sinne, dass Lügner Menschen sind, die dazu neigen, für unehrlichen Gewinn zu täuschen. In Anbetracht der Tatsache, dass „Alle Kreter Lügner sind“ erst seit dem 19. Jahrhundert als Paradox angesehen wurde, scheint dies das angebliche Paradoxon zu lösen. Wenn „alle Kreter sind ununterbrochene Lügner“ tatsächlich wahr ist, würde die Frage eines Kreters, ob sie ehrlich sind, immer die unehrliche Antwort „Ja“ hervorrufen. Der ursprüngliche Satz ist also wohl weniger paradox als ungültig.

Eine kontextbezogene Lesart des Widerspruchs kann auch eine Antwort auf das Paradoxon liefern. Der ursprüngliche Satz: „Die Kreter, immer Lügner, böse Tiere, müßige Bäuche!“ behauptet nicht ein intrinsisches Paradoxon, sondern eine Meinung der Kreter aus Epimenides. Eine Stereotypisierung seines Volkes soll keine absolute Aussage über das Volk als Ganzes sein. Es ist vielmehr eine Behauptung über ihre Position in Bezug auf ihre religiösen Überzeugungen und soziokulturellen Einstellungen. Im Kontext seines Gedichts ist der Satz spezifisch für einen bestimmten Glauben, einen Kontext, den Callimachus in seinem Gedicht über Zeus wiederholt. Eine ergreifendere Antwort auf das Paradoxon ist einfach, dass Lügner sein heißt, Unwahrheiten zu behaupten. Nichts in der Aussage behauptet, dass alles, was gesagt wird, falsch ist, sondern dass sie „immer“ lügen. Dies ist keine absolute Tatsachenfeststellung, und daher können wir nicht den Schluss ziehen, dass Epimenides einen wahren Widerspruch zu dieser Aussage gemacht hat.

Ursprung der Phrase
Epimenides war ein Philosoph und religiöser Prophet aus dem 6. Jahrhundert v. Chr., Der gegen das allgemeine Gefühl Kretas vorschlug, Zeus sei unsterblich, wie im folgenden Gedicht:

Sie haben ein Grab für dich geschaffen, oh Heiliger und Hoher
Die Kreter, immer Lügner, böse Tiere, müßige Bäuche!
Aber du bist nicht tot. Du lebst und bleibst für immer.
Denn in dir leben und bewegen wir uns und haben unser Sein.
– Epimenides, Cretica

Die Unsterblichkeit des Zeus zu leugnen, war also die Lüge der Kreter.

Der Ausdruck „Kreter, immer Lügner“ wurde vom Dichter Callimachus in seiner Hymne an Zeus mit der gleichen theologischen Absicht wie Epimenides zitiert:

O Zeus, manche sagen, du wurdest auf den Hügeln von Ida geboren;
Andere, oh Zeus, sagen in Arkadien;
Haben diese oder jene gelogen, o Vater? – „Kreter sind immer Lügner.“
Ja, ein Grab, o Herr, für dich haben die Kreter gebaut;
Aber du bist nicht gestorben, denn du bist für immer.
– Callimachus, Hymne I an Zeus

Entstehung als logischer Widerspruch
Die logische Inkonsistenz eines Kreters, der behauptet, alle Kreter seien immer Lügner, ist möglicherweise weder Epimenides noch Callimachus in den Sinn gekommen, die beide den Ausdruck verwendeten, um ihren Standpunkt ohne Ironie zu betonen, was möglicherweise bedeutet, dass alle Kreter routinemäßig, aber nicht ausschließlich lügen.

Im 1. Jahrhundert n. Chr. Wird das Zitat von Paulus als wirklich von „einem ihrer eigenen Propheten“ gesprochen erwähnt.

Einer von Kretas eigenen Propheten hat es gesagt: „Kreter sind immer Lügner, böse Rohlinge, müßige Bäuche“.
Er hat sicherlich die Wahrheit gesagt. Korrigieren Sie sie deshalb streng, damit sie im Glauben gesund sind, anstatt auf jüdische Fabeln und Gebote von Menschen zu achten, die der Wahrheit den Rücken kehren.
– Brief an Titus, 1: 12-13

Clemens von Alexandria im späten 2. Jahrhundert n. Chr. Weist nicht darauf hin, dass das Konzept des logischen Paradoxons ein Thema ist:

In seinem Brief an Titus möchte Apostel Paulus Titus warnen, dass Kreter nicht an die eine Wahrheit des Christentums glauben, weil „Kreter immer Lügner sind“. Um seine Behauptung zu rechtfertigen, zitiert Apostel Paulus Epimenides.
– Stromata 1.14

Während des frühen 4. Jahrhunderts wiederholt der heilige Augustinus das eng verwandte Lügnerparadoxon in Gegen die Akademiker (III.13.29), ohne jedoch Epimenides zu erwähnen.

Im Mittelalter wurden viele Formen des Lügnerparadoxons unter der Überschrift Insolubilia untersucht, die jedoch nicht explizit mit Epimeniden in Verbindung gebracht wurden.

Schließlich verbindet der zweite Band von Pierre Bayles Dictionnaire Historique et Critique 1740 Epimenides explizit mit dem Paradoxon, obwohl Bayle das Paradoxon als „Sophisme“ bezeichnet.

Referenzen anderer Autoren
Alle Werke von Epimenides sind jetzt verloren und nur durch Zitate anderer Autoren bekannt. Das Zitat aus der Kretika der Epimeniden stammt von RN Longenecker, „Apostelgeschichte“, in Band 9 des Bibelkommentars des Expositors, Frank E. Gaebelein, Herausgeber (Grand Rapids, Michigan: Zondervan Corporation, 1976–1984), Seite 476. Longenecker zitiert wiederum MD Gibson, Horae Semiticae X (Cambridge: Cambridge University Press, 1913), Seite 40, „auf Syrisch“. Longenecker führt in einer Fußnote Folgendes aus:

Der Syr. Version des Quatrain kommt zu uns aus dem Syr. Kirchenvater Isho’dad von Merv (wahrscheinlich basierend auf der Arbeit von Theodore von Mopsuestia), den JR Harris zurück in Gr. in Exp [„The Expositor“] 7 (1907), S. 336.

Eine schräge Bezugnahme auf Epimeniden im Kontext der Logik findet sich in „The Logical Calculus“ von WE Johnson, Mind (New Series), Band 1, Nummer 2 (April 1892), Seiten 235–250. Johnson schreibt in einer Fußnote:

Vergleichen Sie zum Beispiel solche Anlässe für Irrtümer, die von „Epimenides ist ein Lügner“ oder „Diese Oberfläche ist rot“ geliefert werden. Diese können in „Alle oder einige Aussagen von Epimeniden sind falsch“, „Alle oder einige der Oberflächen“ aufgelöst werden ist rot.“

Das Epimenides-Paradoxon erscheint explizit in „Mathematical Logic as Based on the Theory of Types“ von Bertrand Russell im American Journal of Mathematics, Band 30, Nummer 3 (Juli 1908), Seiten 222–262, das mit dem Folgenden beginnt ::

Der älteste Widerspruch der fraglichen Art sind die Epimeniden. Epimenides der Kreter sagte, dass alle Kreter Lügner waren, und alle anderen Aussagen der Kreter waren sicherlich Lügen. War das eine Lüge?

In diesem Artikel verwendet Russell das Epimenides-Paradoxon als Ausgangspunkt für Diskussionen über andere Probleme, einschließlich des Burali-Forti-Paradoxons und des Paradoxons, das jetzt als Russells Paradoxon bezeichnet wird. Seit Russell wurde das Epimenides-Paradoxon in der Logik wiederholt erwähnt. Typisch für diese Referenzen ist Gödel, Escher, Bach von Douglas Hofstadter, der dem Paradoxon einen herausragenden Platz in der Diskussion der Selbstreferenz einräumt.

Kommentar
Bevor Sie beginnen, sollte klargestellt werden, dass festgestellt wird, dass ein Lügner nur falsche Aussagen macht. Diese Definition ist im Studium der Logik üblich, und es ist möglich, dieses Paradoxon mit weniger Mehrdeutigkeit (aber auch zu viel Komplexität) zu erhalten, wenn es so formuliert wird, dass Alle Kreter Menschen sind, deren Aussagen immer falsch sind.

Nach dieser Definition scheint die Behauptung auf den ersten Blick widersprüchlich zu sein, da Epimenides behauptet zu lügen (siehe das Lügnerparadoxon). Dies ist nicht wirklich wahr, denn obwohl die Aussage möglicherweise nicht wahr ist, könnte sie falsch sein. Wenn wir annehmen, dass es wahr ist, bestätigt Epimenides, dass er wie jeder Kreter lügt, und daher wäre die Bestätigung falsch und würde zu einem Selbstwiderspruch führen. Wenn wir jedoch annehmen, dass es falsch ist, erreichen wir keinen Widerspruch, denn wenn die Aussage, dass alle Kreter lügen, falsch ist, bedeutet dies, dass es mindestens einen Kreter gibt, nicht unbedingt Epimenides, der die Wahrheit sagt. Daher ist es durchaus möglich, dass die Aussage falsch ist, und diese Aussage ist kein wahres Paradoxon.

Es ist ein falsches Paradoxon, denn in Wirklichkeit begeht es in seinem ersten Satz einen Irrtum: Alle Kreter sind Lügner. Aussagen müssen auf nachgewiesenen Tatsachen beruhen, und dies ist nicht wirklich eine nachgewiesene Tatsache, sondern eine Unbestimmtheit, die als wahr gerechtfertigt werden muss. Sie können keinen Streit über einen unbestimmten Satz beginnen. Sie müssen mit einer nachgewiesenen Tatsache beginnen. Und wir wissen, dass Epimenides kretisch ist (nachgewiesene Tatsache) und behauptet, es zu sein (nachgewiesene Tatsache), also müssen wir die Argumentation auf dieser Seite beginnen:

Epimenides ist kretisch
Epimenides sagt es ist
→ Epimenides sagt die Wahrheit.

Und von dort bekommen Sie:

Alle Kreter lügen immer
Epimenides ist kretisch und sagt manchmal die Wahrheit
→ Dann ist es falsch zu behaupten, dass alle Kreter immer lügen

So beenden Sie das Posieren:

Nicht alle Kreter lügen immer (nachgewiesene Tatsache)
Epimenides sagt ja (Satz)
→ Epimenides Lügen (Schlussfolgerung, nachgewiesene Tatsache)

Daher kann das Paradox erneut angesprochen werden: „Wenn Epimenides lügt, ist er ein Lügner.“ Aber wenn wir zuerst die Definition eines Lügners als jemanden akzeptieren, der IMMER Lügen erzählt, stört der logische Ansatz erneut das Paradoxon:

Epimenides behauptet als Kreter, ein Lügner zu sein: jemand, der immer lügt.
Wir wissen, dass Epimenides gelegentlich die Wahrheit gesagt hat
→ Dann ist es falsch, dass Epimenides immer lügt

Und da er Kreter ist, ist es falsch, dass alle Kreter immer lügen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass dieses falsche Paradoxon auf zwei Irrtümern beruht: einem Satz als selbstverständlich zu betrachten, ohne es zu sein, und einem lexikalischen Irrtum, der die Begriffe „Lügner“ und „jemand, der immer Lügen erzählt“ verwirrt. In Reinheit kann nicht gesagt werden, dass jemand ein Lügner ist; es ist keine Essenz, sondern ein Zustand. Man kann wie Epimenides lügen, aber auch die Wahrheit sagen. Eine Lüge zu erzählen macht dich nicht zu einem Lügner, der immer lügt. Deshalb ist es vor der Begründung wichtig, die Definitionen zu klären: Wenn ein Lügner jemand ist, der gelegentlich lügt, oder wenn er jemand ist, der immer lügt. Wenn wir im ersten Fall „Lügner“ als jemanden definieren, der gelegentlich lügt, ist das Paradoxon nicht so, sondern wiederum ein Irrtum mit einer falschen Schlussfolgerung:

Epimenides ist ein Lügner (manchmal lügt er)
Epimenides ist kretisch
→ Alle Kreter sind Lügner (gelegentlich lügen sie)

Die Schlussfolgerung konnte aus den Aussagen nicht abgeleitet werden. Es ist nicht bekannt, ob alle Kreter gelegentliche Lügner sind. Es ist bekannt, dass nur Epimeniden vorhanden sind.

Lösung
Alle Kreter sind Lügner, ich bin Kreter, dann lüge ich. Was in diesem Satz gesagt wird, ist eine Lüge, die für jedes hinzugefügte Morphem zur Lüge zurückkehrt.

Wertekonzepte:

Jeder.
Lügner.
Kretisch.

Um das Paradoxon zu verdeutlichen, müsste eine Fuzzy-Logik angewendet werden, 5 die feststellt, dass sie die Wahrheit sagt, eine Lüge sagt oder Ni fu ni fa.

Sie möchten die Informationen vergleichen

Bürger = Kreter / Alle ‚Diese Aufteilung ergibt 1‘

Alle Bürger wollen zählen, und dafür muss das Konto berechnet werden:

Home-Konto
Person (wahr)
{
Die Person = Alle muss bekannt sein (Konto = Konto + Bürger)
Wenn Information gleich Wahrheit ist
Es wird festgestellt, dass das Individuum eine Person = Wahrheit ist
Wenn Information gleich Lüge ist
Es wird festgestellt, dass das Individuum eine Person = Lügner ist
In jedem anderen Fall
Nullwert für die Person
}}
Wenn Person (Wahrheit) ein Lügner ist, dann
Einer wird dem Lügenkonto hinzugefügt
Wenn Person (Wahrheit) Wahrheit ist, dann
Einer wird dem Wahrheitskonto hinzugefügt
jeder andere Fall
Eine wird dem ni fu ni fa-Konto hinzugefügt
Endzählung
Jetzt wird die Lügenzahl mit dem Wert aller verglichen.

Wenn sie gleich sind, sind alle Kreter Lügner.

Dieses Beispiel zeigt, dass jeder für einen bestimmten Fall Lügner ist und nicht für alle Fälle, die auftreten können. Wenn angenommen wird, dass dies für alle Fälle der Fall ist, handelt es sich um ein Paradoxon. Sofern nicht alle Fälle einzeln geprüft werden, gilt die Aussage daher für verarbeitete Informationen und nicht für Informationen, die noch nicht verarbeitet wurden. Dieses Paradoxon wird, wenn absolute Werte angenommen werden, häufig im Irrtum des wahren Schotten verwendet.

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Currys Paradoxon

Currys Paradoxon ist ein Paradoxon, bei dem eine willkürliche Behauptung F aus der bloßen Existenz eines Satzes C bewiesen wird, der von sich selbst sagt: „Wenn C, dann F“ und nur wenige scheinbar harmlose logische Ableitungsregeln erfordert. Da F willkürlich ist, beweist jede Logik mit diesen Regeln alles. Das Paradoxon kann in natürlicher Sprache und in verschiedenen Logiken ausgedrückt werden, einschließlich bestimmter Formen der Mengenlehre, der Lambda-Rechnung und der kombinatorischen Logik.

Das Paradoxon ist nach dem Logiker Haskell Curry benannt. Aufgrund seiner Beziehung zum Satz von Löb wurde es nach Martin Hugo Löb auch Löbs Paradoxon genannt.

In natürlicher Sprache
Ansprüche der Form „wenn A, dann B“ werden bedingte Ansprüche genannt. Currys Paradoxon verwendet eine bestimmte Art von selbstreferenziellem bedingten Satz, wie in diesem Beispiel gezeigt:

Wenn dieser Satz wahr ist, dann grenzt Deutschland an China.

Obwohl Deutschland nicht an China grenzt, ist der Beispielsatz sicherlich ein Satz in natürlicher Sprache, und so kann die Wahrheit dieses Satzes analysiert werden. Das Paradoxon ergibt sich aus dieser Analyse. Die Analyse besteht aus zwei Schritten.

Erstens können übliche Beweisverfahren in natürlicher Sprache verwendet werden, um zu beweisen, dass der Beispielsatz wahr ist.

Zweitens kann die Wahrheit des Beispielsatzes verwendet werden, um zu beweisen, dass Deutschland an China grenzt. Da Deutschland nicht an China grenzt, deutet dies darauf hin, dass in einem der Beweise ein Fehler aufgetreten ist.

Die Behauptung „Deutschland grenzt an China“ könnte durch jede andere Behauptung ersetzt werden, und das Urteil wäre immer noch nachweisbar. Somit scheint jeder Satz beweisbar zu sein. Da der Beweis nur gut akzeptierte Abzugsmethoden verwendet und keine dieser Methoden falsch zu sein scheint, ist diese Situation paradox.

Informeller Beweis
Die Standardmethode zum Nachweis von bedingten Sätzen (Sätze der Form „wenn A, dann B“) wird als „bedingter Beweis“ bezeichnet. Bei dieser Methode wird zuerst A angenommen, um zu beweisen, dass „wenn A, dann B“, und dann wird mit dieser Annahme gezeigt, dass B wahr ist.

Um Currys Paradoxon zu erzeugen, wie in den beiden obigen Schritten beschrieben, wenden Sie diese Methode auf den Satz „Wenn dieser Satz wahr ist, grenzt Deutschland an China“ an. Hier bezieht sich A, „dieser Satz ist wahr“, auf den Gesamtsatz, während B „Deutschland grenzt an China“ ist. Die Annahme von A ist also die gleiche wie die Annahme von „Wenn A, dann B“. Daher haben wir bei der Annahme von A sowohl A als auch „Wenn A, dann B“ angenommen. Daher ist B durch modus ponens wahr, und wir haben bewiesen: „Wenn dieser Satz wahr ist, dann ist ‚Deutschland grenzt an China‘ wahr.“ in üblicher Weise durch Annahme der Hypothese und Ableitung der Schlussfolgerung.

Nun, da wir bewiesen haben, dass „Wenn dieser Satz wahr ist, dann ist“ Deutschland grenzt an China „wahr ist“, können wir wieder modus ponens anwenden, weil wir wissen, dass die Behauptung „dieser Satz ist wahr“ richtig ist. Auf diese Weise können wir schließen, dass Deutschland an China grenzt.

Formeller Beweis

Sententielle Logik
Im Beispiel im vorherigen Abschnitt wurde unformalisiertes Denken in natürlicher Sprache verwendet. Currys Paradoxon tritt auch in einigen Varianten der formalen Logik auf. In diesem Zusammenhang zeigt es, dass wir Y mit einem formalen Beweis beweisen können, wenn wir annehmen, dass es einen formalen Satz (X → Y) gibt, in dem X selbst äquivalent zu (X → Y) ist. Ein Beispiel für einen solchen formalen Beweis ist wie folgt. Eine Erläuterung der in diesem Abschnitt verwendeten Logiknotation finden Sie in der Liste der Logiksymbole.

X: = (X → Y)
Annahme, der Ausgangspunkt, äquivalent zu „Wenn dieser Satz wahr ist, dann Y“

X → X.
Gesetz der Identität

X → (X → Y)
Ersetzen Sie die rechte Seite von 2, da X X → Y durch 1 entspricht

X → Y.
von 3 durch Kontraktion

X.
Ersetzen Sie 4 durch 1

Y.
von 5 und 4 von modus ponens

Ein alternativer Beweis ist das Peirce-Gesetz. Wenn X = X → Y, dann (X → Y) → X. Dies impliziert zusammen mit dem Peirce-Gesetz ((X → Y) → X) → X und modus ponens X und anschließend Y (wie im obigen Beweis).

Wenn Y eine unbeweisbare Aussage in einem formalen System ist, gibt es in diesem System keine Aussage X, so dass X der Implikation entspricht (X → Y). Im Gegensatz dazu zeigt der vorherige Abschnitt, dass es in natürlicher (nicht formalisierter) Sprache für jede natürliche Sprachaussage Y eine natürliche Sprachaussage Z gibt, so dass Z in natürlicher Sprache (Z → Y) entspricht. Z ist nämlich „Wenn dieser Satz wahr ist, dann Y“.

In bestimmten Fällen, in denen die Klassifizierung von Y bereits bekannt ist, sind nur wenige Schritte erforderlich, um den Widerspruch aufzudecken. Wenn beispielsweise Y „Deutschland grenzt an China“ ist, ist bekannt, dass Y falsch ist.

X = (X → Y)
Annahme

X = (X → falsch)
Ersetzen Sie den bekannten Wert von Y.

X = (¬X ∨ falsch)
Implikation

X = ¬X
Identität

Naive Mengenlehre
Selbst wenn die zugrunde liegende mathematische Logik keine selbstreferenziellen Sätze zulässt, sind bestimmte Formen der naiven Mengenlehre immer noch anfällig für Currys Paradoxon. In Mengen-Theorien, die ein uneingeschränktes Verständnis ermöglichen, können wir dennoch jede logische Aussage Y beweisen, indem wir die Menge untersuchen

X = def {x ∣ x ∈ x → Y}.
Unter der Annahme, dass ∈ Vorrang vor → und ↔ hat, läuft der Beweis wie folgt ab:

X = {x ∣ x ∈ x → Y}
Definition von X.

x = X → (x ∈ x ↔ X ∈ X)
Ersetzung gleicher Mitgliederzahlen

x = X → ((x ∈ x → Y) ↔ (X ∈ X → Y))
Hinzufügung einer Konsequenz zu beiden Seiten eines Biconditional (von 2)

X ∈ X ↔ (X ∈ X → Y)
Gesetz der Konkretion (von 1 und 3)

X ∈ X → (X ∈ X → Y)
Bikonditionale Eliminierung (von 4)

X ∈ X → Y.
Kontraktion (von 5)

(X ∈ X → Y) → X ∈ X.
Bikonditionale Eliminierung (von 4)

X ∈ X.
Modus ponens (von 6 und 7)

Y.
Modus ponens (von 8 und 6)

Schritt 4 ist der einzige Schritt, der in einer konsistenten Mengenlehre ungültig ist. In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre wäre eine zusätzliche Hypothese erforderlich, die besagt, dass X eine Menge ist, was in ZF oder in seiner Erweiterung ZFC (mit dem Axiom der Wahl) nicht beweisbar ist.

Daher existiert in einer konsistenten Mengenlehre die Menge {x ∣ x ∈ x → Y} nicht für falsches Y. Dies kann als eine Variante von Russells Paradox angesehen werden, ist aber nicht identisch. Einige Vorschläge für die Mengenlehre haben versucht, mit Russells Paradoxon umzugehen, indem sie nicht die Regel des Verstehens einschränkten, sondern die Regeln der Logik so einschränkten, dass sie den Widerspruch der Menge aller Mengen tolerierten, die nicht Mitglieder ihrer selbst sind. Das Vorhandensein von Beweisen wie dem oben genannten zeigt, dass eine solche Aufgabe nicht so einfach ist, da mindestens eine der im obigen Beweis verwendeten Abzugsregeln weggelassen oder eingeschränkt werden muss.

Lambda-Kalkül
Das Curry-Paradoxon kann in einem untypisierten Lambda-Kalkül ausgedrückt werden, das durch eine eingeschränkte Minimallogik angereichert ist. Um mit den syntaktischen Einschränkungen des Lambda-Kalküls fertig zu werden, bezeichnet m die Implikationsfunktion mit zwei Parametern, dh der Lambda-Term ((m A) B) muss der üblichen Infixnotation A → B entsprechen. Eine beliebige Formel Z kann sein bewiesen durch Definition einer Lambda-Funktion N: = λ p. ((mp) Z) und X: = (YN), wobei Y Currys Festkommakombinator bezeichnet. Dann ist X = (NX) = ((m X) Z) durch Definition von Y und N, daher kann der obige sententiale logische Beweis im Kalkül dupliziert werden:

⊢ ((m X) X) durch das minimale logische Axiom A → A ⊢ ((m X) ((m X) Z)), da X = ((m X) Z) ⊢ ((m X) Z) durch das Satz (A → (A → B)) ⊢ (A → B) der minimalen Logik ⊢ X, da X = ((m X) Z) ⊢ Z nach Modus ponens A, (A → B) ⊢ B aus X und (( m X) Z)

In der einfach getippten Lambda-Rechnung können Festkomma-Kombinatoren nicht typisiert werden und sind daher nicht zugelassen.

Kombinatorische Logik
Currys Paradoxon kann auch in kombinatorischer Logik ausgedrückt werden, die eine äquivalente Ausdruckskraft wie Lambda-Kalkül hat. Jeder Lambda-Ausdruck kann in eine kombinatorische Logik übersetzt werden, sodass eine Übersetzung der Implementierung des Curry-Paradoxons in den Lambda-Kalkül ausreichen würde.

Der obige Term X bedeutet in der kombinatorischen Logik (rr), wobei

r = S (S (K m) (SII)) (KZ);
daher
(rr) = ((m (rr)) Z).

Diskussion
Currys Paradoxon kann in jeder Sprache formuliert werden, die grundlegende Logikoperationen unterstützt, die es auch ermöglichen, eine selbstrekursive Funktion als Ausdruck zu konstruieren. Zwei Mechanismen, die die Konstruktion des Paradoxons unterstützen, sind die Selbstreferenz (die Fähigkeit, innerhalb eines Satzes auf „diesen Satz“ zu verweisen) und das uneingeschränkte Verständnis in der naiven Mengenlehre. Natürliche Sprachen enthalten fast immer viele Merkmale, die zur Konstruktion des Paradoxons verwendet werden könnten, ebenso wie viele andere Sprachen. Normalerweise werden durch Hinzufügen von Metaprogrammierfunktionen zu einer Sprache die erforderlichen Funktionen hinzugefügt. In der mathematischen Logik wird im Allgemeinen nicht explizit auf eigene Sätze Bezug genommen. Das Herzstück von Gödels Unvollständigkeitssätzen ist jedoch die Beobachtung, dass eine andere Form der Selbstreferenz hinzugefügt werden kann; siehe Gödel-Nummer.

Das Axiom des uneingeschränkten Verstehens fügt die Fähigkeit hinzu, eine rekursive Definition in der Mengenlehre zu konstruieren. Dieses Axiom wird von der modernen Mengenlehre nicht unterstützt.

Die bei der Konstruktion des Beweises verwendeten logischen Regeln sind die Annahme-Regel für den bedingten Beweis, die Kontraktionsregel und der Modus ponens. Diese sind in den gängigsten logischen Systemen enthalten, z. B. in der Logik erster Ordnung.

Konsequenzen für eine formale Logik
In den 1930er Jahren spielten Currys Paradoxon und das damit verbundene Kleene-Rosser-Paradoxon eine wichtige Rolle, um zu zeigen, dass formale Logiksysteme, die auf selbstrekursiven Ausdrücken basieren, inkonsistent sind. Dazu gehören einige Versionen des Lambda-Kalküls und der kombinatorischen Logik.

Curry begann mit dem Kleene-Rosser-Paradoxon und folgerte, dass das Kernproblem in diesem einfacheren Curry-Paradoxon zum Ausdruck kommen könnte. Seine Schlussfolgerung kann so formuliert werden, dass kombinatorische Logik und Lambda-Kalkül nicht als deduktive Sprachen konsistent gemacht werden können, während dennoch eine Rekursion möglich ist.

Bei der Untersuchung der illativen (deduktiven) kombinatorischen Logik erkannte Curry 1941 die Implikation des Paradoxons als impliziten, dass die folgenden Eigenschaften einer kombinatorischen Logik ohne Einschränkungen nicht kompatibel sind:

Kombinatorische Vollständigkeit. Dies bedeutet, dass ein Abstraktionsoperator im System definierbar (oder primitiv) ist, was eine Voraussetzung für die Ausdruckskraft des Systems ist.

Deduktive Vollständigkeit. Dies ist eine Voraussetzung für die Ableitbarkeit, nämlich das Prinzip, dass in einem formalen System mit materieller Implikation und Modus ponens, wenn Y aus der Hypothese X beweisbar ist, auch ein Beweis für X → Y vorliegt.

Terminologie
Natürliche Sprache und mathematische Logik basieren beide auf der Behauptung, dass einige Aussagen wahr sind. Die Anweisung kann als logischer (oder boolescher) Ausdruck (oder Formel) dargestellt werden, der ausgewertet werden kann, um den Wert true oder false zu erhalten. Eine Anweisung ist eine Anweisung oder ein logischer Ausdruck, von dem behauptet wird, dass er bei der Auswertung einen wahren Wert ergibt.

Demonstrationen können auch auf komplexere Weise betrachtet werden. Aussagen können durch das, was Sie behaupten oder an sie glauben, und durch das Maß an Sicherheit qualifiziert werden. Für die Logik ist jedoch die oben angegebene einfache Definition ausreichend.

Existenzproblem
Dieses Paradoxon ähnelt:

Lügnerparadoxon
Russells Paradoxon
in dem jedes Paradoxon versucht, etwas zu benennen, das nicht existiert. Diese Paradoxien versuchen alle, einer Lösung der Gleichung einen Namen oder eine Darstellung zu geben.

X = ¬X
Beachten Sie, dass das Paradoxon nicht aus der Durchsetzung der Aussage von ¬X entsteht, da eine solche Aussage eine Lüge wäre. Sie ergibt sich aus der Prüfung und Benennung der Erklärung. Das Paradoxon entsteht, indem ein Ausdruck der Form ¬X als X bezeichnet oder dargestellt wird. Im Fall des Curry-Paradoxons wird die Negation aus der Implikation konstruiert.

X = X → falsch = ¬X ∨ falsch = ¬X
Die Domäne einer booleschen Variablen X ist die Menge {true, false}. Weder wahr noch falsch ist jedoch eine Lösung für die obige Gleichung. Es muss also falsch sein, die Existenz von X zu behaupten, und es ist eine Lüge, den ¬X-Ausdruck als X zu bezeichnen.

Das Paradoxon dort ist immer ein Ausdruck, der konstruiert werden kann, dessen Wert nicht existiert. Dies kann mit „dieser Aussage“ erreicht werden, aber es gibt viele andere sprachliche Merkmale, die die Konstruktion eines Ausdrucks ermöglichen, der nicht existiert.

Sprachressourcen, um das Paradox auszudrücken
Currys Paradoxon kann in jeder Sprache formuliert werden, die grundlegende logische Operationen unterstützt, mit denen auch eine automatisch rekursive Funktion als Ausdruck konstruiert werden kann. Die folgende Liste enthält einige Mechanismen, die die Konstruktion des Paradoxons unterstützen, die Liste ist jedoch nicht vollständig.

Selbstreferenz; „dieser Satz“.
Durch die Nomenklatur eines Ausdrucks, der den Namen enthält.
Wenden Sie die naive Mengenlehre an (uneingeschränktes Verständnis).
Lambda-Ausdrücke.
Eine Eval-Funktion in einem Wort.

Die logischen Regeln für die Erstellung von Beweismitteln sind:

Annahmeregel
Kontraktion
Modus Ponens

Die automatisch rekursive Funktion kann dann verwendet werden, um eine Abbruchberechnung zu definieren, deren Wert nicht die Lösung einer Gleichung ist. In Currys Paradoxon verwenden wir Implikation, um eine Negation zu konstruieren, die eine Gleichung ohne Lösung erstellt.

Der rekursive Ausdruck repräsentiert dann einen Wert, der nicht existiert. Die Gesetze der Logik gelten nur für Boolesche Werte in {true, false}, sodass eine Beibehaltung des Ausdrucks möglicherweise fehlerhaft ist.

Natürliche Sprachen enthalten fast immer viele der Ressourcen, die zur Konstruktion des Paradoxons verwendet werden könnten, genau wie viele andere Sprachen. Normalerweise werden durch Hinzufügen von Meta-Programmierfunktionen für eine Sprache die erforderlichen Funktionen hinzugefügt.

Die mathematische Logik toleriert im Allgemeinen keine explizite Bezugnahme auf ihre eigenen Sätze. Das Herzstück von Gödels Unvollständigkeitssätzen ist jedoch die Beobachtung, dass Selbstreferenz hinzugefügt werden kann; siehe die Gödel-Nummer.

Das Axiom des uneingeschränkten Verstehens fügt die Fähigkeit hinzu, eine rekursive Definition in der Mengenlehre zu konstruieren. Dieses Axiom wird von der modernen Mengenlehre nicht unterstützt.

Konsequenzen für eine formale Logik
In den 1930er Jahren spielten das Curry-Paradoxon und das verwandte Kleene-Rosser-Paradoxon eine wichtige Rolle, um zu zeigen, dass formale Logiksysteme, die auf selbstrekursiven Ausdrücken basieren, inkonsistent sind.

Lambda-Kalkül
kombinatorische Logik

Curry begann mit dem Kleene-Rosser-Paradoxon und folgerte, dass das zentrale Problem in diesem einfacheren Paradoxon von Curry zum Ausdruck kommen könnte. Seine Schlussfolgerung lässt sich sagen, dass kombinatorische Logik und Lambda-Berechnung als deduktive Sprache nicht kohärent sein könnten, was eine Rekursion ermöglicht.

Bei der Untersuchung der illativen (deduktiven) kombinatorischen Logik erkannte Curry 1941 die Implikation des Paradoxons als implizierend, dass die folgenden Eigenschaften einer kombinatorischen Logik ohne Einschränkungen nicht kompatibel sind:

Kombinatorische Vollständigkeit. Dies bedeutet, dass ein Abstraktionsoperator im System definierbar (oder primitiv) ist, was eine Voraussetzung für die Ausdruckskraft des Systems ist.
Deduktive Vollständigkeit. Dies ist eine Ableitungsanforderung, dh das Prinzip, dass in einem formalen System mit Implikation und materiellem Modus ponens, wenn Y von der Hypothese X abziehbar ist, auch ein Beweis für X → Y vorliegt.

Auflösung
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Quellen finden: „Curry’s Paradoxon“ – Nachrichten • Zeitungen • Bücher • Gelehrter • JSTOR (August 2019) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlagennachricht entfernen können)

Die sachliche Richtigkeit dieses Abschnitts ist umstritten. Relevante Diskussionen finden Sie auf Talk: Currys Paradoxon. Bitte helfen Sie dabei, sicherzustellen, dass umstrittene Aussagen zuverlässig stammen. (August 2019) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlagennachricht entfernen können.)

Beachten Sie, dass Currys Paradoxon im Gegensatz zum Lügnerparadoxon oder Russells Paradoxon nicht davon abhängt, welches Negationsmodell verwendet wird, da es vollständig negationsfrei ist. Daher können parakonsistente Logiken immer noch für dieses Paradoxon anfällig sein, selbst wenn sie gegen das Lügnerparadoxon immun sind.

Keine Auflösung im Lambda-Kalkül
Der Ursprung des Lambda-Kalküls der Alonzo-Kirche könnte gewesen sein: „Wie können Sie eine Gleichung lösen, um eine Definition einer Funktion bereitzustellen?“. Dies drückt sich in dieser Äquivalenz aus,

fx = y ⟺ f = λ xy

Diese Definition ist gültig, wenn es eine und nur eine Funktion f gibt, die die Gleichung fx = y erfüllt, ansonsten jedoch ungültig. Dies ist der Kern des Problems, das Stephen Cole Kleene und dann Haskell Curry mit kombinatorischer Logik und Lambda-Rechnung entdeckten.

Die Situation kann mit der Definition verglichen werden
y = x 2 ⟺ x = y.

Diese Definition ist in Ordnung, solange nur positive Werte für die Quadratwurzel zulässig sind. In der Mathematik kann eine existenziell quantifizierte Variable mehrere Werte darstellen, jedoch jeweils nur einen. Die existenzielle Quantifizierung ist die Disjunktion vieler Instanzen einer Gleichung. In jeder Gleichung ist ein Wert für die Variable.

In der Mathematik muss ein Ausdruck ohne freie Variablen jedoch nur einen Wert haben. 4 kann also nur + 2 darstellen. Es gibt jedoch keine bequeme Möglichkeit, die Lambda-Abstraktion auf einen Wert zu beschränken oder sicherzustellen, dass es einen Wert gibt.

Die Lambda-Rechnung ermöglicht die Rekursion, indem dieselbe Funktion übergeben wird, die als Parameter aufgerufen wird. Dies ermöglicht Situationen, in denen fx = y mehrere oder keine Lösungen für f hat.

Der Lambda-Kalkül kann als Teil der Mathematik betrachtet werden, wenn nur Lambda-Abstraktionen zulässig sind, die eine einzige Lösung für eine Gleichung darstellen. Andere Lambda-Abstraktionen sind in der Mathematik falsch.

Currys Paradoxon und andere Paradoxe entstehen im Lambda-Kalkül aufgrund der Inkonsistenz des Lambda-Kalküls, der als deduktives System betrachtet wird. Siehe auch deduktive Lambda-Rechnung.

Domäne der Lambda-Kalkülbegriffe

Die Lambda-Rechnung ist eine konsistente Theorie auf ihrem eigenen Gebiet. Es ist jedoch nicht konsistent, die Lambda-Abstraktionsdefinition zur allgemeinen Mathematik hinzuzufügen. Lambda-Begriffe beschreiben Werte aus der Lambda-Kalküldomäne. Jeder Lambda-Begriff hat einen Wert in dieser Domäne.

Bei der Übersetzung von Ausdrücken aus der Mathematik in den Lambda-Kalkül ist der Bereich der Lambda-Kalkülbegriffe nicht immer isomorph zum Bereich der mathematischen Ausdrücke. Dieser Mangel an Isomorphismus ist die Quelle der offensichtlichen Widersprüche.

Auflösung in uneingeschränkten Sprachen

Es gibt viele Sprachkonstrukte, die implizit eine Gleichung aufrufen, die möglicherweise keine oder viele Lösungen hat. Die Klangauflösung für dieses Problem besteht darin, diese Ausdrücke syntaktisch mit einer existenziell quantifizierten Variablen zu verknüpfen. Die Variable repräsentiert die mehreren Werte auf eine Weise, die für das allgemeine menschliche Denken von Bedeutung ist, aber auch für die Mathematik gilt.

Beispielsweise ist eine natürliche Sprache, die die Eval-Funktion ermöglicht, mathematisch nicht konsistent. Aber jeder Aufruf an Eval in dieser natürlichen Sprache kann auf konsistente Weise in Mathematik übersetzt werden. Die Übersetzung von Eval (s) in die Mathematik ist

sei x = Eval (s) in x.
Also wo s = „Eval (s) → y“,

sei x = x → y in x.
Wenn y falsch ist, dann ist x = x → y falsch, aber dies ist eine Lüge, kein Paradoxon.

Die Existenz der Variablen x war in der natürlichen Sprache implizit. Die Variable x wird erstellt, wenn die natürliche Sprache in Mathematik übersetzt wird. Dies ermöglicht es uns, natürliche Sprache mit natürlicher Semantik zu verwenden und gleichzeitig die mathematische Integrität aufrechtzuerhalten.

Auflösung in formaler Logik
Das Argument in der formalen Logik beginnt mit der Annahme der Gültigkeit der Benennung (X → Y) als X. Dies ist jedoch kein gültiger Ausgangspunkt. Zuerst müssen wir die Gültigkeit der Benennung ableiten. Der folgende Satz ist leicht zu beweisen und repräsentiert eine solche Benennung:

∀ A, ∃ X, X = A.
In der obigen Anweisung wird die Formel A als X bezeichnet. Versuchen Sie nun, die Formel mit (X → Y) für A zu instanziieren. Dies ist jedoch nicht möglich, da der Bereich von ∃ X innerhalb des Bereichs von ∀ A liegt. Die Reihenfolge der Quantifizierer können mit Skolemization umgekehrt werden:

∃ f, ∀ A, f (A) = A.
Jetzt gibt jedoch die Instanziierung

f (X → Y) = X → Y,
Dies ist nicht der Ausgangspunkt für den Beweis und führt nicht zu einem Widerspruch. Es gibt keine anderen Instanziierungen für A, die zum Ausgangspunkt des Paradoxons führen.

Auflösung in der Mengenlehre

In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) wird das Axiom des uneingeschränkten Verständnisses durch eine Gruppe von Axiomen ersetzt, die die Konstruktion von Mengen ermöglichen. Currys Paradoxon kann also nicht in ZFC angegeben werden. ZFC entwickelte sich als Reaktion auf Russells Paradoxon.

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Logik Paradoxe

Paradox des Hofes

Das Paradox des Hofes, auch als Gegendilemma von Euathlus bekannt, ist ein Paradoxon, das seinen Ursprung im antiken Griechenland hat. Es wird gesagt, dass der berühmte Sophist Protagoras einen Schüler, Euathlus, unter der Voraussetzung aufgenommen hat, dass der Student Protagoras für seinen Unterricht bezahlt, nachdem er seinen ersten Gerichtsfall gewonnen hat. Nach Anweisung beschloss Euathlus, nicht in den Rechtsberuf einzutreten, und Protagoras beschloss, Euathlus wegen des geschuldeten Betrags zu verklagen.

Protagoras argumentierte, dass er sein Geld erhalten würde, wenn er den Fall gewinnen würde. Wenn Euathlus den Fall gewonnen hätte, würde Protagoras weiterhin gemäß dem ursprünglichen Vertrag bezahlt, da Euathlus seinen ersten Fall gewonnen hätte. Euathlus behauptete jedoch, wenn er gewinnen würde, müsste er nach der Entscheidung des Gerichts Protagoras nicht bezahlen. Wenn andererseits Protagoras gewonnen hätte, hätte Euathlus immer noch keinen Fall gewonnen und wäre daher nicht zur Zahlung verpflichtet. Die Frage ist dann, welcher der beiden Männer im Recht ist?

Die Geschichte wird vom lateinischen Autor Aulus Gellius in Attic Nights erzählt.

Analyse
Aus moralischer Sicht kann argumentiert werden, dass beide Parteien Recht hatten oder dass keine Recht hatte, da die Situation nicht eindeutig ist. Wenn das Gericht jedoch zugunsten von Protágoras entscheidet, wären die Bedingungen des ursprünglichen Vertrags zwischen ihm und seinem Schüler gesetzlich ungültig, und Evatlo müsste Protágoras bezahlen. Wenn im Gegenteil Evatlo der Gewinner wäre, könnte das Gericht auch seine Zahlungsverpflichtung aufheben.

Die Art und Weise, wie das Gericht seine Entscheidung treffen kann, ist auch aus objektiver Sicht kein Paradoxon. Das Gericht kann entscheiden, dass Evatlo (als Angeklagter) gegen die Vertragsbedingungen verstoßen hat oder dies nicht getan hat. Spätere Erläuterungen hätten keine rechtlichen Konsequenzen für die Gerichtsentscheidung.

In einigen Fällen ist der Zivilangeklagte, wenn er die Gunst des Gerichts erhält, auch vor den Zahlungen geschützt, die mit der Verhandlung verbunden sind. Tatsächlich könnte das Gericht Protágoras als unterlegenen Kläger anweisen, Evatlo den Betrag zu zahlen, den es ihn gekostet hat, zu gewinnen. In diesem Fall würde Evatlo Protágoras bezahlen und das Geld per Gerichtsbeschluss zurückgeben. Der ursprüngliche Vertrag wäre erfüllt worden und Evatlo hätte keine zusätzliche Verpflichtung, seine Anweisung an Protágoras zu bezahlen. Das Ergebnis für Protágoras wäre, dass es den Fall verloren hätte, die Zahlung gemäß dem ursprünglichen Vertrag erhalten hätte und dann die Verluste des Rechtsstreits für die fehlgeschlagene Forderung bezahlen müsste (die in diesem Fall gleich oder größer als die wäre Kosten für Evatlos Ausbildung)

Darüber hinaus könnte Evatlo einen Anwalt beauftragen, der den Fall übernimmt, wodurch der vorliegende Fall als Zahlungsbeispiel für ungültig erklärt wird.

Der Anekdote zufolge war Euathlos arm und konnte sich die Lektionen von Protagoras nicht leisten. Letzterer akzeptierte ihn als Schüler, nachdem er folgende Vereinbarung getroffen hatte:

Euathlos wird die gewonnenen Erkenntnisse erstatten, sobald er seinen ersten Versuch gewonnen hat.
Nach Abschluss seiner Ausbildung weigerte sich Eualthos, sowohl als Anwalt zu plädieren als auch Protagoras zu bezahlen. Ohne Flehen konnte er keinen Prozess gewinnen. Nachdem er keine Klage gewonnen hatte, musste er seinen Herrn nicht erstatten. Protagoras griff ihn dann vor Gericht an, um seinen Schüler zum Flehen zu zwingen.

Protagoras argumentiert wie folgt:

Wenn Eualthos seine Klage gewinnt, muss er seinen Herrn erstatten, da dies die Bedingungen ihrer Vereinbarung waren.
Wenn Eualthos seinen Prozess verliert, muss er seinen Meister erstatten, weil ihn die Gerechtigkeit dazu zwingt.

Protagoras würden daher unabhängig vom Ausgang des Prozesses erstattet. Entweder aufgrund der Vereinbarung mit Eualthos oder aufgrund einer gerichtlichen Entscheidung. Das Paradoxon greift in die Antwort des Schülers ein. Ihm zufolge wird er nichts zu erstatten haben. Was auch immer das Ergebnis des Prozesses sein mag, er wird nicht bezahlen.

Seine Argumentation des Schülers wird wie folgt ausgedrückt:

Wenn er seine Klage gewinnt, darf er seinen Herrn nicht erstatten, da ihn die Gerechtigkeit freigesprochen hat.
Wenn er seine Prüfung verliert, darf er seinen Meister nicht erstatten, da sein Unterricht unwirksam ist.

Wie sollen wir diesen Konflikt letztendlich beurteilen?

Vielleicht müssen wir, um dies zu beurteilen, zuerst auf das Ergebnis des Prozesses warten, da dieses Ergebnis bestimmt, wer falsch und wer richtig ist. Was zwei Möglichkeiten eröffnet:

Es reicht daher aus, zu warten, bis der Prozess beendet ist, um ihn fortsetzen zu können. und in der Zwischenzeit wird Euathlos zweifellos an einem weiteren bedeutenderen Prozess beteiligt gewesen sein …
Protagoras entlassen, da sein Prozess ohne Grund ist: Da das Ergebnis des ersten Prozesses gegen Euathlos noch nicht bekannt ist, kann Protagoras nicht bestätigen, dass Euathlos ihm bereits etwas schuldet, was gegen die Vereinbarung verstößt. Damit das Paradoxon verschwindet, muss der Richter zunächst Euathlos zustimmen. Protagoras können dann einen weiteren Versuch einleiten.

Tatsächlich befindet sich der Richter durch das Spiel zwischen zwei unabhängigen Rechtsnormen (Vertragsrecht und die ursprüngliche Vereinbarung zwischen den beiden Parteien) in einer Situation, in der das Ergebnis, das er aussprechen muss, immer das Gegenteil von dem ist, was er sein muss: Protagoras als zu bezeichnen Als Gewinner muss er ihn als Verlierer betrachten (und umgekehrt). Es ist ein klassisches selbstreferenzielles Paradoxon vom Typ Lügner, aber mit einer zeitlichen Dimension, die berücksichtigt werden muss (wie im Paradoxon des Großvaters, bei dem ein zeitreisender Mensch seine Eltern vor seiner Geburt tötet).

Eine andere Theorie
Eine andere Sichtweise auf den Fall ist wie folgt:

Evatlo würde seinen Fall gewinnen, da Protágoras ihn verklagte, bevor Evatlo seinen ersten Fall gewann. Protágoras würde diesen speziellen Fall verlieren, weil Evatlo noch keinen Fall gewonnen hat und sich daher der Grund für die Klage von Protágoras noch nicht manifestiert hatte.

Evatlos neuer Sieg würde als neuer Test für Protágoras angesehen werden, was der Grund für einen neuen Prozess ist.

Es kann kritisiert werden, dass dies zwar eine praktische Lösung darstellt, aber das logische Paradoxon nicht löst. Dies kann jedoch in Frage gestellt werden, indem eine Schlüsselannahme in der Logik identifiziert wird, die der ewigen Zustände.

Diese Lösung funktioniert, weil sie die Annahme der ewigen Zustände notiert, dh die Beschreibung gilt für die gesamte Zeit. Wenn diese Annahme falsch ist, dass das Gericht die Entscheidung ohne Kenntnis der Ergebnisse des Verfahrens trifft (oder Beweise jederzeit nach Beginn des Verfahrens, aber nach dem Ende des Verfahrens ausschließt), kann sie gelöst werden, weil Der Student hat den Fall zu diesem Zeitpunkt noch nicht gewonnen. Das Gericht kann entscheiden, dass es nicht gewonnen hat, daher muss es nicht ohne Widerspruch zahlen. Eine neue Forderung nach Protágoras ist ebenfalls nicht widersprüchlich. In dieser zweiten Klage hat sich der Status des Studenten geändert: Er hat jetzt einen Fall gewonnen. Die zweite Klage enthält nicht das Ergebnis der ersten, da sie vor der zweiten Verhandlung liegt und das Gericht frei zugunsten von Protágoras entscheiden kann. Wenn wir von ewigen Zuständen ausgehen, müsste das Gericht alle Fälle kennen, an denen der Student sein Leben lang teilnehmen wird, sowohl in der Vergangenheit als auch in der Zukunft. In diesem Fall würde es einen Widerspruch für eine Annahme geben, die nicht realistisch wäre. Daher könnte der Schüler den ersten Fall gewinnen, aber den zweiten verlieren, da dies zu verschiedenen Zeiten seines Lebens geschieht.

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Logik Paradoxe

Krokodildilemma

Das Krokodilparadoxon, auch als Krokodil-Sophismus bekannt, ist ein Paradoxon in der Logik in derselben Familie von Paradoxien wie das Lügnerparadoxon. Die Prämisse besagt, dass ein Krokodil, das ein Kind gestohlen hat, dem Vater / der Mutter verspricht, dass sein Kind genau dann zurückgegeben wird, wenn sie richtig vorhersagen, was das Krokodil als nächstes tun wird.

Inhalt
Der Krokodilverschluss ist ein klassisches dialektisches Paradoxon der Antike, das sich auf ein fiktives Gespräch zwischen einem Krokodil und einer Mutter bezieht. Das Krokodil hat der Mutter ein Kind gestohlen. Auf Wunsch der Mutter, das Kind zurückzugeben, verspricht das Krokodil, das Kind dann und nur dann zurückzugeben, wenn die Mutter richtig errät, was es mit dem Kind tun wird.

Auf diese Weise wird die Mutter gefangen.

Sie antwortet nämlich, das Krokodil werde das Kind zurückbringen, es werde nach der Logik ihres Vorschlags mit größter Sicherheit sein Kind verlieren, weil das Krokodil ja als Raiders des Kindesinteresses das Kind behalten will.

Wenn sie jedoch antwortet, dass das Krokodil das Kind nicht gemäß seinem Interesse zurückgibt, bringt sie das Krokodil in ein argumentatives Dilemma. Wenn das Krokodil das Kind behält, verletzt es sein eigenes Wort. Das Krokodil kann daher nur antworten, dass es sich nicht an sein Wort gebunden fühlt, da die Mutter selbst die logische Möglichkeit einer Rückkehr durch ihre Antwort ausgeschlossen hat. Die Mutter kann ihr Kind nur noch vertragsgemäß zurückfordern.

Erklärung des Paradoxons
Wir können das Paradox wie folgt formulieren:

Ein Krokodil schnappt sich ein Baby und sagt zu der Mutter: „Wenn Sie raten, was ich tun werde, gebe ich Ihnen das Baby zurück, sonst esse ich es. ”

Angenommen, das Krokodil hält sein Wort, was muss die Mutter sagen, damit das Krokodil das Kind seiner Mutter zurückgibt?

Eine übliche Antwort der Mutter lautet: „Du wirst es verschlingen! ”

Wenn das Krokodil das Kind verschlungen hätte, hätte die Mutter richtig geraten und das Krokodil müsste das Kind zurückgeben.

Wenn das Krokodil das Kind zurückgebracht hätte, hätte sich die Mutter geirrt und das Krokodil müsste es verschlingen.

In beiden Fällen kann das Krokodil sein Wort nicht halten und ist mit einem Paradoxon konfrontiert.

Laut Lewis Carroll wird das Krokodil das Kind essen, weil es in seiner Natur liegt. Dieses Paradoxon wurde von Lucien de Samosate, der es dem stoischen Chrysippus in den Mund steckt, im Dialog Sekten auf einer Auktion erzählt.

Über diesen krokodilischen Irrtum berichtet Quintilian in seinem Auszug aus der Oratory Institution, dem lateinischen Autor des 1. Jahrhunderts.

Wenn die Mutter jedoch antwortet: „Du wirst es mir zurückgeben“, gibt es kein Paradox mehr und die Aussage ist wahr, ob das Krokodil das Kind zurückgibt oder es verschlingt.

Das Wahre und das Falsche
Dieses Paradoxon ähnelt dem Paradoxon des Lügners in dem Sinne, dass wenn wir wollen, dass die Aussage wahr ist, sie falsch wird und wenn wir wollen, dass sie falsch ist, wird sie wahr.

Es gibt eine subtilere Antwort der Mutter: „Du wirst mein Kind verschlingen oder du wirst es zurückgeben!“ ”

Das Krokodil kann sein Wort nicht halten und das Kind verschlingen. Seine einzige Möglichkeit, sein Wort zu halten, besteht darin, das Kind zurückzugeben. In diesem Fall hat die Mutter vorhergesagt, was das Krokodil tun wird.

Diese Art von Situation wird von Raymond Smullyan in seinem Buch Les Énigmes de Shéhérazade als „Zwangslogik“ bezeichnet. Die Beispiele, die er in seinem Kapitel „Die große Frage“ gibt, entsprechen genau der Situation des Krokodilparadoxons.

Die Transaktion ist logisch reibungslos, aber unvorhersehbar, wenn der Elternteil vermutet, dass das Kind zurückgegeben wird. Für das Krokodil entsteht jedoch ein Dilemma, wenn der Elternteil vermutet, dass das Kind nicht zurückgegeben wird. Für den Fall, dass das Krokodil beschließt, das Kind zu behalten, verstößt es gegen seine Bestimmungen: Die Vorhersage des Elternteils wurde bestätigt, und das Kind sollte zurückgegeben werden. Für den Fall, dass das Krokodil beschließt, das Kind zurückzugeben, verstößt es dennoch gegen seine Bestimmungen, auch wenn diese Entscheidung auf dem vorherigen Ergebnis basiert: Die Vorhersage des Elternteils wurde gefälscht, und das Kind sollte nicht zurückgegeben werden. Die Frage, was das Krokodil tun soll, ist daher paradox, und es gibt keine gerechtfertigte Lösung.

Das Krokodildilemma dient dazu, einige der logischen Probleme aufzudecken, die durch Metaknowledge entstehen. In dieser Hinsicht ähnelt es in seiner Konstruktion dem unerwarteten hängenden Paradoxon, mit dem Richard Montague (1960) demonstrierte, dass die folgenden Annahmen über Wissen in Kombination inkonsistent sind:

(i) Wenn bekannt ist, dass ρ wahr ist, dann ist ρ.

(ii) Es ist bekannt, dass (i).

(iii) Wenn ρ σ impliziert und bekannt ist, dass ρ wahr ist, dann ist auch bekannt, dass σ wahr ist.

Antike griechische Quellen diskutierten als erste das Krokodildilemma.

Art
Es gibt andere Variationen, wie zum Beispiel: „Der zum Tode verurteilte Prophet hat die Prophezeiung des Königs und ändert die Hinrichtungsmethode, je nachdem, ob sie erfüllt wurde oder nicht.“

In der Folge 13 „Laughter Kangaroo“ des Dramas „Nisaburo Furuhata“ erschien ein Löwe vor dem Abenteurer und stellte dieselbe Frage wie im obigen Krokodil und erschien als Geschichte an der Bar.

Spanien des Romans „Don Quijote in“, Beratung, wie die folgende zum ursprünglichen Sancho Panza kommt in Mikrocomputer. „Um die Brücke zu überqueren, musst du ihren Zweck melden, und wenn es eine Lüge ist, wirst du gehängt. Ein Mann sagt: „Ich werde gehängt. Ich bin gekommen, um zu sein. ‚

Sancho Panza hingegen sagt, er sollte einfach passen. Das Grundprinzip ist, dass „mir von meinem Mann immer gesagt wurde, dass ich im Zweifelsfall barmherzig sein sollte.“

Wortlaut
Das Krokodil riss der Ägypterin am Ufer des Flusses ihr Kind heraus. Das Krokodil brachte das Kind auf ihre Bitte zurück, nachdem es wie immer eine Krokodilsträne vergossen hatte, und antwortete:

„Ihr Unglück hat mich bewegt, und ich werde Ihnen die Chance geben, Ihr Kind zurückzubekommen.“ Ratet mal, ob ich es euch geben werde oder nicht. Wenn Sie richtig antworten, werde ich das Kind zurückgeben. Wenn Sie nicht raten, werde ich es nicht aufgeben.

Nachdenklich antwortete die Mutter:

„Du wirst mir das Baby nicht geben.“

„Sie werden es nicht bekommen“, schloss das Krokodil. „Du hast entweder die Wahrheit oder die Unwahrheit gesagt.“ Wenn die Tatsache, dass ich das Kind nicht aufgeben werde, wahr ist, werde ich es nicht zurückgeben, weil es sonst nicht wahr sein wird. Wenn das Gesagte nicht stimmt, haben Sie es nicht erraten, und ich werde das Kind nicht einvernehmlich aufgeben.

Die Mutter fand diese Argumentation jedoch nicht überzeugend:

„Aber wenn ich die Wahrheit gesagt habe, dann wirst du mir das Kind geben, wie wir vereinbart haben.“ Wenn ich nicht vermutet hätte, dass Sie das Kind nicht aufgeben würden, sollten Sie es mir geben, sonst wäre das, was ich sagte, nicht falsch.

Wer hat Recht: Mutter oder Krokodil? Was verspricht ihnen das Krokodil? Das Kind verschenken oder umgekehrt nicht verschenken? Und zu diesem und zu einem anderen gleichzeitig. Dieses Versprechen ist innerlich widersprüchlich und daher aufgrund der Gesetze der Logik nicht zu erfüllen.

Noch eine Formulierung
Der Missionar befand sich bei den Kannibalen und kam pünktlich zum Abendessen an. Sie erlauben ihm zu wählen, in welcher Form er gegessen wird. Um dies zu tun, muss er eine Aussage mit der Bedingung machen, dass wenn diese Aussage wahr ist, sie sie schweißen wird, und wenn sie sich als falsch herausstellt, wird sie gebraten.

Was soll man dem Missionar sagen?

Er muss sagen: „Du wirst mich braten.“ Wenn es wirklich gebraten ist, stellt sich heraus, dass er die Wahrheit ausgedrückt hat, und deshalb muss es gekocht werden. Wenn es gekocht wird, ist seine Aussage falsch und es sollte nur gebraten werden. Die Kannibalen haben keine Wahl: von „braten“ folgt „kochen“ und umgekehrt.

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Logik Paradoxe

Bhartrharis Paradoxon

Bhartrharis Paradoxon: Die These, dass es einige Dinge gibt, die nicht benennbar sind, widerspricht der Vorstellung, dass etwas benannt wird, indem man es unbenennbar nennt.

Bhartṛhari ist ein Sanskrit-Schriftsteller, dem normalerweise zwei einflussreiche Sanskrit-Texte zugeschrieben werden:

das Vākyapadīya über Sanskrit-Grammatik und Sprachphilosophie, ein Grundtext in der indischen grammatikalischen Tradition, der zahlreiche Theorien über das Wort und den Satz erklärt, einschließlich Theorien, die unter dem Namen Sphoṭa bekannt wurden; In dieser Arbeit diskutierte Bhartrhari auch logische Probleme wie das Lügnerparadoxon und ein Paradoxon der Unbenennbarkeit oder Nichtunterzeichnbarkeit, das als Bhartrharis Paradoxon bekannt geworden ist, und
das Śatakatraya, ein Werk der Sanskrit-Poesie, bestehend aus drei Sammlungen mit jeweils etwa 100 Strophen; es kann von demselben Autor stammen oder nicht, der die beiden genannten grammatikalischen Werke verfasst hat.
In der mittelalterlichen Tradition der indischen Wissenschaft wurde angenommen, dass beide Texte von derselben Person verfasst wurden. Moderne Philologen standen dieser Behauptung aufgrund eines Arguments skeptisch gegenüber, das die Grammatik auf ein Datum nach der Poesie datierte. Seit den 1990er Jahren sind sich die Wissenschaftler jedoch einig, dass beide Werke tatsächlich zeitgemäß waren. In diesem Fall ist es plausibel, dass es nur einen Bhartrihari gab, der beide Texte schrieb.

Sowohl die Grammatik als auch die poetischen Werke hatten in ihren jeweiligen Bereichen einen enormen Einfluss. Insbesondere die Grammatik betrachtet die Sprache ganzheitlich und widerspricht der kompositorischen Position der Mimamsakas und anderer.

Die Gedichte bestehen aus kurzen Versen, die in drei Jahrhunderten zu je etwa hundert Gedichten zusammengefasst sind. Jedes Jahrhundert befasst sich mit einer anderen Rasa oder ästhetischen Stimmung; Insgesamt wurde sein poetisches Werk sowohl innerhalb der Tradition als auch in der modernen Wissenschaft sehr geschätzt.

Der Name Bhartrihari wird manchmal auch mit Bhartrihari traya Shataka, dem legendären König von Ujjaini im 1. Jahrhundert, in Verbindung gebracht.

Datum und Identität
Der Bericht des chinesischen Reisenden Yi-Jing zeigt, dass Bhartriharis Grammatik um 670 n. Chr. Bekannt war und dass er möglicherweise Buddhist war, was der Dichter nicht war. Auf dieser Grundlage hatte die wissenschaftliche Meinung die Grammatik früher einem separaten gleichnamigen Autor aus dem 7. Jahrhundert n. Chr. Zugeschrieben. Andere Beweise deuten jedoch auf ein viel früheres Datum hin:

Es wurde lange angenommen, dass Bhartrihari im siebten Jahrhundert n. Chr. Gelebt hat, aber nach dem Zeugnis des chinesischen Pilgers Yijing war er dem buddhistischen Philosophen Dignaga bekannt, und dies hat sein Datum auf das fünfte Jahrhundert n. Chr. Zurückgeschoben.

Ein Zeitraum von c. 450–500 „definitiv nicht später als 425–450“ oder nach Erich Frauwallner 450–510 oder vielleicht 400 CE oder noch früher.

Yi-Jings andere Behauptung, Bhartrihari sei ein Buddhist, scheint nicht zu gelten; Seine philosophische Position gilt weithin als Ableger der Vyakaran- oder Gymnasialschule, die eng mit dem Realismus der Naiyayikas verbunden und eindeutig gegen buddhistische Positionen wie Dignaga ist, die dem Phänomenalismus näher stehen. Es ist auch gegen andere mImAMsakas wie Kumarila Bhatta. Einige seiner Ideen beeinflussten jedoch später einige buddhistische Schulen, was Yi-Jing möglicherweise zu der Vermutung veranlasst hat, dass er Buddhist gewesen sein könnte.

Insgesamt scheint es daher wahrscheinlich, dass die traditionelle sanskritistische Ansicht, dass der Dichter des Śatakatraya der gleiche ist wie der Grammatiker Bhartṛhari, akzeptiert werden kann.

Der führende Sanskrit-Gelehrte Ingalls (1968) erklärte: „Ich sehe keinen Grund, warum er nicht Gedichte sowie Grammatik und Metaphysik hätte schreiben sollen“, wie Dharmakirti, Shankaracharya und viele andere. Yi Jing selbst schien zu glauben, dass sie dieselbe Person waren, als er schrieb, dass (der Grammatiker) Bhartṛhari, Autor des Vakyapadiya, für sein Schwanken zwischen buddhistischem Mönchtum und einem Leben voller Vergnügen bekannt war und Verse zu diesem Thema geschrieben hatte.

Vākyapadīya
Bhartriharis Ansichten zur Sprache bauen auf denen früherer Grammatiker wie Patanjali auf, waren aber ziemlich radikal. Ein Schlüsselelement seiner Sprachauffassung ist der Begriff Sphoṭa – ein Begriff, der möglicherweise auf einem alten Grammatiker basiert, Sphoṭāyana, auf den sich Pāṇini bezieht und der jetzt verloren geht.

In seinem Mahabhashya verwendet Patanjali (2. Jahrhundert v. Chr.) Den Begriff sphoṭa, um den Klang der Sprache, des Universalen, zu bezeichnen, während der tatsächliche Klang (dhvani) lang oder kurz sein oder auf andere Weise variieren kann. Man kann annehmen, dass diese Unterscheidung der des gegenwärtigen Begriffs des Phonems ähnlich ist. Bhatrihari wendet jedoch den Begriff sphota auf jedes Element der Äußerung an, varṇa den Buchstaben oder die Silbe, pada das Wort und vākya den Satz. Um die sprachliche Invariante zu erzeugen, argumentiert er, dass diese als separate Ganzheiten behandelt werden müssen (varṇasphoṭa, padasphoṭa bzw. vākyasphoṭa). Zum Beispiel kann der gleiche Sprachklang oder Varṇa in verschiedenen Wortkontexten unterschiedliche Eigenschaften haben (z. B. Assimilation), so dass der Ton erst erkannt werden kann, wenn das gesamte Wort gehört wird.
Ferner argumentiert Bhartrihari für eine satzholistische Sicht der Bedeutung und sagt, dass die Bedeutung einer Äußerung erst bekannt ist, nachdem der gesamte Satz (vākyasphoṭa) empfangen wurde, und dass sie sich nicht aus den einzelnen atomaren Elementen oder sprachlichen Einheiten zusammensetzt, die sich ändern können ihre Interpretation basiert auf späteren Elementen in der Äußerung. Ferner werden Wörter nur im Zusammenhang mit dem Satz verstanden, dessen Bedeutung als Ganzes bekannt ist. Sein Argument dafür basierte auf dem Spracherwerb, z. B. ein Kind, das den folgenden Austausch beobachtet:

älterer Erwachsener (uttama-vṛddha „ausgewachsen“): sagt „bring das Pferd“
jüngerer Erwachsener (madhyama-vṛddha „halbwüchsig“): reagiert, indem er das Pferd mitbringt

Das Kind, das dies beobachtet, kann nun erfahren, dass sich die Einheit „Pferd“ auf das Tier bezieht. Wenn das Kind den Satz nicht a priori kennt, ist es für ihn schwierig, auf die Bedeutung neuartiger Wörter zu schließen. So erfassen wir die Satzbedeutung als Ganzes und erreichen Wörter als Teile des Satzes und Wortbedeutungen als Teile der Satzbedeutung durch „Analyse, Synthese und Abstraktion“ (apoddhāra).

Die Sphoṭa-Theorie war einflussreich, wurde aber von vielen anderen abgelehnt. Später lehnten Mimamsakas wie Kumarila Bhatta (ca. 650 n. Chr.) Die vākyasphoṭa-Ansicht nachdrücklich ab und sprachen sich für die bezeichnende Kraft jedes Wortes aus und plädierten für die Zusammensetzung der Bedeutungen (abhihitānvaya). Die Prabhakara-Schule (ca. 670) unter den Mimamsakas nahm jedoch eine weniger atomistische Position ein und argumentierte, dass Wortbedeutungen existieren, aber durch den Kontext bestimmt werden (anvitābhidhāna).

In einem Abschnitt des Kapitels über die Beziehung diskutiert Bhartrhari das Lügnerparadoxon und identifiziert einen verborgenen Parameter, der eine unproblematische Situation im täglichen Leben in ein hartnäckiges Paradoxon verwandelt. Darüber hinaus diskutiert Bhartrhari hier ein Paradoxon, das von Hans und Radhika Herzberger als „Bhartrharis Paradoxon“ bezeichnet wurde. Dieses Paradox ergibt sich aus der Aussage „das ist nicht benennbar“ oder „das ist nicht zu benennen“.

Das Mahābhāṣya-dīpikā (auch Mahābhāṣya-ṭīkā) ist ein früher Unterkommentar zu Patanjalis Vyākaraṇa-Mahābhāṣya, der auch Bhartṛhari zugeschrieben wird.

Śatakatraya
Bhartriharis Poesie ist aphoristisch und kommentiert die sozialen Sitten der Zeit. Das gesammelte Werk ist bekannt als Śatakatraya „die drei śatakas oder“ Hunderte „(“ Jahrhunderte „)“, bestehend aus drei thematischen Zusammenstellungen über Shringara, Vairagya und Niti (lose: Liebe, Leidenschaftslosigkeit und moralisches Verhalten) mit jeweils hundert Versen.

Leider variieren die erhaltenen Manuskriptversionen dieser Shatakas in den enthaltenen Versen stark. DD Kosambi hat einen Kernel von zweihundert identifiziert, der allen Versionen gemeinsam ist.

Hier ist ein Beispiel, das soziale Sitten kommentiert:
Ein Mann des Reichtums gilt als hochgeboren
Klug, wissenschaftlich und anspruchsvoll
Beredsam und sogar gutaussehend –
Alle Tugenden sind Accessoires zu Gold!

Und hier ist einer, der sich mit dem Thema Liebe befasst:

Die klare, helle Flamme der Unterscheidung eines Mannes stirbt
Wenn ein Mädchen es mit ihren lampenschwarzen Augen trübt. [Bhartrihari # 77, tr. John Brough; Gedicht 167]

Bhartrharis Paradoxon
Bhartrharis Paradoxon ist der Titel eines Papiers von Hans und Radhika Herzberger aus dem Jahr 1981, das auf die Diskussion selbstreferenzieller Paradoxien in der Arbeit Vākyapadīya aufmerksam machte, die Bhartṛhari, einem indischen Grammatiker des 5. Jahrhunderts, zugeschrieben wurde.

In dem Kapitel über logische und sprachliche Beziehungen, dem Sambandha-Samuddeśa, diskutiert Bhartrhari mehrere Aussagen paradoxer Natur, einschließlich Sarvam Mithyā Bravīmi „Alles, was ich sage, ist falsch“, das zur Paradoxonfamilie der Lügner gehört, sowie das entstehende Paradoxon aus der Aussage, dass etwas nicht benennbar oder nicht bezeichnbar ist (in Sanskrit: avācya): Dies wird benennbar oder bezeichnbar, indem man es unbenennbar oder nicht bezeichnbar nennt. Wenn es auf ganze Zahlen angewendet wird, ist letzteres heute als Berry-Paradoxon bekannt.

Bhartrharis Interesse liegt nicht darin, dieses und andere Paradoxe zu stärken, indem sie aus dem pragmatischen Kontext abstrahiert werden, sondern vielmehr zu untersuchen, wie ein hartnäckiges Paradox aus unproblematischen Situationen in der täglichen Kommunikation entstehen kann.

Eine unproblematische Kommunikationssituation wird zu einem Paradoxon – wir haben entweder einen Widerspruch (Virodha) oder einen unendlichen Rückschritt (Anavasthā) -, wenn eine Abstraktion von der Bedeutung und ihrer zeitlichen Ausdehnung vorgenommen wird, indem eine gleichzeitige, entgegengesetzte Funktion (apara vyāpāra) rückgängig gemacht wird Der vorherige.

Für Bhartrhari ist es wichtig, das Paradoxon der Unbedeutbarkeit zu analysieren und zu lösen, da er der Ansicht ist, dass das, was nicht bezeichnet werden kann, dennoch angezeigt werden kann (vyapadiśyate) und verstanden werden kann (pratīyate), dass es existiert.