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Epimenides-Paradoxon

Das Epimenides-Paradoxon zeigt ein Problem mit der Selbstreferenz in der Logik. Es ist nach dem kretischen Philosophen Epimenides von Knossos (lebendig um 600 v. Chr.) Benannt, dem die ursprüngliche Aussage zugeschrieben wird. Eine typische Beschreibung des Problems findet sich in dem Buch Gödel, Escher, Bach von Douglas Hofstadter:

Epimenides war ein Kreter, der eine unsterbliche Aussage machte: „Alle Kreter sind Lügner.“

Ein Paradox der Selbstreferenz entsteht, wenn man überlegt, ob es Epimenides möglich ist, die Wahrheit gesagt zu haben.

Logisches Paradoxon
Thomas Fowler (1869) stellt das Paradoxon wie folgt fest: „Epimenides, der Kreter, sagt, dass alle Kreter Lügner sind, aber Epimenides ist selbst ein Kreter; deshalb ist er selbst ein Lügner. Aber wenn er ein Lügner ist, ist das, was er sagt, falsch, und folglich sind die Kreter wahrhaftig; aber Epimenides ist ein Kreter, und deshalb ist das, was er sagt, wahr; Epimenides sagt, die Kreter seien Lügner, er selbst sei ein Lügner, und was er sagt, sei falsch. So können wir abwechselnd beweisen, dass Epimenides und die Kreter wahr und unwahr sind. “

Das Epimenides-Paradoxon in dieser Form kann jedoch gelöst werden. Es gibt zwei Möglichkeiten: Es ist entweder wahr oder falsch. Nehmen wir zunächst an, dass es wahr ist, aber dann wäre Epimenides als Kreter ein Lügner, und wenn man davon ausgeht, dass Lügner nur falsche Aussagen machen, ist die Aussage falsch. Wenn wir also davon ausgehen, dass die Aussage wahr ist, schließen wir, dass die Aussage falsch ist. Dies ist ein Widerspruch, daher ist die Option, dass die Aussage wahr ist, nicht möglich. Damit bleibt die zweite Option: dass es falsch ist.

Wenn wir annehmen, dass die Aussage falsch ist und Epimenides darüber lügt, dass alle Kreter Lügner sind, muss es mindestens einen Kreter geben, der ehrlich ist. Dies führt nicht zu einem Widerspruch, da es nicht erforderlich ist, dass dieser Kreter Epimeniden ist. Dies bedeutet, dass Epimenides die falsche Aussage machen kann, dass alle Kreter Lügner sind, während sie mindestens einen ehrlichen Kreter kennen und über diesen bestimmten Kreter lügen. Aus der Annahme, dass die Aussage falsch ist, folgt daher nicht, dass die Aussage wahr ist. So können wir ein Paradox vermeiden, indem wir die Aussage „Alle Kreter sind Lügner“ als eine falsche Aussage betrachten, die von einem lügnerischen Kreter, Epimenides, gemacht wird. Der Fehler, den Thomas Fowler (und viele andere Menschen) oben gemacht haben, ist zu denken, dass die Negation von „alle Kreter sind Lügner“ „alle Kreter sind ehrlich“ (ein Paradoxon) ist, obwohl die Negation tatsächlich lautet: „Es gibt einen Kreter, der es gibt ehrlich “oder„ nicht alle Kreter sind Lügner “.

Das Epimenides-Paradoxon kann leicht modifiziert werden, um die oben beschriebene Art der Lösung nicht zuzulassen, wie es im ersten Paradoxon von Eubulides der Fall war, sondern zu einem nicht vermeidbaren Selbstwiderspruch führt. Paradoxe Versionen des Epimenides-Problems sind eng mit einer Klasse schwierigerer logischer Probleme verbunden, einschließlich des Lügnerparadoxons, des sokratischen Paradoxons und des Burali-Forti-Paradoxons, die alle eine Selbstreferenz mit Epimenides gemeinsam haben. In der Tat wird das Epimenides-Paradoxon normalerweise als Variation des Lügner-Paradoxons klassifiziert, und manchmal werden die beiden nicht unterschieden. Das Studium der Selbstreferenz führte im 20. Jahrhundert zu wichtigen Entwicklungen in Logik und Mathematik.

Mit anderen Worten, es ist kein Paradoxon, wenn man erkennt, dass „Alle Kreter sind Lügner“ nicht wahr ist, sondern nur „Nicht alle Kreter sind Lügner“ bedeutet, anstatt anzunehmen, dass „Alle Kreter sind ehrlich“.

Vielleicht besser ausgedrückt, denn „Alle Kreter sind Lügner“ bedeutet nicht, dass alle Kreter die ganze Zeit lügen müssen. Tatsächlich konnten Kreter ziemlich oft die Wahrheit sagen, aber dennoch sind alle Lügner in dem Sinne, dass Lügner Menschen sind, die dazu neigen, für unehrlichen Gewinn zu täuschen. In Anbetracht der Tatsache, dass „Alle Kreter Lügner sind“ erst seit dem 19. Jahrhundert als Paradox angesehen wurde, scheint dies das angebliche Paradoxon zu lösen. Wenn „alle Kreter sind ununterbrochene Lügner“ tatsächlich wahr ist, würde die Frage eines Kreters, ob sie ehrlich sind, immer die unehrliche Antwort „Ja“ hervorrufen. Der ursprüngliche Satz ist also wohl weniger paradox als ungültig.

Eine kontextbezogene Lesart des Widerspruchs kann auch eine Antwort auf das Paradoxon liefern. Der ursprüngliche Satz: „Die Kreter, immer Lügner, böse Tiere, müßige Bäuche!“ behauptet nicht ein intrinsisches Paradoxon, sondern eine Meinung der Kreter aus Epimenides. Eine Stereotypisierung seines Volkes soll keine absolute Aussage über das Volk als Ganzes sein. Es ist vielmehr eine Behauptung über ihre Position in Bezug auf ihre religiösen Überzeugungen und soziokulturellen Einstellungen. Im Kontext seines Gedichts ist der Satz spezifisch für einen bestimmten Glauben, einen Kontext, den Callimachus in seinem Gedicht über Zeus wiederholt. Eine ergreifendere Antwort auf das Paradoxon ist einfach, dass Lügner sein heißt, Unwahrheiten zu behaupten. Nichts in der Aussage behauptet, dass alles, was gesagt wird, falsch ist, sondern dass sie „immer“ lügen. Dies ist keine absolute Tatsachenfeststellung, und daher können wir nicht den Schluss ziehen, dass Epimenides einen wahren Widerspruch zu dieser Aussage gemacht hat.

Ursprung der Phrase
Epimenides war ein Philosoph und religiöser Prophet aus dem 6. Jahrhundert v. Chr., Der gegen das allgemeine Gefühl Kretas vorschlug, Zeus sei unsterblich, wie im folgenden Gedicht:

Sie haben ein Grab für dich geschaffen, oh Heiliger und Hoher
Die Kreter, immer Lügner, böse Tiere, müßige Bäuche!
Aber du bist nicht tot. Du lebst und bleibst für immer.
Denn in dir leben und bewegen wir uns und haben unser Sein.
– Epimenides, Cretica

Die Unsterblichkeit des Zeus zu leugnen, war also die Lüge der Kreter.

Der Ausdruck „Kreter, immer Lügner“ wurde vom Dichter Callimachus in seiner Hymne an Zeus mit der gleichen theologischen Absicht wie Epimenides zitiert:

O Zeus, manche sagen, du wurdest auf den Hügeln von Ida geboren;
Andere, oh Zeus, sagen in Arkadien;
Haben diese oder jene gelogen, o Vater? – „Kreter sind immer Lügner.“
Ja, ein Grab, o Herr, für dich haben die Kreter gebaut;
Aber du bist nicht gestorben, denn du bist für immer.
– Callimachus, Hymne I an Zeus

Entstehung als logischer Widerspruch
Die logische Inkonsistenz eines Kreters, der behauptet, alle Kreter seien immer Lügner, ist möglicherweise weder Epimenides noch Callimachus in den Sinn gekommen, die beide den Ausdruck verwendeten, um ihren Standpunkt ohne Ironie zu betonen, was möglicherweise bedeutet, dass alle Kreter routinemäßig, aber nicht ausschließlich lügen.

Im 1. Jahrhundert n. Chr. Wird das Zitat von Paulus als wirklich von „einem ihrer eigenen Propheten“ gesprochen erwähnt.

Einer von Kretas eigenen Propheten hat es gesagt: „Kreter sind immer Lügner, böse Rohlinge, müßige Bäuche“.
Er hat sicherlich die Wahrheit gesagt. Korrigieren Sie sie deshalb streng, damit sie im Glauben gesund sind, anstatt auf jüdische Fabeln und Gebote von Menschen zu achten, die der Wahrheit den Rücken kehren.
– Brief an Titus, 1: 12-13

Clemens von Alexandria im späten 2. Jahrhundert n. Chr. Weist nicht darauf hin, dass das Konzept des logischen Paradoxons ein Thema ist:

In seinem Brief an Titus möchte Apostel Paulus Titus warnen, dass Kreter nicht an die eine Wahrheit des Christentums glauben, weil „Kreter immer Lügner sind“. Um seine Behauptung zu rechtfertigen, zitiert Apostel Paulus Epimenides.
– Stromata 1.14

Während des frühen 4. Jahrhunderts wiederholt der heilige Augustinus das eng verwandte Lügnerparadoxon in Gegen die Akademiker (III.13.29), ohne jedoch Epimenides zu erwähnen.

Im Mittelalter wurden viele Formen des Lügnerparadoxons unter der Überschrift Insolubilia untersucht, die jedoch nicht explizit mit Epimeniden in Verbindung gebracht wurden.

Schließlich verbindet der zweite Band von Pierre Bayles Dictionnaire Historique et Critique 1740 Epimenides explizit mit dem Paradoxon, obwohl Bayle das Paradoxon als „Sophisme“ bezeichnet.

Referenzen anderer Autoren
Alle Werke von Epimenides sind jetzt verloren und nur durch Zitate anderer Autoren bekannt. Das Zitat aus der Kretika der Epimeniden stammt von RN Longenecker, „Apostelgeschichte“, in Band 9 des Bibelkommentars des Expositors, Frank E. Gaebelein, Herausgeber (Grand Rapids, Michigan: Zondervan Corporation, 1976–1984), Seite 476. Longenecker zitiert wiederum MD Gibson, Horae Semiticae X (Cambridge: Cambridge University Press, 1913), Seite 40, „auf Syrisch“. Longenecker führt in einer Fußnote Folgendes aus:

Der Syr. Version des Quatrain kommt zu uns aus dem Syr. Kirchenvater Isho’dad von Merv (wahrscheinlich basierend auf der Arbeit von Theodore von Mopsuestia), den JR Harris zurück in Gr. in Exp [„The Expositor“] 7 (1907), S. 336.

Eine schräge Bezugnahme auf Epimeniden im Kontext der Logik findet sich in „The Logical Calculus“ von WE Johnson, Mind (New Series), Band 1, Nummer 2 (April 1892), Seiten 235–250. Johnson schreibt in einer Fußnote:

Vergleichen Sie zum Beispiel solche Anlässe für Irrtümer, die von „Epimenides ist ein Lügner“ oder „Diese Oberfläche ist rot“ geliefert werden. Diese können in „Alle oder einige Aussagen von Epimeniden sind falsch“, „Alle oder einige der Oberflächen“ aufgelöst werden ist rot.“

Das Epimenides-Paradoxon erscheint explizit in „Mathematical Logic as Based on the Theory of Types“ von Bertrand Russell im American Journal of Mathematics, Band 30, Nummer 3 (Juli 1908), Seiten 222–262, das mit dem Folgenden beginnt ::

Der älteste Widerspruch der fraglichen Art sind die Epimeniden. Epimenides der Kreter sagte, dass alle Kreter Lügner waren, und alle anderen Aussagen der Kreter waren sicherlich Lügen. War das eine Lüge?

In diesem Artikel verwendet Russell das Epimenides-Paradoxon als Ausgangspunkt für Diskussionen über andere Probleme, einschließlich des Burali-Forti-Paradoxons und des Paradoxons, das jetzt als Russells Paradoxon bezeichnet wird. Seit Russell wurde das Epimenides-Paradoxon in der Logik wiederholt erwähnt. Typisch für diese Referenzen ist Gödel, Escher, Bach von Douglas Hofstadter, der dem Paradoxon einen herausragenden Platz in der Diskussion der Selbstreferenz einräumt.

Kommentar
Bevor Sie beginnen, sollte klargestellt werden, dass festgestellt wird, dass ein Lügner nur falsche Aussagen macht. Diese Definition ist im Studium der Logik üblich, und es ist möglich, dieses Paradoxon mit weniger Mehrdeutigkeit (aber auch zu viel Komplexität) zu erhalten, wenn es so formuliert wird, dass Alle Kreter Menschen sind, deren Aussagen immer falsch sind.

Nach dieser Definition scheint die Behauptung auf den ersten Blick widersprüchlich zu sein, da Epimenides behauptet zu lügen (siehe das Lügnerparadoxon). Dies ist nicht wirklich wahr, denn obwohl die Aussage möglicherweise nicht wahr ist, könnte sie falsch sein. Wenn wir annehmen, dass es wahr ist, bestätigt Epimenides, dass er wie jeder Kreter lügt, und daher wäre die Bestätigung falsch und würde zu einem Selbstwiderspruch führen. Wenn wir jedoch annehmen, dass es falsch ist, erreichen wir keinen Widerspruch, denn wenn die Aussage, dass alle Kreter lügen, falsch ist, bedeutet dies, dass es mindestens einen Kreter gibt, nicht unbedingt Epimenides, der die Wahrheit sagt. Daher ist es durchaus möglich, dass die Aussage falsch ist, und diese Aussage ist kein wahres Paradoxon.

Es ist ein falsches Paradoxon, denn in Wirklichkeit begeht es in seinem ersten Satz einen Irrtum: Alle Kreter sind Lügner. Aussagen müssen auf nachgewiesenen Tatsachen beruhen, und dies ist nicht wirklich eine nachgewiesene Tatsache, sondern eine Unbestimmtheit, die als wahr gerechtfertigt werden muss. Sie können keinen Streit über einen unbestimmten Satz beginnen. Sie müssen mit einer nachgewiesenen Tatsache beginnen. Und wir wissen, dass Epimenides kretisch ist (nachgewiesene Tatsache) und behauptet, es zu sein (nachgewiesene Tatsache), also müssen wir die Argumentation auf dieser Seite beginnen:

Epimenides ist kretisch
Epimenides sagt es ist
→ Epimenides sagt die Wahrheit.

Und von dort bekommen Sie:

Alle Kreter lügen immer
Epimenides ist kretisch und sagt manchmal die Wahrheit
→ Dann ist es falsch zu behaupten, dass alle Kreter immer lügen

So beenden Sie das Posieren:

Nicht alle Kreter lügen immer (nachgewiesene Tatsache)
Epimenides sagt ja (Satz)
→ Epimenides Lügen (Schlussfolgerung, nachgewiesene Tatsache)

Daher kann das Paradox erneut angesprochen werden: „Wenn Epimenides lügt, ist er ein Lügner.“ Aber wenn wir zuerst die Definition eines Lügners als jemanden akzeptieren, der IMMER Lügen erzählt, stört der logische Ansatz erneut das Paradoxon:

Epimenides behauptet als Kreter, ein Lügner zu sein: jemand, der immer lügt.
Wir wissen, dass Epimenides gelegentlich die Wahrheit gesagt hat
→ Dann ist es falsch, dass Epimenides immer lügt

Und da er Kreter ist, ist es falsch, dass alle Kreter immer lügen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass dieses falsche Paradoxon auf zwei Irrtümern beruht: einem Satz als selbstverständlich zu betrachten, ohne es zu sein, und einem lexikalischen Irrtum, der die Begriffe „Lügner“ und „jemand, der immer Lügen erzählt“ verwirrt. In Reinheit kann nicht gesagt werden, dass jemand ein Lügner ist; es ist keine Essenz, sondern ein Zustand. Man kann wie Epimenides lügen, aber auch die Wahrheit sagen. Eine Lüge zu erzählen macht dich nicht zu einem Lügner, der immer lügt. Deshalb ist es vor der Begründung wichtig, die Definitionen zu klären: Wenn ein Lügner jemand ist, der gelegentlich lügt, oder wenn er jemand ist, der immer lügt. Wenn wir im ersten Fall „Lügner“ als jemanden definieren, der gelegentlich lügt, ist das Paradoxon nicht so, sondern wiederum ein Irrtum mit einer falschen Schlussfolgerung:

Epimenides ist ein Lügner (manchmal lügt er)
Epimenides ist kretisch
→ Alle Kreter sind Lügner (gelegentlich lügen sie)

Die Schlussfolgerung konnte aus den Aussagen nicht abgeleitet werden. Es ist nicht bekannt, ob alle Kreter gelegentliche Lügner sind. Es ist bekannt, dass nur Epimeniden vorhanden sind.

Lösung
Alle Kreter sind Lügner, ich bin Kreter, dann lüge ich. Was in diesem Satz gesagt wird, ist eine Lüge, die für jedes hinzugefügte Morphem zur Lüge zurückkehrt.

Wertekonzepte:

Jeder.
Lügner.
Kretisch.

Um das Paradoxon zu verdeutlichen, müsste eine Fuzzy-Logik angewendet werden, 5 die feststellt, dass sie die Wahrheit sagt, eine Lüge sagt oder Ni fu ni fa.

Sie möchten die Informationen vergleichen

Bürger = Kreter / Alle ‚Diese Aufteilung ergibt 1‘

Alle Bürger wollen zählen, und dafür muss das Konto berechnet werden:

Home-Konto
Person (wahr)
{
Die Person = Alle muss bekannt sein (Konto = Konto + Bürger)
Wenn Information gleich Wahrheit ist
Es wird festgestellt, dass das Individuum eine Person = Wahrheit ist
Wenn Information gleich Lüge ist
Es wird festgestellt, dass das Individuum eine Person = Lügner ist
In jedem anderen Fall
Nullwert für die Person
}}
Wenn Person (Wahrheit) ein Lügner ist, dann
Einer wird dem Lügenkonto hinzugefügt
Wenn Person (Wahrheit) Wahrheit ist, dann
Einer wird dem Wahrheitskonto hinzugefügt
jeder andere Fall
Eine wird dem ni fu ni fa-Konto hinzugefügt
Endzählung
Jetzt wird die Lügenzahl mit dem Wert aller verglichen.

Wenn sie gleich sind, sind alle Kreter Lügner.

Dieses Beispiel zeigt, dass jeder für einen bestimmten Fall Lügner ist und nicht für alle Fälle, die auftreten können. Wenn angenommen wird, dass dies für alle Fälle der Fall ist, handelt es sich um ein Paradoxon. Sofern nicht alle Fälle einzeln geprüft werden, gilt die Aussage daher für verarbeitete Informationen und nicht für Informationen, die noch nicht verarbeitet wurden. Dieses Paradoxon wird, wenn absolute Werte angenommen werden, häufig im Irrtum des wahren Schotten verwendet.

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Currys Paradoxon

Currys Paradoxon ist ein Paradoxon, bei dem eine willkürliche Behauptung F aus der bloßen Existenz eines Satzes C bewiesen wird, der von sich selbst sagt: „Wenn C, dann F“ und nur wenige scheinbar harmlose logische Ableitungsregeln erfordert. Da F willkürlich ist, beweist jede Logik mit diesen Regeln alles. Das Paradoxon kann in natürlicher Sprache und in verschiedenen Logiken ausgedrückt werden, einschließlich bestimmter Formen der Mengenlehre, der Lambda-Rechnung und der kombinatorischen Logik.

Das Paradoxon ist nach dem Logiker Haskell Curry benannt. Aufgrund seiner Beziehung zum Satz von Löb wurde es nach Martin Hugo Löb auch Löbs Paradoxon genannt.

In natürlicher Sprache
Ansprüche der Form „wenn A, dann B“ werden bedingte Ansprüche genannt. Currys Paradoxon verwendet eine bestimmte Art von selbstreferenziellem bedingten Satz, wie in diesem Beispiel gezeigt:

Wenn dieser Satz wahr ist, dann grenzt Deutschland an China.

Obwohl Deutschland nicht an China grenzt, ist der Beispielsatz sicherlich ein Satz in natürlicher Sprache, und so kann die Wahrheit dieses Satzes analysiert werden. Das Paradoxon ergibt sich aus dieser Analyse. Die Analyse besteht aus zwei Schritten.

Erstens können übliche Beweisverfahren in natürlicher Sprache verwendet werden, um zu beweisen, dass der Beispielsatz wahr ist.

Zweitens kann die Wahrheit des Beispielsatzes verwendet werden, um zu beweisen, dass Deutschland an China grenzt. Da Deutschland nicht an China grenzt, deutet dies darauf hin, dass in einem der Beweise ein Fehler aufgetreten ist.

Die Behauptung „Deutschland grenzt an China“ könnte durch jede andere Behauptung ersetzt werden, und das Urteil wäre immer noch nachweisbar. Somit scheint jeder Satz beweisbar zu sein. Da der Beweis nur gut akzeptierte Abzugsmethoden verwendet und keine dieser Methoden falsch zu sein scheint, ist diese Situation paradox.

Informeller Beweis
Die Standardmethode zum Nachweis von bedingten Sätzen (Sätze der Form „wenn A, dann B“) wird als „bedingter Beweis“ bezeichnet. Bei dieser Methode wird zuerst A angenommen, um zu beweisen, dass „wenn A, dann B“, und dann wird mit dieser Annahme gezeigt, dass B wahr ist.

Um Currys Paradoxon zu erzeugen, wie in den beiden obigen Schritten beschrieben, wenden Sie diese Methode auf den Satz „Wenn dieser Satz wahr ist, grenzt Deutschland an China“ an. Hier bezieht sich A, „dieser Satz ist wahr“, auf den Gesamtsatz, während B „Deutschland grenzt an China“ ist. Die Annahme von A ist also die gleiche wie die Annahme von „Wenn A, dann B“. Daher haben wir bei der Annahme von A sowohl A als auch „Wenn A, dann B“ angenommen. Daher ist B durch modus ponens wahr, und wir haben bewiesen: „Wenn dieser Satz wahr ist, dann ist ‚Deutschland grenzt an China‘ wahr.“ in üblicher Weise durch Annahme der Hypothese und Ableitung der Schlussfolgerung.

Nun, da wir bewiesen haben, dass „Wenn dieser Satz wahr ist, dann ist“ Deutschland grenzt an China „wahr ist“, können wir wieder modus ponens anwenden, weil wir wissen, dass die Behauptung „dieser Satz ist wahr“ richtig ist. Auf diese Weise können wir schließen, dass Deutschland an China grenzt.

Formeller Beweis

Sententielle Logik
Im Beispiel im vorherigen Abschnitt wurde unformalisiertes Denken in natürlicher Sprache verwendet. Currys Paradoxon tritt auch in einigen Varianten der formalen Logik auf. In diesem Zusammenhang zeigt es, dass wir Y mit einem formalen Beweis beweisen können, wenn wir annehmen, dass es einen formalen Satz (X → Y) gibt, in dem X selbst äquivalent zu (X → Y) ist. Ein Beispiel für einen solchen formalen Beweis ist wie folgt. Eine Erläuterung der in diesem Abschnitt verwendeten Logiknotation finden Sie in der Liste der Logiksymbole.

X: = (X → Y)
Annahme, der Ausgangspunkt, äquivalent zu „Wenn dieser Satz wahr ist, dann Y“

X → X.
Gesetz der Identität

X → (X → Y)
Ersetzen Sie die rechte Seite von 2, da X X → Y durch 1 entspricht

X → Y.
von 3 durch Kontraktion

X.
Ersetzen Sie 4 durch 1

Y.
von 5 und 4 von modus ponens

Ein alternativer Beweis ist das Peirce-Gesetz. Wenn X = X → Y, dann (X → Y) → X. Dies impliziert zusammen mit dem Peirce-Gesetz ((X → Y) → X) → X und modus ponens X und anschließend Y (wie im obigen Beweis).

Wenn Y eine unbeweisbare Aussage in einem formalen System ist, gibt es in diesem System keine Aussage X, so dass X der Implikation entspricht (X → Y). Im Gegensatz dazu zeigt der vorherige Abschnitt, dass es in natürlicher (nicht formalisierter) Sprache für jede natürliche Sprachaussage Y eine natürliche Sprachaussage Z gibt, so dass Z in natürlicher Sprache (Z → Y) entspricht. Z ist nämlich „Wenn dieser Satz wahr ist, dann Y“.

In bestimmten Fällen, in denen die Klassifizierung von Y bereits bekannt ist, sind nur wenige Schritte erforderlich, um den Widerspruch aufzudecken. Wenn beispielsweise Y „Deutschland grenzt an China“ ist, ist bekannt, dass Y falsch ist.

X = (X → Y)
Annahme

X = (X → falsch)
Ersetzen Sie den bekannten Wert von Y.

X = (¬X ∨ falsch)
Implikation

X = ¬X
Identität

Naive Mengenlehre
Selbst wenn die zugrunde liegende mathematische Logik keine selbstreferenziellen Sätze zulässt, sind bestimmte Formen der naiven Mengenlehre immer noch anfällig für Currys Paradoxon. In Mengen-Theorien, die ein uneingeschränktes Verständnis ermöglichen, können wir dennoch jede logische Aussage Y beweisen, indem wir die Menge untersuchen

X = def {x ∣ x ∈ x → Y}.
Unter der Annahme, dass ∈ Vorrang vor → und ↔ hat, läuft der Beweis wie folgt ab:

X = {x ∣ x ∈ x → Y}
Definition von X.

x = X → (x ∈ x ↔ X ∈ X)
Ersetzung gleicher Mitgliederzahlen

x = X → ((x ∈ x → Y) ↔ (X ∈ X → Y))
Hinzufügung einer Konsequenz zu beiden Seiten eines Biconditional (von 2)

X ∈ X ↔ (X ∈ X → Y)
Gesetz der Konkretion (von 1 und 3)

X ∈ X → (X ∈ X → Y)
Bikonditionale Eliminierung (von 4)

X ∈ X → Y.
Kontraktion (von 5)

(X ∈ X → Y) → X ∈ X.
Bikonditionale Eliminierung (von 4)

X ∈ X.
Modus ponens (von 6 und 7)

Y.
Modus ponens (von 8 und 6)

Schritt 4 ist der einzige Schritt, der in einer konsistenten Mengenlehre ungültig ist. In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre wäre eine zusätzliche Hypothese erforderlich, die besagt, dass X eine Menge ist, was in ZF oder in seiner Erweiterung ZFC (mit dem Axiom der Wahl) nicht beweisbar ist.

Daher existiert in einer konsistenten Mengenlehre die Menge {x ∣ x ∈ x → Y} nicht für falsches Y. Dies kann als eine Variante von Russells Paradox angesehen werden, ist aber nicht identisch. Einige Vorschläge für die Mengenlehre haben versucht, mit Russells Paradoxon umzugehen, indem sie nicht die Regel des Verstehens einschränkten, sondern die Regeln der Logik so einschränkten, dass sie den Widerspruch der Menge aller Mengen tolerierten, die nicht Mitglieder ihrer selbst sind. Das Vorhandensein von Beweisen wie dem oben genannten zeigt, dass eine solche Aufgabe nicht so einfach ist, da mindestens eine der im obigen Beweis verwendeten Abzugsregeln weggelassen oder eingeschränkt werden muss.

Lambda-Kalkül
Das Curry-Paradoxon kann in einem untypisierten Lambda-Kalkül ausgedrückt werden, das durch eine eingeschränkte Minimallogik angereichert ist. Um mit den syntaktischen Einschränkungen des Lambda-Kalküls fertig zu werden, bezeichnet m die Implikationsfunktion mit zwei Parametern, dh der Lambda-Term ((m A) B) muss der üblichen Infixnotation A → B entsprechen. Eine beliebige Formel Z kann sein bewiesen durch Definition einer Lambda-Funktion N: = λ p. ((mp) Z) und X: = (YN), wobei Y Currys Festkommakombinator bezeichnet. Dann ist X = (NX) = ((m X) Z) durch Definition von Y und N, daher kann der obige sententiale logische Beweis im Kalkül dupliziert werden:

⊢ ((m X) X) durch das minimale logische Axiom A → A ⊢ ((m X) ((m X) Z)), da X = ((m X) Z) ⊢ ((m X) Z) durch das Satz (A → (A → B)) ⊢ (A → B) der minimalen Logik ⊢ X, da X = ((m X) Z) ⊢ Z nach Modus ponens A, (A → B) ⊢ B aus X und (( m X) Z)

In der einfach getippten Lambda-Rechnung können Festkomma-Kombinatoren nicht typisiert werden und sind daher nicht zugelassen.

Kombinatorische Logik
Currys Paradoxon kann auch in kombinatorischer Logik ausgedrückt werden, die eine äquivalente Ausdruckskraft wie Lambda-Kalkül hat. Jeder Lambda-Ausdruck kann in eine kombinatorische Logik übersetzt werden, sodass eine Übersetzung der Implementierung des Curry-Paradoxons in den Lambda-Kalkül ausreichen würde.

Der obige Term X bedeutet in der kombinatorischen Logik (rr), wobei

r = S (S (K m) (SII)) (KZ);
daher
(rr) = ((m (rr)) Z).

Diskussion
Currys Paradoxon kann in jeder Sprache formuliert werden, die grundlegende Logikoperationen unterstützt, die es auch ermöglichen, eine selbstrekursive Funktion als Ausdruck zu konstruieren. Zwei Mechanismen, die die Konstruktion des Paradoxons unterstützen, sind die Selbstreferenz (die Fähigkeit, innerhalb eines Satzes auf „diesen Satz“ zu verweisen) und das uneingeschränkte Verständnis in der naiven Mengenlehre. Natürliche Sprachen enthalten fast immer viele Merkmale, die zur Konstruktion des Paradoxons verwendet werden könnten, ebenso wie viele andere Sprachen. Normalerweise werden durch Hinzufügen von Metaprogrammierfunktionen zu einer Sprache die erforderlichen Funktionen hinzugefügt. In der mathematischen Logik wird im Allgemeinen nicht explizit auf eigene Sätze Bezug genommen. Das Herzstück von Gödels Unvollständigkeitssätzen ist jedoch die Beobachtung, dass eine andere Form der Selbstreferenz hinzugefügt werden kann; siehe Gödel-Nummer.

Das Axiom des uneingeschränkten Verstehens fügt die Fähigkeit hinzu, eine rekursive Definition in der Mengenlehre zu konstruieren. Dieses Axiom wird von der modernen Mengenlehre nicht unterstützt.

Die bei der Konstruktion des Beweises verwendeten logischen Regeln sind die Annahme-Regel für den bedingten Beweis, die Kontraktionsregel und der Modus ponens. Diese sind in den gängigsten logischen Systemen enthalten, z. B. in der Logik erster Ordnung.

Konsequenzen für eine formale Logik
In den 1930er Jahren spielten Currys Paradoxon und das damit verbundene Kleene-Rosser-Paradoxon eine wichtige Rolle, um zu zeigen, dass formale Logiksysteme, die auf selbstrekursiven Ausdrücken basieren, inkonsistent sind. Dazu gehören einige Versionen des Lambda-Kalküls und der kombinatorischen Logik.

Curry begann mit dem Kleene-Rosser-Paradoxon und folgerte, dass das Kernproblem in diesem einfacheren Curry-Paradoxon zum Ausdruck kommen könnte. Seine Schlussfolgerung kann so formuliert werden, dass kombinatorische Logik und Lambda-Kalkül nicht als deduktive Sprachen konsistent gemacht werden können, während dennoch eine Rekursion möglich ist.

Bei der Untersuchung der illativen (deduktiven) kombinatorischen Logik erkannte Curry 1941 die Implikation des Paradoxons als impliziten, dass die folgenden Eigenschaften einer kombinatorischen Logik ohne Einschränkungen nicht kompatibel sind:

Kombinatorische Vollständigkeit. Dies bedeutet, dass ein Abstraktionsoperator im System definierbar (oder primitiv) ist, was eine Voraussetzung für die Ausdruckskraft des Systems ist.

Deduktive Vollständigkeit. Dies ist eine Voraussetzung für die Ableitbarkeit, nämlich das Prinzip, dass in einem formalen System mit materieller Implikation und Modus ponens, wenn Y aus der Hypothese X beweisbar ist, auch ein Beweis für X → Y vorliegt.

Terminologie
Natürliche Sprache und mathematische Logik basieren beide auf der Behauptung, dass einige Aussagen wahr sind. Die Anweisung kann als logischer (oder boolescher) Ausdruck (oder Formel) dargestellt werden, der ausgewertet werden kann, um den Wert true oder false zu erhalten. Eine Anweisung ist eine Anweisung oder ein logischer Ausdruck, von dem behauptet wird, dass er bei der Auswertung einen wahren Wert ergibt.

Demonstrationen können auch auf komplexere Weise betrachtet werden. Aussagen können durch das, was Sie behaupten oder an sie glauben, und durch das Maß an Sicherheit qualifiziert werden. Für die Logik ist jedoch die oben angegebene einfache Definition ausreichend.

Existenzproblem
Dieses Paradoxon ähnelt:

Lügnerparadoxon
Russells Paradoxon
in dem jedes Paradoxon versucht, etwas zu benennen, das nicht existiert. Diese Paradoxien versuchen alle, einer Lösung der Gleichung einen Namen oder eine Darstellung zu geben.

X = ¬X
Beachten Sie, dass das Paradoxon nicht aus der Durchsetzung der Aussage von ¬X entsteht, da eine solche Aussage eine Lüge wäre. Sie ergibt sich aus der Prüfung und Benennung der Erklärung. Das Paradoxon entsteht, indem ein Ausdruck der Form ¬X als X bezeichnet oder dargestellt wird. Im Fall des Curry-Paradoxons wird die Negation aus der Implikation konstruiert.

X = X → falsch = ¬X ∨ falsch = ¬X
Die Domäne einer booleschen Variablen X ist die Menge {true, false}. Weder wahr noch falsch ist jedoch eine Lösung für die obige Gleichung. Es muss also falsch sein, die Existenz von X zu behaupten, und es ist eine Lüge, den ¬X-Ausdruck als X zu bezeichnen.

Das Paradoxon dort ist immer ein Ausdruck, der konstruiert werden kann, dessen Wert nicht existiert. Dies kann mit „dieser Aussage“ erreicht werden, aber es gibt viele andere sprachliche Merkmale, die die Konstruktion eines Ausdrucks ermöglichen, der nicht existiert.

Sprachressourcen, um das Paradox auszudrücken
Currys Paradoxon kann in jeder Sprache formuliert werden, die grundlegende logische Operationen unterstützt, mit denen auch eine automatisch rekursive Funktion als Ausdruck konstruiert werden kann. Die folgende Liste enthält einige Mechanismen, die die Konstruktion des Paradoxons unterstützen, die Liste ist jedoch nicht vollständig.

Selbstreferenz; „dieser Satz“.
Durch die Nomenklatur eines Ausdrucks, der den Namen enthält.
Wenden Sie die naive Mengenlehre an (uneingeschränktes Verständnis).
Lambda-Ausdrücke.
Eine Eval-Funktion in einem Wort.

Die logischen Regeln für die Erstellung von Beweismitteln sind:

Annahmeregel
Kontraktion
Modus Ponens

Die automatisch rekursive Funktion kann dann verwendet werden, um eine Abbruchberechnung zu definieren, deren Wert nicht die Lösung einer Gleichung ist. In Currys Paradoxon verwenden wir Implikation, um eine Negation zu konstruieren, die eine Gleichung ohne Lösung erstellt.

Der rekursive Ausdruck repräsentiert dann einen Wert, der nicht existiert. Die Gesetze der Logik gelten nur für Boolesche Werte in {true, false}, sodass eine Beibehaltung des Ausdrucks möglicherweise fehlerhaft ist.

Natürliche Sprachen enthalten fast immer viele der Ressourcen, die zur Konstruktion des Paradoxons verwendet werden könnten, genau wie viele andere Sprachen. Normalerweise werden durch Hinzufügen von Meta-Programmierfunktionen für eine Sprache die erforderlichen Funktionen hinzugefügt.

Die mathematische Logik toleriert im Allgemeinen keine explizite Bezugnahme auf ihre eigenen Sätze. Das Herzstück von Gödels Unvollständigkeitssätzen ist jedoch die Beobachtung, dass Selbstreferenz hinzugefügt werden kann; siehe die Gödel-Nummer.

Das Axiom des uneingeschränkten Verstehens fügt die Fähigkeit hinzu, eine rekursive Definition in der Mengenlehre zu konstruieren. Dieses Axiom wird von der modernen Mengenlehre nicht unterstützt.

Konsequenzen für eine formale Logik
In den 1930er Jahren spielten das Curry-Paradoxon und das verwandte Kleene-Rosser-Paradoxon eine wichtige Rolle, um zu zeigen, dass formale Logiksysteme, die auf selbstrekursiven Ausdrücken basieren, inkonsistent sind.

Lambda-Kalkül
kombinatorische Logik

Curry begann mit dem Kleene-Rosser-Paradoxon und folgerte, dass das zentrale Problem in diesem einfacheren Paradoxon von Curry zum Ausdruck kommen könnte. Seine Schlussfolgerung lässt sich sagen, dass kombinatorische Logik und Lambda-Berechnung als deduktive Sprache nicht kohärent sein könnten, was eine Rekursion ermöglicht.

Bei der Untersuchung der illativen (deduktiven) kombinatorischen Logik erkannte Curry 1941 die Implikation des Paradoxons als implizierend, dass die folgenden Eigenschaften einer kombinatorischen Logik ohne Einschränkungen nicht kompatibel sind:

Kombinatorische Vollständigkeit. Dies bedeutet, dass ein Abstraktionsoperator im System definierbar (oder primitiv) ist, was eine Voraussetzung für die Ausdruckskraft des Systems ist.
Deduktive Vollständigkeit. Dies ist eine Ableitungsanforderung, dh das Prinzip, dass in einem formalen System mit Implikation und materiellem Modus ponens, wenn Y von der Hypothese X abziehbar ist, auch ein Beweis für X → Y vorliegt.

Auflösung
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Quellen finden: „Curry’s Paradoxon“ – Nachrichten • Zeitungen • Bücher • Gelehrter • JSTOR (August 2019) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlagennachricht entfernen können)

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Beachten Sie, dass Currys Paradoxon im Gegensatz zum Lügnerparadoxon oder Russells Paradoxon nicht davon abhängt, welches Negationsmodell verwendet wird, da es vollständig negationsfrei ist. Daher können parakonsistente Logiken immer noch für dieses Paradoxon anfällig sein, selbst wenn sie gegen das Lügnerparadoxon immun sind.

Keine Auflösung im Lambda-Kalkül
Der Ursprung des Lambda-Kalküls der Alonzo-Kirche könnte gewesen sein: „Wie können Sie eine Gleichung lösen, um eine Definition einer Funktion bereitzustellen?“. Dies drückt sich in dieser Äquivalenz aus,

fx = y ⟺ f = λ xy

Diese Definition ist gültig, wenn es eine und nur eine Funktion f gibt, die die Gleichung fx = y erfüllt, ansonsten jedoch ungültig. Dies ist der Kern des Problems, das Stephen Cole Kleene und dann Haskell Curry mit kombinatorischer Logik und Lambda-Rechnung entdeckten.

Die Situation kann mit der Definition verglichen werden
y = x 2 ⟺ x = y.

Diese Definition ist in Ordnung, solange nur positive Werte für die Quadratwurzel zulässig sind. In der Mathematik kann eine existenziell quantifizierte Variable mehrere Werte darstellen, jedoch jeweils nur einen. Die existenzielle Quantifizierung ist die Disjunktion vieler Instanzen einer Gleichung. In jeder Gleichung ist ein Wert für die Variable.

In der Mathematik muss ein Ausdruck ohne freie Variablen jedoch nur einen Wert haben. 4 kann also nur + 2 darstellen. Es gibt jedoch keine bequeme Möglichkeit, die Lambda-Abstraktion auf einen Wert zu beschränken oder sicherzustellen, dass es einen Wert gibt.

Die Lambda-Rechnung ermöglicht die Rekursion, indem dieselbe Funktion übergeben wird, die als Parameter aufgerufen wird. Dies ermöglicht Situationen, in denen fx = y mehrere oder keine Lösungen für f hat.

Der Lambda-Kalkül kann als Teil der Mathematik betrachtet werden, wenn nur Lambda-Abstraktionen zulässig sind, die eine einzige Lösung für eine Gleichung darstellen. Andere Lambda-Abstraktionen sind in der Mathematik falsch.

Currys Paradoxon und andere Paradoxe entstehen im Lambda-Kalkül aufgrund der Inkonsistenz des Lambda-Kalküls, der als deduktives System betrachtet wird. Siehe auch deduktive Lambda-Rechnung.

Domäne der Lambda-Kalkülbegriffe

Die Lambda-Rechnung ist eine konsistente Theorie auf ihrem eigenen Gebiet. Es ist jedoch nicht konsistent, die Lambda-Abstraktionsdefinition zur allgemeinen Mathematik hinzuzufügen. Lambda-Begriffe beschreiben Werte aus der Lambda-Kalküldomäne. Jeder Lambda-Begriff hat einen Wert in dieser Domäne.

Bei der Übersetzung von Ausdrücken aus der Mathematik in den Lambda-Kalkül ist der Bereich der Lambda-Kalkülbegriffe nicht immer isomorph zum Bereich der mathematischen Ausdrücke. Dieser Mangel an Isomorphismus ist die Quelle der offensichtlichen Widersprüche.

Auflösung in uneingeschränkten Sprachen

Es gibt viele Sprachkonstrukte, die implizit eine Gleichung aufrufen, die möglicherweise keine oder viele Lösungen hat. Die Klangauflösung für dieses Problem besteht darin, diese Ausdrücke syntaktisch mit einer existenziell quantifizierten Variablen zu verknüpfen. Die Variable repräsentiert die mehreren Werte auf eine Weise, die für das allgemeine menschliche Denken von Bedeutung ist, aber auch für die Mathematik gilt.

Beispielsweise ist eine natürliche Sprache, die die Eval-Funktion ermöglicht, mathematisch nicht konsistent. Aber jeder Aufruf an Eval in dieser natürlichen Sprache kann auf konsistente Weise in Mathematik übersetzt werden. Die Übersetzung von Eval (s) in die Mathematik ist

sei x = Eval (s) in x.
Also wo s = „Eval (s) → y“,

sei x = x → y in x.
Wenn y falsch ist, dann ist x = x → y falsch, aber dies ist eine Lüge, kein Paradoxon.

Die Existenz der Variablen x war in der natürlichen Sprache implizit. Die Variable x wird erstellt, wenn die natürliche Sprache in Mathematik übersetzt wird. Dies ermöglicht es uns, natürliche Sprache mit natürlicher Semantik zu verwenden und gleichzeitig die mathematische Integrität aufrechtzuerhalten.

Auflösung in formaler Logik
Das Argument in der formalen Logik beginnt mit der Annahme der Gültigkeit der Benennung (X → Y) als X. Dies ist jedoch kein gültiger Ausgangspunkt. Zuerst müssen wir die Gültigkeit der Benennung ableiten. Der folgende Satz ist leicht zu beweisen und repräsentiert eine solche Benennung:

∀ A, ∃ X, X = A.
In der obigen Anweisung wird die Formel A als X bezeichnet. Versuchen Sie nun, die Formel mit (X → Y) für A zu instanziieren. Dies ist jedoch nicht möglich, da der Bereich von ∃ X innerhalb des Bereichs von ∀ A liegt. Die Reihenfolge der Quantifizierer können mit Skolemization umgekehrt werden:

∃ f, ∀ A, f (A) = A.
Jetzt gibt jedoch die Instanziierung

f (X → Y) = X → Y,
Dies ist nicht der Ausgangspunkt für den Beweis und führt nicht zu einem Widerspruch. Es gibt keine anderen Instanziierungen für A, die zum Ausgangspunkt des Paradoxons führen.

Auflösung in der Mengenlehre

In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) wird das Axiom des uneingeschränkten Verständnisses durch eine Gruppe von Axiomen ersetzt, die die Konstruktion von Mengen ermöglichen. Currys Paradoxon kann also nicht in ZFC angegeben werden. ZFC entwickelte sich als Reaktion auf Russells Paradoxon.

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Logik Paradoxe

Paradox des Hofes

Das Paradox des Hofes, auch als Gegendilemma von Euathlus bekannt, ist ein Paradoxon, das seinen Ursprung im antiken Griechenland hat. Es wird gesagt, dass der berühmte Sophist Protagoras einen Schüler, Euathlus, unter der Voraussetzung aufgenommen hat, dass der Student Protagoras für seinen Unterricht bezahlt, nachdem er seinen ersten Gerichtsfall gewonnen hat. Nach Anweisung beschloss Euathlus, nicht in den Rechtsberuf einzutreten, und Protagoras beschloss, Euathlus wegen des geschuldeten Betrags zu verklagen.

Protagoras argumentierte, dass er sein Geld erhalten würde, wenn er den Fall gewinnen würde. Wenn Euathlus den Fall gewonnen hätte, würde Protagoras weiterhin gemäß dem ursprünglichen Vertrag bezahlt, da Euathlus seinen ersten Fall gewonnen hätte. Euathlus behauptete jedoch, wenn er gewinnen würde, müsste er nach der Entscheidung des Gerichts Protagoras nicht bezahlen. Wenn andererseits Protagoras gewonnen hätte, hätte Euathlus immer noch keinen Fall gewonnen und wäre daher nicht zur Zahlung verpflichtet. Die Frage ist dann, welcher der beiden Männer im Recht ist?

Die Geschichte wird vom lateinischen Autor Aulus Gellius in Attic Nights erzählt.

Analyse
Aus moralischer Sicht kann argumentiert werden, dass beide Parteien Recht hatten oder dass keine Recht hatte, da die Situation nicht eindeutig ist. Wenn das Gericht jedoch zugunsten von Protágoras entscheidet, wären die Bedingungen des ursprünglichen Vertrags zwischen ihm und seinem Schüler gesetzlich ungültig, und Evatlo müsste Protágoras bezahlen. Wenn im Gegenteil Evatlo der Gewinner wäre, könnte das Gericht auch seine Zahlungsverpflichtung aufheben.

Die Art und Weise, wie das Gericht seine Entscheidung treffen kann, ist auch aus objektiver Sicht kein Paradoxon. Das Gericht kann entscheiden, dass Evatlo (als Angeklagter) gegen die Vertragsbedingungen verstoßen hat oder dies nicht getan hat. Spätere Erläuterungen hätten keine rechtlichen Konsequenzen für die Gerichtsentscheidung.

In einigen Fällen ist der Zivilangeklagte, wenn er die Gunst des Gerichts erhält, auch vor den Zahlungen geschützt, die mit der Verhandlung verbunden sind. Tatsächlich könnte das Gericht Protágoras als unterlegenen Kläger anweisen, Evatlo den Betrag zu zahlen, den es ihn gekostet hat, zu gewinnen. In diesem Fall würde Evatlo Protágoras bezahlen und das Geld per Gerichtsbeschluss zurückgeben. Der ursprüngliche Vertrag wäre erfüllt worden und Evatlo hätte keine zusätzliche Verpflichtung, seine Anweisung an Protágoras zu bezahlen. Das Ergebnis für Protágoras wäre, dass es den Fall verloren hätte, die Zahlung gemäß dem ursprünglichen Vertrag erhalten hätte und dann die Verluste des Rechtsstreits für die fehlgeschlagene Forderung bezahlen müsste (die in diesem Fall gleich oder größer als die wäre Kosten für Evatlos Ausbildung)

Darüber hinaus könnte Evatlo einen Anwalt beauftragen, der den Fall übernimmt, wodurch der vorliegende Fall als Zahlungsbeispiel für ungültig erklärt wird.

Der Anekdote zufolge war Euathlos arm und konnte sich die Lektionen von Protagoras nicht leisten. Letzterer akzeptierte ihn als Schüler, nachdem er folgende Vereinbarung getroffen hatte:

Euathlos wird die gewonnenen Erkenntnisse erstatten, sobald er seinen ersten Versuch gewonnen hat.
Nach Abschluss seiner Ausbildung weigerte sich Eualthos, sowohl als Anwalt zu plädieren als auch Protagoras zu bezahlen. Ohne Flehen konnte er keinen Prozess gewinnen. Nachdem er keine Klage gewonnen hatte, musste er seinen Herrn nicht erstatten. Protagoras griff ihn dann vor Gericht an, um seinen Schüler zum Flehen zu zwingen.

Protagoras argumentiert wie folgt:

Wenn Eualthos seine Klage gewinnt, muss er seinen Herrn erstatten, da dies die Bedingungen ihrer Vereinbarung waren.
Wenn Eualthos seinen Prozess verliert, muss er seinen Meister erstatten, weil ihn die Gerechtigkeit dazu zwingt.

Protagoras würden daher unabhängig vom Ausgang des Prozesses erstattet. Entweder aufgrund der Vereinbarung mit Eualthos oder aufgrund einer gerichtlichen Entscheidung. Das Paradoxon greift in die Antwort des Schülers ein. Ihm zufolge wird er nichts zu erstatten haben. Was auch immer das Ergebnis des Prozesses sein mag, er wird nicht bezahlen.

Seine Argumentation des Schülers wird wie folgt ausgedrückt:

Wenn er seine Klage gewinnt, darf er seinen Herrn nicht erstatten, da ihn die Gerechtigkeit freigesprochen hat.
Wenn er seine Prüfung verliert, darf er seinen Meister nicht erstatten, da sein Unterricht unwirksam ist.

Wie sollen wir diesen Konflikt letztendlich beurteilen?

Vielleicht müssen wir, um dies zu beurteilen, zuerst auf das Ergebnis des Prozesses warten, da dieses Ergebnis bestimmt, wer falsch und wer richtig ist. Was zwei Möglichkeiten eröffnet:

Es reicht daher aus, zu warten, bis der Prozess beendet ist, um ihn fortsetzen zu können. und in der Zwischenzeit wird Euathlos zweifellos an einem weiteren bedeutenderen Prozess beteiligt gewesen sein …
Protagoras entlassen, da sein Prozess ohne Grund ist: Da das Ergebnis des ersten Prozesses gegen Euathlos noch nicht bekannt ist, kann Protagoras nicht bestätigen, dass Euathlos ihm bereits etwas schuldet, was gegen die Vereinbarung verstößt. Damit das Paradoxon verschwindet, muss der Richter zunächst Euathlos zustimmen. Protagoras können dann einen weiteren Versuch einleiten.

Tatsächlich befindet sich der Richter durch das Spiel zwischen zwei unabhängigen Rechtsnormen (Vertragsrecht und die ursprüngliche Vereinbarung zwischen den beiden Parteien) in einer Situation, in der das Ergebnis, das er aussprechen muss, immer das Gegenteil von dem ist, was er sein muss: Protagoras als zu bezeichnen Als Gewinner muss er ihn als Verlierer betrachten (und umgekehrt). Es ist ein klassisches selbstreferenzielles Paradoxon vom Typ Lügner, aber mit einer zeitlichen Dimension, die berücksichtigt werden muss (wie im Paradoxon des Großvaters, bei dem ein zeitreisender Mensch seine Eltern vor seiner Geburt tötet).

Eine andere Theorie
Eine andere Sichtweise auf den Fall ist wie folgt:

Evatlo würde seinen Fall gewinnen, da Protágoras ihn verklagte, bevor Evatlo seinen ersten Fall gewann. Protágoras würde diesen speziellen Fall verlieren, weil Evatlo noch keinen Fall gewonnen hat und sich daher der Grund für die Klage von Protágoras noch nicht manifestiert hatte.

Evatlos neuer Sieg würde als neuer Test für Protágoras angesehen werden, was der Grund für einen neuen Prozess ist.

Es kann kritisiert werden, dass dies zwar eine praktische Lösung darstellt, aber das logische Paradoxon nicht löst. Dies kann jedoch in Frage gestellt werden, indem eine Schlüsselannahme in der Logik identifiziert wird, die der ewigen Zustände.

Diese Lösung funktioniert, weil sie die Annahme der ewigen Zustände notiert, dh die Beschreibung gilt für die gesamte Zeit. Wenn diese Annahme falsch ist, dass das Gericht die Entscheidung ohne Kenntnis der Ergebnisse des Verfahrens trifft (oder Beweise jederzeit nach Beginn des Verfahrens, aber nach dem Ende des Verfahrens ausschließt), kann sie gelöst werden, weil Der Student hat den Fall zu diesem Zeitpunkt noch nicht gewonnen. Das Gericht kann entscheiden, dass es nicht gewonnen hat, daher muss es nicht ohne Widerspruch zahlen. Eine neue Forderung nach Protágoras ist ebenfalls nicht widersprüchlich. In dieser zweiten Klage hat sich der Status des Studenten geändert: Er hat jetzt einen Fall gewonnen. Die zweite Klage enthält nicht das Ergebnis der ersten, da sie vor der zweiten Verhandlung liegt und das Gericht frei zugunsten von Protágoras entscheiden kann. Wenn wir von ewigen Zuständen ausgehen, müsste das Gericht alle Fälle kennen, an denen der Student sein Leben lang teilnehmen wird, sowohl in der Vergangenheit als auch in der Zukunft. In diesem Fall würde es einen Widerspruch für eine Annahme geben, die nicht realistisch wäre. Daher könnte der Schüler den ersten Fall gewinnen, aber den zweiten verlieren, da dies zu verschiedenen Zeiten seines Lebens geschieht.

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Logik Paradoxe

Krokodildilemma

Das Krokodilparadoxon, auch als Krokodil-Sophismus bekannt, ist ein Paradoxon in der Logik in derselben Familie von Paradoxien wie das Lügnerparadoxon. Die Prämisse besagt, dass ein Krokodil, das ein Kind gestohlen hat, dem Vater / der Mutter verspricht, dass sein Kind genau dann zurückgegeben wird, wenn sie richtig vorhersagen, was das Krokodil als nächstes tun wird.

Inhalt
Der Krokodilverschluss ist ein klassisches dialektisches Paradoxon der Antike, das sich auf ein fiktives Gespräch zwischen einem Krokodil und einer Mutter bezieht. Das Krokodil hat der Mutter ein Kind gestohlen. Auf Wunsch der Mutter, das Kind zurückzugeben, verspricht das Krokodil, das Kind dann und nur dann zurückzugeben, wenn die Mutter richtig errät, was es mit dem Kind tun wird.

Auf diese Weise wird die Mutter gefangen.

Sie antwortet nämlich, das Krokodil werde das Kind zurückbringen, es werde nach der Logik ihres Vorschlags mit größter Sicherheit sein Kind verlieren, weil das Krokodil ja als Raiders des Kindesinteresses das Kind behalten will.

Wenn sie jedoch antwortet, dass das Krokodil das Kind nicht gemäß seinem Interesse zurückgibt, bringt sie das Krokodil in ein argumentatives Dilemma. Wenn das Krokodil das Kind behält, verletzt es sein eigenes Wort. Das Krokodil kann daher nur antworten, dass es sich nicht an sein Wort gebunden fühlt, da die Mutter selbst die logische Möglichkeit einer Rückkehr durch ihre Antwort ausgeschlossen hat. Die Mutter kann ihr Kind nur noch vertragsgemäß zurückfordern.

Erklärung des Paradoxons
Wir können das Paradox wie folgt formulieren:

Ein Krokodil schnappt sich ein Baby und sagt zu der Mutter: „Wenn Sie raten, was ich tun werde, gebe ich Ihnen das Baby zurück, sonst esse ich es. ”

Angenommen, das Krokodil hält sein Wort, was muss die Mutter sagen, damit das Krokodil das Kind seiner Mutter zurückgibt?

Eine übliche Antwort der Mutter lautet: „Du wirst es verschlingen! ”

Wenn das Krokodil das Kind verschlungen hätte, hätte die Mutter richtig geraten und das Krokodil müsste das Kind zurückgeben.

Wenn das Krokodil das Kind zurückgebracht hätte, hätte sich die Mutter geirrt und das Krokodil müsste es verschlingen.

In beiden Fällen kann das Krokodil sein Wort nicht halten und ist mit einem Paradoxon konfrontiert.

Laut Lewis Carroll wird das Krokodil das Kind essen, weil es in seiner Natur liegt. Dieses Paradoxon wurde von Lucien de Samosate, der es dem stoischen Chrysippus in den Mund steckt, im Dialog Sekten auf einer Auktion erzählt.

Über diesen krokodilischen Irrtum berichtet Quintilian in seinem Auszug aus der Oratory Institution, dem lateinischen Autor des 1. Jahrhunderts.

Wenn die Mutter jedoch antwortet: „Du wirst es mir zurückgeben“, gibt es kein Paradox mehr und die Aussage ist wahr, ob das Krokodil das Kind zurückgibt oder es verschlingt.

Das Wahre und das Falsche
Dieses Paradoxon ähnelt dem Paradoxon des Lügners in dem Sinne, dass wenn wir wollen, dass die Aussage wahr ist, sie falsch wird und wenn wir wollen, dass sie falsch ist, wird sie wahr.

Es gibt eine subtilere Antwort der Mutter: „Du wirst mein Kind verschlingen oder du wirst es zurückgeben!“ ”

Das Krokodil kann sein Wort nicht halten und das Kind verschlingen. Seine einzige Möglichkeit, sein Wort zu halten, besteht darin, das Kind zurückzugeben. In diesem Fall hat die Mutter vorhergesagt, was das Krokodil tun wird.

Diese Art von Situation wird von Raymond Smullyan in seinem Buch Les Énigmes de Shéhérazade als „Zwangslogik“ bezeichnet. Die Beispiele, die er in seinem Kapitel „Die große Frage“ gibt, entsprechen genau der Situation des Krokodilparadoxons.

Die Transaktion ist logisch reibungslos, aber unvorhersehbar, wenn der Elternteil vermutet, dass das Kind zurückgegeben wird. Für das Krokodil entsteht jedoch ein Dilemma, wenn der Elternteil vermutet, dass das Kind nicht zurückgegeben wird. Für den Fall, dass das Krokodil beschließt, das Kind zu behalten, verstößt es gegen seine Bestimmungen: Die Vorhersage des Elternteils wurde bestätigt, und das Kind sollte zurückgegeben werden. Für den Fall, dass das Krokodil beschließt, das Kind zurückzugeben, verstößt es dennoch gegen seine Bestimmungen, auch wenn diese Entscheidung auf dem vorherigen Ergebnis basiert: Die Vorhersage des Elternteils wurde gefälscht, und das Kind sollte nicht zurückgegeben werden. Die Frage, was das Krokodil tun soll, ist daher paradox, und es gibt keine gerechtfertigte Lösung.

Das Krokodildilemma dient dazu, einige der logischen Probleme aufzudecken, die durch Metaknowledge entstehen. In dieser Hinsicht ähnelt es in seiner Konstruktion dem unerwarteten hängenden Paradoxon, mit dem Richard Montague (1960) demonstrierte, dass die folgenden Annahmen über Wissen in Kombination inkonsistent sind:

(i) Wenn bekannt ist, dass ρ wahr ist, dann ist ρ.

(ii) Es ist bekannt, dass (i).

(iii) Wenn ρ σ impliziert und bekannt ist, dass ρ wahr ist, dann ist auch bekannt, dass σ wahr ist.

Antike griechische Quellen diskutierten als erste das Krokodildilemma.

Art
Es gibt andere Variationen, wie zum Beispiel: „Der zum Tode verurteilte Prophet hat die Prophezeiung des Königs und ändert die Hinrichtungsmethode, je nachdem, ob sie erfüllt wurde oder nicht.“

In der Folge 13 „Laughter Kangaroo“ des Dramas „Nisaburo Furuhata“ erschien ein Löwe vor dem Abenteurer und stellte dieselbe Frage wie im obigen Krokodil und erschien als Geschichte an der Bar.

Spanien des Romans „Don Quijote in“, Beratung, wie die folgende zum ursprünglichen Sancho Panza kommt in Mikrocomputer. „Um die Brücke zu überqueren, musst du ihren Zweck melden, und wenn es eine Lüge ist, wirst du gehängt. Ein Mann sagt: „Ich werde gehängt. Ich bin gekommen, um zu sein. ‚

Sancho Panza hingegen sagt, er sollte einfach passen. Das Grundprinzip ist, dass „mir von meinem Mann immer gesagt wurde, dass ich im Zweifelsfall barmherzig sein sollte.“

Wortlaut
Das Krokodil riss der Ägypterin am Ufer des Flusses ihr Kind heraus. Das Krokodil brachte das Kind auf ihre Bitte zurück, nachdem es wie immer eine Krokodilsträne vergossen hatte, und antwortete:

„Ihr Unglück hat mich bewegt, und ich werde Ihnen die Chance geben, Ihr Kind zurückzubekommen.“ Ratet mal, ob ich es euch geben werde oder nicht. Wenn Sie richtig antworten, werde ich das Kind zurückgeben. Wenn Sie nicht raten, werde ich es nicht aufgeben.

Nachdenklich antwortete die Mutter:

„Du wirst mir das Baby nicht geben.“

„Sie werden es nicht bekommen“, schloss das Krokodil. „Du hast entweder die Wahrheit oder die Unwahrheit gesagt.“ Wenn die Tatsache, dass ich das Kind nicht aufgeben werde, wahr ist, werde ich es nicht zurückgeben, weil es sonst nicht wahr sein wird. Wenn das Gesagte nicht stimmt, haben Sie es nicht erraten, und ich werde das Kind nicht einvernehmlich aufgeben.

Die Mutter fand diese Argumentation jedoch nicht überzeugend:

„Aber wenn ich die Wahrheit gesagt habe, dann wirst du mir das Kind geben, wie wir vereinbart haben.“ Wenn ich nicht vermutet hätte, dass Sie das Kind nicht aufgeben würden, sollten Sie es mir geben, sonst wäre das, was ich sagte, nicht falsch.

Wer hat Recht: Mutter oder Krokodil? Was verspricht ihnen das Krokodil? Das Kind verschenken oder umgekehrt nicht verschenken? Und zu diesem und zu einem anderen gleichzeitig. Dieses Versprechen ist innerlich widersprüchlich und daher aufgrund der Gesetze der Logik nicht zu erfüllen.

Noch eine Formulierung
Der Missionar befand sich bei den Kannibalen und kam pünktlich zum Abendessen an. Sie erlauben ihm zu wählen, in welcher Form er gegessen wird. Um dies zu tun, muss er eine Aussage mit der Bedingung machen, dass wenn diese Aussage wahr ist, sie sie schweißen wird, und wenn sie sich als falsch herausstellt, wird sie gebraten.

Was soll man dem Missionar sagen?

Er muss sagen: „Du wirst mich braten.“ Wenn es wirklich gebraten ist, stellt sich heraus, dass er die Wahrheit ausgedrückt hat, und deshalb muss es gekocht werden. Wenn es gekocht wird, ist seine Aussage falsch und es sollte nur gebraten werden. Die Kannibalen haben keine Wahl: von „braten“ folgt „kochen“ und umgekehrt.

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Logik Paradoxe

Bhartrharis Paradoxon

Bhartrharis Paradoxon: Die These, dass es einige Dinge gibt, die nicht benennbar sind, widerspricht der Vorstellung, dass etwas benannt wird, indem man es unbenennbar nennt.

Bhartṛhari ist ein Sanskrit-Schriftsteller, dem normalerweise zwei einflussreiche Sanskrit-Texte zugeschrieben werden:

das Vākyapadīya über Sanskrit-Grammatik und Sprachphilosophie, ein Grundtext in der indischen grammatikalischen Tradition, der zahlreiche Theorien über das Wort und den Satz erklärt, einschließlich Theorien, die unter dem Namen Sphoṭa bekannt wurden; In dieser Arbeit diskutierte Bhartrhari auch logische Probleme wie das Lügnerparadoxon und ein Paradoxon der Unbenennbarkeit oder Nichtunterzeichnbarkeit, das als Bhartrharis Paradoxon bekannt geworden ist, und
das Śatakatraya, ein Werk der Sanskrit-Poesie, bestehend aus drei Sammlungen mit jeweils etwa 100 Strophen; es kann von demselben Autor stammen oder nicht, der die beiden genannten grammatikalischen Werke verfasst hat.
In der mittelalterlichen Tradition der indischen Wissenschaft wurde angenommen, dass beide Texte von derselben Person verfasst wurden. Moderne Philologen standen dieser Behauptung aufgrund eines Arguments skeptisch gegenüber, das die Grammatik auf ein Datum nach der Poesie datierte. Seit den 1990er Jahren sind sich die Wissenschaftler jedoch einig, dass beide Werke tatsächlich zeitgemäß waren. In diesem Fall ist es plausibel, dass es nur einen Bhartrihari gab, der beide Texte schrieb.

Sowohl die Grammatik als auch die poetischen Werke hatten in ihren jeweiligen Bereichen einen enormen Einfluss. Insbesondere die Grammatik betrachtet die Sprache ganzheitlich und widerspricht der kompositorischen Position der Mimamsakas und anderer.

Die Gedichte bestehen aus kurzen Versen, die in drei Jahrhunderten zu je etwa hundert Gedichten zusammengefasst sind. Jedes Jahrhundert befasst sich mit einer anderen Rasa oder ästhetischen Stimmung; Insgesamt wurde sein poetisches Werk sowohl innerhalb der Tradition als auch in der modernen Wissenschaft sehr geschätzt.

Der Name Bhartrihari wird manchmal auch mit Bhartrihari traya Shataka, dem legendären König von Ujjaini im 1. Jahrhundert, in Verbindung gebracht.

Datum und Identität
Der Bericht des chinesischen Reisenden Yi-Jing zeigt, dass Bhartriharis Grammatik um 670 n. Chr. Bekannt war und dass er möglicherweise Buddhist war, was der Dichter nicht war. Auf dieser Grundlage hatte die wissenschaftliche Meinung die Grammatik früher einem separaten gleichnamigen Autor aus dem 7. Jahrhundert n. Chr. Zugeschrieben. Andere Beweise deuten jedoch auf ein viel früheres Datum hin:

Es wurde lange angenommen, dass Bhartrihari im siebten Jahrhundert n. Chr. Gelebt hat, aber nach dem Zeugnis des chinesischen Pilgers Yijing war er dem buddhistischen Philosophen Dignaga bekannt, und dies hat sein Datum auf das fünfte Jahrhundert n. Chr. Zurückgeschoben.

Ein Zeitraum von c. 450–500 „definitiv nicht später als 425–450“ oder nach Erich Frauwallner 450–510 oder vielleicht 400 CE oder noch früher.

Yi-Jings andere Behauptung, Bhartrihari sei ein Buddhist, scheint nicht zu gelten; Seine philosophische Position gilt weithin als Ableger der Vyakaran- oder Gymnasialschule, die eng mit dem Realismus der Naiyayikas verbunden und eindeutig gegen buddhistische Positionen wie Dignaga ist, die dem Phänomenalismus näher stehen. Es ist auch gegen andere mImAMsakas wie Kumarila Bhatta. Einige seiner Ideen beeinflussten jedoch später einige buddhistische Schulen, was Yi-Jing möglicherweise zu der Vermutung veranlasst hat, dass er Buddhist gewesen sein könnte.

Insgesamt scheint es daher wahrscheinlich, dass die traditionelle sanskritistische Ansicht, dass der Dichter des Śatakatraya der gleiche ist wie der Grammatiker Bhartṛhari, akzeptiert werden kann.

Der führende Sanskrit-Gelehrte Ingalls (1968) erklärte: „Ich sehe keinen Grund, warum er nicht Gedichte sowie Grammatik und Metaphysik hätte schreiben sollen“, wie Dharmakirti, Shankaracharya und viele andere. Yi Jing selbst schien zu glauben, dass sie dieselbe Person waren, als er schrieb, dass (der Grammatiker) Bhartṛhari, Autor des Vakyapadiya, für sein Schwanken zwischen buddhistischem Mönchtum und einem Leben voller Vergnügen bekannt war und Verse zu diesem Thema geschrieben hatte.

Vākyapadīya
Bhartriharis Ansichten zur Sprache bauen auf denen früherer Grammatiker wie Patanjali auf, waren aber ziemlich radikal. Ein Schlüsselelement seiner Sprachauffassung ist der Begriff Sphoṭa – ein Begriff, der möglicherweise auf einem alten Grammatiker basiert, Sphoṭāyana, auf den sich Pāṇini bezieht und der jetzt verloren geht.

In seinem Mahabhashya verwendet Patanjali (2. Jahrhundert v. Chr.) Den Begriff sphoṭa, um den Klang der Sprache, des Universalen, zu bezeichnen, während der tatsächliche Klang (dhvani) lang oder kurz sein oder auf andere Weise variieren kann. Man kann annehmen, dass diese Unterscheidung der des gegenwärtigen Begriffs des Phonems ähnlich ist. Bhatrihari wendet jedoch den Begriff sphota auf jedes Element der Äußerung an, varṇa den Buchstaben oder die Silbe, pada das Wort und vākya den Satz. Um die sprachliche Invariante zu erzeugen, argumentiert er, dass diese als separate Ganzheiten behandelt werden müssen (varṇasphoṭa, padasphoṭa bzw. vākyasphoṭa). Zum Beispiel kann der gleiche Sprachklang oder Varṇa in verschiedenen Wortkontexten unterschiedliche Eigenschaften haben (z. B. Assimilation), so dass der Ton erst erkannt werden kann, wenn das gesamte Wort gehört wird.
Ferner argumentiert Bhartrihari für eine satzholistische Sicht der Bedeutung und sagt, dass die Bedeutung einer Äußerung erst bekannt ist, nachdem der gesamte Satz (vākyasphoṭa) empfangen wurde, und dass sie sich nicht aus den einzelnen atomaren Elementen oder sprachlichen Einheiten zusammensetzt, die sich ändern können ihre Interpretation basiert auf späteren Elementen in der Äußerung. Ferner werden Wörter nur im Zusammenhang mit dem Satz verstanden, dessen Bedeutung als Ganzes bekannt ist. Sein Argument dafür basierte auf dem Spracherwerb, z. B. ein Kind, das den folgenden Austausch beobachtet:

älterer Erwachsener (uttama-vṛddha „ausgewachsen“): sagt „bring das Pferd“
jüngerer Erwachsener (madhyama-vṛddha „halbwüchsig“): reagiert, indem er das Pferd mitbringt

Das Kind, das dies beobachtet, kann nun erfahren, dass sich die Einheit „Pferd“ auf das Tier bezieht. Wenn das Kind den Satz nicht a priori kennt, ist es für ihn schwierig, auf die Bedeutung neuartiger Wörter zu schließen. So erfassen wir die Satzbedeutung als Ganzes und erreichen Wörter als Teile des Satzes und Wortbedeutungen als Teile der Satzbedeutung durch „Analyse, Synthese und Abstraktion“ (apoddhāra).

Die Sphoṭa-Theorie war einflussreich, wurde aber von vielen anderen abgelehnt. Später lehnten Mimamsakas wie Kumarila Bhatta (ca. 650 n. Chr.) Die vākyasphoṭa-Ansicht nachdrücklich ab und sprachen sich für die bezeichnende Kraft jedes Wortes aus und plädierten für die Zusammensetzung der Bedeutungen (abhihitānvaya). Die Prabhakara-Schule (ca. 670) unter den Mimamsakas nahm jedoch eine weniger atomistische Position ein und argumentierte, dass Wortbedeutungen existieren, aber durch den Kontext bestimmt werden (anvitābhidhāna).

In einem Abschnitt des Kapitels über die Beziehung diskutiert Bhartrhari das Lügnerparadoxon und identifiziert einen verborgenen Parameter, der eine unproblematische Situation im täglichen Leben in ein hartnäckiges Paradoxon verwandelt. Darüber hinaus diskutiert Bhartrhari hier ein Paradoxon, das von Hans und Radhika Herzberger als „Bhartrharis Paradoxon“ bezeichnet wurde. Dieses Paradox ergibt sich aus der Aussage „das ist nicht benennbar“ oder „das ist nicht zu benennen“.

Das Mahābhāṣya-dīpikā (auch Mahābhāṣya-ṭīkā) ist ein früher Unterkommentar zu Patanjalis Vyākaraṇa-Mahābhāṣya, der auch Bhartṛhari zugeschrieben wird.

Śatakatraya
Bhartriharis Poesie ist aphoristisch und kommentiert die sozialen Sitten der Zeit. Das gesammelte Werk ist bekannt als Śatakatraya „die drei śatakas oder“ Hunderte „(“ Jahrhunderte „)“, bestehend aus drei thematischen Zusammenstellungen über Shringara, Vairagya und Niti (lose: Liebe, Leidenschaftslosigkeit und moralisches Verhalten) mit jeweils hundert Versen.

Leider variieren die erhaltenen Manuskriptversionen dieser Shatakas in den enthaltenen Versen stark. DD Kosambi hat einen Kernel von zweihundert identifiziert, der allen Versionen gemeinsam ist.

Hier ist ein Beispiel, das soziale Sitten kommentiert:
Ein Mann des Reichtums gilt als hochgeboren
Klug, wissenschaftlich und anspruchsvoll
Beredsam und sogar gutaussehend –
Alle Tugenden sind Accessoires zu Gold!

Und hier ist einer, der sich mit dem Thema Liebe befasst:

Die klare, helle Flamme der Unterscheidung eines Mannes stirbt
Wenn ein Mädchen es mit ihren lampenschwarzen Augen trübt. [Bhartrihari # 77, tr. John Brough; Gedicht 167]

Bhartrharis Paradoxon
Bhartrharis Paradoxon ist der Titel eines Papiers von Hans und Radhika Herzberger aus dem Jahr 1981, das auf die Diskussion selbstreferenzieller Paradoxien in der Arbeit Vākyapadīya aufmerksam machte, die Bhartṛhari, einem indischen Grammatiker des 5. Jahrhunderts, zugeschrieben wurde.

In dem Kapitel über logische und sprachliche Beziehungen, dem Sambandha-Samuddeśa, diskutiert Bhartrhari mehrere Aussagen paradoxer Natur, einschließlich Sarvam Mithyā Bravīmi „Alles, was ich sage, ist falsch“, das zur Paradoxonfamilie der Lügner gehört, sowie das entstehende Paradoxon aus der Aussage, dass etwas nicht benennbar oder nicht bezeichnbar ist (in Sanskrit: avācya): Dies wird benennbar oder bezeichnbar, indem man es unbenennbar oder nicht bezeichnbar nennt. Wenn es auf ganze Zahlen angewendet wird, ist letzteres heute als Berry-Paradoxon bekannt.

Bhartrharis Interesse liegt nicht darin, dieses und andere Paradoxe zu stärken, indem sie aus dem pragmatischen Kontext abstrahiert werden, sondern vielmehr zu untersuchen, wie ein hartnäckiges Paradox aus unproblematischen Situationen in der täglichen Kommunikation entstehen kann.

Eine unproblematische Kommunikationssituation wird zu einem Paradoxon – wir haben entweder einen Widerspruch (Virodha) oder einen unendlichen Rückschritt (Anavasthā) -, wenn eine Abstraktion von der Bedeutung und ihrer zeitlichen Ausdehnung vorgenommen wird, indem eine gleichzeitige, entgegengesetzte Funktion (apara vyāpāra) rückgängig gemacht wird Der vorherige.

Für Bhartrhari ist es wichtig, das Paradoxon der Unbedeutbarkeit zu analysieren und zu lösen, da er der Ansicht ist, dass das, was nicht bezeichnet werden kann, dennoch angezeigt werden kann (vyapadiśyate) und verstanden werden kann (pratīyate), dass es existiert.

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Barbier-Paradoxon

Das Barbier-Paradoxon ist ein Rätsel, das aus Russells Paradoxon abgeleitet ist. Es wurde von Bertrand Russell selbst als Illustration des Paradoxons verwendet, obwohl er es einer unbenannten Person zuschreibt, die es ihm vorschlug. Das Rätsel zeigt, dass ein scheinbar plausibles Szenario logisch unmöglich ist. Insbesondere beschreibt es einen Friseur, der so definiert ist, dass er sich sowohl rasiert als auch nicht selbst rasiert.

Paradox
Der Friseur ist derjenige, der „all jene rasiert und nur jene, die sich nicht rasieren“. Die Frage ist, rasiert sich der Friseur?

Die Beantwortung dieser Frage führt zu einem Widerspruch. Der Friseur kann sich nicht rasieren, da er nur diejenigen rasiert, die sich nicht rasieren. Wenn er sich also rasiert, hört er auf, der Friseur zu sein. Umgekehrt, wenn der Friseur sich nicht rasiert, passt er in die Gruppe der Menschen, die vom Friseur rasiert würden, und muss sich daher als Friseur rasieren.

Geschichte
Dieses Paradoxon wird oft fälschlicherweise Bertrand Russell zugeschrieben (z. B. von Martin Gardner in Aha!). Es wurde Gardner als alternative Form von Russells Paradox vorgeschlagen, das Russell entwickelt hatte, um zu zeigen, dass die von Georg Cantor und Gottlob Frege verwendete Mengenlehre Widersprüche enthielt. Russell bestritt jedoch, dass das Paradoxon des Barbiers eine eigene Instanz sei:

Dieser Widerspruch [Russells Paradoxon] ist äußerst interessant. Sie können die Form ändern. Einige Formen der Änderung sind gültig, andere nicht. Mir wurde einmal ein Formular vorgeschlagen, das nicht gültig war, nämlich die Frage, ob sich der Friseur rasiert oder nicht. Sie können den Friseur als „jemanden definieren, der all diese und nur diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren“. Die Frage ist, rasiert sich der Friseur? In dieser Form ist der Widerspruch nicht sehr schwer zu lösen. Aber in unserer vorherigen Form denke ich, dass es klar ist, dass man es nur umgehen kann, wenn man beobachtet, dass die ganze Frage, ob eine Klasse ein Mitglied von sich selbst ist oder nicht, Unsinn ist, dh dass keine Klasse ein Mitglied von sich selbst ist oder nicht und dass es nicht einmal wahr ist, das zu sagen, weil die ganze Form von Wörtern nur Lärm ohne Bedeutung ist.
– Bertrand Russell, Die Philosophie des logischen Atomismus

Dieser Punkt wird unter Angewandte Versionen von Russells Paradox weiter ausgeführt.

Erklärung
Wir können das Paradox wie folgt formulieren:

Der Gemeinderat eines Dorfes beschließt ein Gemeindedekret, das seinem (männlichen) Friseur vorschreibt, alle männlichen Bewohner des Dorfes zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese.

Der im Dorf lebende Friseur konnte diese Regel nicht einhalten, weil:

Wenn er sich rasiert, bricht er die Regel, weil der Friseur nur Männer rasieren kann, die sich nicht rasieren;
Wenn er sich nicht rasiert – ob er sich rasiert oder seinen Bart behält – ist er auch schuld, weil er für die Rasur von Männern verantwortlich ist, die sich nicht rasieren.
Diese Regel ist daher nicht anwendbar. Ist dies jedoch ein Paradoxon? Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass ein Dorfrat oder eine andere Einrichtung die Quelle eines absurden Gesetzes sein könnte. Dieses „Paradoxon“ ist keine logische Antinomie, sondern zeigt lediglich, dass ein Friseur, der diese Regel respektiert, nicht existieren kann. Es ist eine Illustration dessen, was, wenn R eine willkürliche binäre Beziehung ist (in diesem Fall „… rasieren…“), die folgende Aussage ist, die in formaler Sprache geschrieben ist:

¬ ∃ y ∀ x (y R x ¬ x R x)
ist eine universell gültige Formel zur Berechnung von Prädikaten erster Ordnung. Wir werden auf den Artikel über Russells Paradoxon verweisen, um zu sehen, warum dies im Fall der Zugehörigkeitsbeziehung in einer zu naiven Mengenlehre zu einer echten Antinomie führen kann, dh zu einem theoretisch aufgezeigten Widerspruch.

Da es tatsächlich für jede (binäre) Beziehung gilt, kann man ihr mit mehr oder weniger Glück mehrere Varianten geben. Lassen Sie uns diesen aufgrund von Martin Gardner zitieren: Ist es logisch möglich, einen Katalog zu schreiben, der alle Kataloge auflistet, die sich nicht selbst auflisten, und nur diese? Die Antwort lautet Nein, da dieser Katalog weder aufgelistet noch aufgelistet werden kann.

In der Logik erster Ordnung
{\ displaystyle (\ existiert x) ({\ text {person}} (x) \ wedge (\ forall y) ({\ text {person}} (y) \ rightarrow ({\ text {shaves}} (x, y) \ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}} (y, y))))}
Dieser Satz ist wegen des universellen Quantifizierers unbefriedigend (ein Widerspruch)(\für alle ). Der universelle Quantifizierer y enthält jedes einzelne Element in der Domäne, einschließlich unseres berüchtigten Friseurs x. Wenn also y der Wert x zugewiesen wird, kann der Satz umgeschrieben werden{\ text {shaves}} (x, x) \ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}} (x, x), was ein Beispiel für den Widerspruch ista \ leftrightarrow \ neg a.

Varianten
Es gibt viele Varianten des Paradoxons, zum Beispiel:

Der Sevilla-Friseur rasiert alle Sevilla-Männer, außer denen, die sich rasieren. Diese Dekoration liefert nicht Russells sinnlose Definition, sondern impliziert nur, dass der Friseur kein Mann aus Sevilla ist (vielleicht eine Friseurin oder ein Friseur, der dort aus einer Nachbarstadt arbeitet).

Ein paradoxer Befehl: „Alle Bürgermeister dürfen nicht in ihrer eigenen Stadt leben, sondern müssen in die eigens eingerichtete Bürgermeisterstadt Bümstädt ziehen. Wo wohnt jetzt der Bürgermeister von Bümstädt? ”

Annäherung an die Russellsche Antinomie: Eine Bibliothek möchte einen Bibliographiekatalog erstellen, in dem alle Bibliographiekataloge aufgelistet sind, die keinen Verweis auf sich selbst enthalten. Soll dieser Katalog auch aufgeführt werden? In diesem Fall erhält er einen Verweis auf sich selbst und gehört dennoch nicht zu den aufgeführten Katalogen. Wenn nicht, enthält es keinen Verweis auf sich selbst und gehört dennoch zu dieser Menge.

Der alte Sophismus von Euathlos ist ebenfalls verwandt.

Kategorien
Logik Paradoxe

Unerwartetes hängendes Paradoxon

Das unerwartete hängende Paradoxon oder Henkerparadoxon ist ein Paradoxon über die Erwartungen einer Person an den Zeitpunkt eines zukünftigen Ereignisses, von dem sie erfährt, dass es zu einem unerwarteten Zeitpunkt eintreten wird. Das Paradoxon wird auf verschiedene Weise auf das Hängen eines Gefangenen oder einen Überraschungsschultest angewendet. Es könnte auf Moores Paradox reduziert werden.

Trotz erheblichen akademischen Interesses besteht kein Konsens über seine genaue Natur und folglich wurde noch keine endgültige korrekte Lösung gefunden. Die logische Analyse legt nahe, dass das Problem in einer widersprüchlichen, sich selbst referenzierenden Aussage im Herzen des Urteils des Richters auftritt. Erkenntnistheoretische Studien des Paradoxons haben gezeigt, dass es unser Wissenskonzept aktiviert. Obwohl es anscheinend einfach ist, haben die zugrunde liegenden Komplexitäten des Paradoxons sogar dazu geführt, dass es als „bedeutendes Problem“ für die Philosophie bezeichnet wird.

Beschreibung des Paradoxons
Das Paradoxon wurde wie folgt beschrieben:

Ein Richter teilt einem verurteilten Gefangenen mit, dass er an einem Wochentag in der folgenden Woche mittags gehängt wird, die Hinrichtung jedoch für den Gefangenen eine Überraschung sein wird. Er wird den Tag des Hängens nicht kennen, bis der Henker an diesem Tag mittags an seine Zellentür klopft.

Nachdem der Gefangene über sein Urteil nachgedacht hat, kommt er zu dem Schluss, dass er dem Hängen entkommen wird. Seine Argumentation besteht aus mehreren Teilen. Er kommt zu dem Schluss, dass das „Hängen der Überraschung“ nicht am Freitag stattfinden kann, als ob er bis Donnerstag nicht gehängt worden wäre. Es bleibt nur noch ein Tag – und es ist keine Überraschung, wenn er am Freitag gehängt wird. Da das Urteil des Richters vorsah, dass das Erhängen eine Überraschung für ihn sein würde, kommt er zu dem Schluss, dass es am Freitag nicht stattfinden kann.

Er begründet dann, dass das Aufhängen der Überraschung auch nicht am Donnerstag stattfinden kann, da der Freitag bereits beseitigt wurde und wenn er bis Mittwochmittag nicht aufgehängt wurde, muss das Aufhängen am Donnerstag erfolgen, sodass das Aufhängen eines Donnerstag ebenfalls keine Überraschung darstellt. Aus ähnlichen Gründen kommt er zu dem Schluss, dass das Aufhängen auch nicht am Mittwoch, Dienstag oder Montag stattfinden kann. Freudig zieht er sich in seine Zelle zurück und ist zuversichtlich, dass das Aufhängen überhaupt nicht stattfinden wird.

In der nächsten Woche klopft der Henker am Mittwochmittag an die Tür des Gefangenen – was ihn trotz alledem völlig überraschte. Alles, was der Richter sagte, wurde wahr.

Andere Versionen des Paradoxons ersetzen das Todesurteil durch eine Überraschungsübung, eine Untersuchung, ein Pop-Quiz, einen A / B-Teststart oder einen Löwen hinter einer Tür.

Klassische Darstellungen
Das Paradoxon wird erstmals in der Juli-Ausgabe 1948 der englischen philosophischen Zeitschrift Mind schriftlich erwähnt. Die Variante dort ist: Ein Militärbefehlshaber hatte in der kommenden Woche einen Totalausfall („Class A Blackout“) angekündigt, und die Betroffenen sollten erst am entsprechenden Tag nach 6:00 Uhr davon erfahren.

Das Paradoxon ist spätestens seit 1943 mündlich verbreitet. Das schwedische Radio hatte Berichten zufolge 1943 oder 1944 eine Luftangriffsübung angekündigt, die in der folgenden Woche stattfinden sollte. Es wurde hinzugefügt, dass niemand vorhersagen konnte, wann es stattfinden würde, selbst am Morgen des Trainingstages. Lennart Ekbom, Professor für Mathematik am Östermalms College in Stockholm, war sich der logischen Schwierigkeiten bewusst geworden.

Michael Scriven, Professor für wissenschaftliche Logik an der University of Indiana, diskutierte das Paradoxon 1951 auch in Mind als „neues und mächtiges Paradoxon“.

In klassischen Darstellungen wird das Paradoxon am Beispiel einer zum Tode verurteilten Person dargestellt. Entschärfte Versionen ersetzen die Hinrichtung des Gefangenen durch einen Überraschungstest, der den Studenten in naher Zukunft angekündigt wird.

Das Paradoxon des Henkers
Ein Gefangener wird verurteilt, innerhalb einer Woche (Montag bis Sonntag) hingerichtet zu werden. Hinrichtungen finden immer mittags statt. Am Tag der Hinrichtung wird ihm nicht gesagt, er solle sich Sorgen machen. Ihm wird auch gesagt, dass der Termin für ihn völlig unerwartet ist. Er meint jedoch: „Wenn ich am vorletzten Wochentag mittags überlebe, muss ich am letzten Tag mittags hingerichtet werden, aber das wäre nicht unerwartet. So kann der letztmögliche Termin ausgeschlossen werden. Wenn ich noch mittags vor dem vorletzten Datum wohne, könnte die Hinrichtung für das letzte oder vorletzte Datum geplant sein, aber ich habe das letzte bereits ausgeschlossen, sodass es nur das vorletzte gibt; Dies wäre jedoch nicht unerwartet. Und so weiter: Ich lebe immer noch mittags vor dem vorletzten Termin,

Unerwarteter Test
Eine Lehrerin sagt zu ihrer Klasse: „Nächste Woche werden Sie einen völlig überraschenden Test zu diesem Thema schreiben!“ Eines der Kinder hält dies für unmöglich. Sie sagt: „Die Klasse hat dieses Thema montags, donnerstags und freitags. Wenn der Test am Freitag geschrieben wird, ist dies nicht überraschend, aber bereits am Donnerstag nach dem Unterricht vorhersehbar. Findet der Test am Donnerstag statt? Nein, denn ich habe Freitag bereits ausgeschlossen und Montag ist bereits vorbei und kann auch ausgeschlossen werden. Der Test muss also am Montag sein und wäre nicht überraschend. Kann die Lehrerin ihre Ankündigung noch wahr machen?

Wissensparadox
Nach Kaplan und Montague kann das Paradoxon auf das sogenannte „Wissensparadoxon“ (Paradoxon des Wissens) reduziert werden, das aus dem folgenden Satz besteht: „Es ist bekannt, dass dieser Satz falsch ist.“

Analysen
Neben der Lösung des Paradoxons stellt sich die Frage, wo der Fehler in der Logik des Gefangenen liegt, der davon ausgeht, dass er überleben wird.

1. Analyse: Der Fehler des Gefangenen besteht darin, einen Einführungsschritt durchzuführen, nachdem er einen Widerspruch erkannt hat. Grundsätzlich können Sie alles aus etwas Falschem ableiten, einschließlich des Überlebens (nicht zutreffend). Wenn der Gefangene am Sonntagmorgen noch am Leben ist, weiß er, dass eine der beiden Aussagen der Wache („Sie werden spätestens am Sonntag hingerichtet werden“ und „Sie werden es am Vortag nicht wissen“) falsch war. Da er nicht weiß, welche der beiden Aussagen falsch war, kann er keine weiteren Schlussfolgerungen ziehen.

Natürlich kann der Gefangene die Schlussfolgerung ziehen: „Wenn beide Aussagen der Wache wahr sind, werde ich den Sonntag nicht mehr erleben.“

Am Samstagmorgen gibt es folgende Möglichkeiten: „Entweder kommt der Henker heute oder der Wachmann hat gelogen.“ Der Gefangene weiß nicht, welche der beiden Aussagen über das „oder“ wahr ist. Ergo kann der Henker am Samstag „überraschend“ kommen. Und so natürlich besonders am Freitag, Donnerstag, Mittwoch, Dienstag oder Montag.

2. Analyse: Nehmen wir an, der Gefangene lebt am Samstagabend noch: Könnte er mit hundertprozentiger Sicherheit vorhersagen, dass er am Sonntag hingerichtet wird? Das Paradox ergibt sich aus der Beantwortung dieser Frage mit Ja, aber die richtige Antwort ist Nein. Der Gefangene geht davon aus, dass die Aussage, dass er in der nächsten Woche überraschend hingerichtet wird, wahr ist; Wenn er jedoch auch am Samstagabend von einer unerwarteten Hinrichtung ausgeht, kann er nicht damit rechnen, am Sonntag hingerichtet zu werden, da dies seiner eigenen Annahme widersprechen würde. Ergo kann der Gefangene auch am Sonntag überraschend hingerichtet werden, womit seine Argumentation widerlegt würde.

Analoger Fall: Ich werde Ihnen das Buch geben, das Sie angefordert haben, und mein Geschenk wird eine Überraschung sein. Auf den ersten Blick kann nur eines der beiden Versprechen gehalten werden. Wenn die andere Person jedoch davon ausgeht, dass meine Aussage korrekt ist, können sie nicht vorhersagen, dass ich ihnen das entsprechende Buch geben werde, da sich aus Sicht dieser Person die beiden Teilaussagen widersprechen, was eine Vorhersage unmöglich macht. So kann ich der Person das gewünschte Buch als Überraschung geben.

Der logische Fehler, der beide Fälle in Paradoxien verwandelt, ist die Annahme, dass eine klare Vorhersage auf der Grundlage der Fakten getroffen werden kann. Dies gilt nicht aus dem einfachen Grund, dass beide Male die Aussage getroffen wird, dass eine Vorhersage unmöglich ist. Da die Richtigkeit dieser Aussage vorausgesetzt werden muss, kann kein Tag ausgeschlossen werden (basierend auf der Situation des Gefangenen), da ein Ausschluss auch eine klare Vorhersage ist, die der Überraschungsaussage widerspricht und daher nicht akzeptiert werden kann. Mit anderen Worten, die Anweisung Die Ausführung erfolgt überraschend automatisch, sodass die Ausführung an jedem Wochentag erfolgen kann. daher kann auch sonntag nicht ausgeschlossen werden.

3. Analyse: Die logische Argumentation des Gefangenen erfolgt als Rückwärtsinduktion. Das heißt, er beginnt seine Argumentation mit dem Ansatz: „Wenn ich noch am Samstagabend lebe…“ Das Argument kann nicht mehr verwendet werden, wenn er den Samstag nicht mehr erlebt, weil er zuvor hingerichtet wurde. Seine Argumentation impliziert, dass er noch am Leben sein wird, um sicher oder überrascht zu sein. Oder anders ausgedrückt: Aus der Annahme, dass die Hinrichtung nicht bis einschließlich Samstag stattgefunden hat, kann richtig geschlossen werden, dass Sonntag auch nicht das Datum der Hinrichtung ist. Die weiteren Schlussfolgerungen werden dann aus dieser ersten Schlussfolgerung abgeleitet, nämlich dass Samstag, dann Freitag, dann Donnerstag usw. ebenfalls ausgeschlossen werden sollten. Da diese Schlussfolgerungen aufeinander und damit letztendlich auf der ersten beruhen, gelten sie alle nur, wenn die Voraussetzung für die erste Schlussfolgerung erfüllt ist, nämlich dass die Ausführung erst am Samstag stattgefunden hat. Der Gedankengang beweist also nur, dass der Straftäter nicht hingerichtet werden kann, wenn er bis Samstagabend überlebt hat. Ansonsten wiederholen die Schlussfolgerungen einfach ihre Annahme.

Logische Schule
Die Formulierung der Ankündigung des Richters in formale Logik wird durch die vage Bedeutung des Wortes „Überraschung“ erschwert. Ein Formulierungsversuch könnte sein:

Der Gefangene wird nächste Woche gehängt und das Datum (des Hängens) kann in der Nacht zuvor nicht aus der Annahme abgeleitet werden, dass das Hängen während der Woche stattfinden wird (A).

Aufgrund dieser Ankündigung kann der Gefangene schließen, dass das Aufhängen nicht am letzten Tag der Woche stattfinden wird. Um jedoch die nächste Stufe des Arguments zu reproduzieren, die den vorletzten Wochentag eliminiert, muss der Gefangene argumentieren, dass seine Fähigkeit, aus Aussage (A) abzuleiten, dass das Hängen nicht am letzten Tag stattfinden wird, impliziert dass ein Hängen vom vorletzten Tag nicht überraschend wäre. Da die Bedeutung von „überraschend“ auf die Annahme beschränkt ist, dass das Hängen während der Woche stattfinden wird, anstatt nicht aus Aussage (A) abzuleiten, wird das Argument blockiert.

Dies legt nahe, dass eine bessere Formulierung tatsächlich wäre:

Der Gefangene wird nächste Woche gehängt und sein Datum kann in der Nacht vor der Verwendung dieser Aussage als Axiom nicht abgeleitet werden (B).

Fitch hat gezeigt, dass diese Aussage immer noch in formaler Logik ausgedrückt werden kann. Mit einer äquivalenten Form des Paradoxons, die die Länge der Woche auf nur zwei Tage reduziert, bewies er, dass Selbstreferenz zwar nicht unter allen Umständen unzulässig ist, in diesem Fall jedoch, weil die Aussage selbst widersprüchlich ist.

Erkenntnistheoretische Schule
Es wurden verschiedene erkenntnistheoretische Formulierungen vorgeschlagen, die zeigen, dass die stillschweigenden Annahmen des Gefangenen über das, was er in Zukunft wissen wird, zusammen mit mehreren plausiblen Annahmen über das Wissen inkonsistent sind.

Chow (1998) liefert eine detaillierte Analyse einer Version des Paradoxons, in der an einem von zwei Tagen ein Überraschungsaufhängen stattfinden soll. Wenn wir Chows Analyse auf den Fall des unerwarteten Hängens anwenden (der Einfachheit halber verkürzt sich die Woche erneut auf zwei Tage), beginnen wir mit der Beobachtung, dass die Ankündigung des Richters drei Dinge zu bestätigen scheint:

S1: Das Aufhängen erfolgt am Montag oder Dienstag.
S2: Wenn das Aufhängen am Montag stattfindet, weiß der Gefangene am Sonntagabend nicht, dass es am Montag stattfinden wird.
S3: Wenn das Hängen am Dienstag stattfindet, weiß der Gefangene am Montagabend nicht, dass es am Dienstag stattfinden wird.

In einem ersten Schritt begründet der Gefangene, dass ein Szenario, in dem das Erhängen am Dienstag stattfindet, unmöglich ist, weil es zu einem Widerspruch führt: Einerseits könnte der Gefangene nach S3 den am Montagabend hängenden Dienstag nicht vorhersagen; Auf der anderen Seite könnte der Gefangene durch S1 und den Prozess der Ausscheidung den Dienstag vorhersagen, der am Montagabend hängt.

Chows Analyse weist auf einen subtilen Fehler in der Argumentation des Gefangenen hin. Was unmöglich ist, ist kein hängender Dienstag. Was unmöglich ist, ist vielmehr eine Situation, in der das Erhängen am Dienstag stattfindet, obwohl der Gefangene am Montagabend weiß, dass die Behauptungen S1, S2 und S3 des Richters alle wahr sind.

Die Argumentation des Gefangenen, die das Paradoxon hervorruft, kann auf den Weg gebracht werden, da der Gefangene stillschweigend davon ausgeht, dass er am Montagabend (wenn er noch lebt) S1, S2 und S3 als wahr kennt. Diese Annahme scheint aus verschiedenen Gründen nicht gerechtfertigt zu sein. Es kann argumentiert werden, dass die Aussage des Richters, dass etwas wahr ist, niemals ein ausreichender Grund für den Gefangenen sein kann, zu wissen, dass es wahr ist. Selbst wenn der Gefangene weiß, dass etwas im gegenwärtigen Moment wahr ist, können unbekannte psychologische Faktoren dieses Wissen in Zukunft löschen. Schließlich schlägt Chow vor, dass, weil die Aussage, von der der Gefangene „wissen“ soll, dass sie wahr ist, eine Aussage über seine Unfähigkeit ist, bestimmte Dinge zu „wissen“, Grund zu der Annahme besteht, dass das unerwartete Paradoxon einfach eine kompliziertere Version von ist Moores Paradoxon. Eine geeignete Analogie kann erreicht werden, indem die Länge der Woche auf nur einen Tag reduziert wird. Dann lautet das Urteil des Richters: Sie werden morgen gehängt, aber das wissen Sie nicht.

Es wurde vorgeschlagen, dass die logische Beseitigung des Gefangenen jeden Wochentag zu einem gültigen Tag für die Hinrichtung macht.

Kommentar
Dieses Paradoxon ist so beunruhigend, weil es trotz der Tatsache, dass die Schüler zu beweisen scheinen, dass die Behauptung selbst widersprüchlich ist, am Ende wahr ist. Für sie wurden mehrere Resolutionen vorgeschlagen.

Man kann sagen, dass nicht klar ist, was die Schüler erwarten dürfen und wann sie überrascht sein sollen. Wenn die Schüler paranoid sind und jeden Tag glauben, dass sie den Test am nächsten Tag haben werden, ist dies offensichtlich keine Überraschung und das Paradoxon verschwindet. Wenn wir das Paradoxon studieren, bieten wir nicht die Möglichkeit, ihre Entscheidung zu wiederholen. Das heißt, wir glauben, dass die Schüler am Tag der Prüfung nur einmal wählen dürfen. In ihren Überlegungen bieten die Schüler jedoch diese Freiheit an: „Wenn wir sie am Donnerstag nicht haben, werden wir entscheiden, dass es Freitag sein soll, also werden wir am Mittwoch entscheiden, dass es Donnerstag sein soll…“.

Eine andere mögliche Lösung besteht darin, den Standpunkt der Schüler mit dem des Rest der Welt zu vergleichen. Wir können sagen, dass sie „überrascht“ sein werden, wenn sie nicht vernünftig und konsequent beweisen können, dass dies auf diese Weise geschehen wird, indem sie die Behauptungen des Lehrers als Axiome verwenden. In diesem Fall sind die Schüler zum Zeitpunkt der Prüfung wirklich überrascht. Obwohl sie nicht nachweisen konnten, wann der Test stattfinden wird, konnten alle anderen Beobachter dies. Der Widerspruch ist erst aufgetreten, als die Schüler versuchen, ihn zu beweisen.

Dieses Paradoxon ist analog zum Paradoxon des Lügners in dem Sinne, dass seine Axiome Selbstreferenzen sind, das heißt, sie sprechen von seiner eigenen Wahrhaftigkeit. Es unterscheidet sich davon darin, dass es ein neues Element hinzufügt, nämlich dass sie angeben, welche Person sie ausprobieren soll. Das Wort „Überraschung“ ist im Wesentlichen ein Axiom, das besagt, dass Schüler bestimmte Dinge nicht ausprobieren können, während alle anderen dies tun. Dies bedeutet, dass es wirklich kein Paradoxon gibt, da es durchaus möglich ist, dass wir etwas beweisen können, was die Schüler nicht können, da sich die Axiome auf denjenigen beziehen, der den Test durchführt.

Es ist interessant festzustellen, dass Gödels Unvollständigkeitssatz als ein Weg gesehen werden kann, das Paradox des Lügners in formale Mathematik zu übersetzen, da er einen formalen Weg gefunden hat, die Axiome sich selbst referenzieren zu lassen. Für dieses Paradoxon gibt es keine solche Übersetzung, da sich formale Axiome auf diese Weise nicht auf einen bestimmten Beobachter beziehen können.

In der Literatur
Das Paradoxon erscheint im Roman Mr Mee von Andrew Crumey:

Tissot zeigte ein ähnliches Missverständnis meiner Lehre, als ich, verärgert über seine anhaltende Morosität und seine fast permanente Belegung meines Schreibtisches, zu ihm sagte: »Nächste Woche werde ich Ihre Frau hierher bringen, damit Sie mit ihr sprechen können Person und klären Sie Ihre Schwierigkeiten. Ich weiß, dass du sie nicht sehen willst, und deshalb werde ich dir nicht sagen, an welchem ​​Tag sie ankommen wird. aber du kannst sicher sein, dass du sie treffen wirst, bevor die Woche abläuft. ‚

Tissot wusste, dass seine Frau nächsten Freitag nicht dazu gebracht werden würde, ihn zu konfrontieren, denn in diesem Fall konnte er bis Donnerstagabend sicher sein, dass sie kommen musste, und er konnte sich abwesend machen. Aber genauso müsste ich auch Donnerstag meiden, da er sonst gewarnt würde, wenn Mittwoch ohne Szene vergeht. Tissot entließ jeden zweiten Tag auf ähnliche Weise und kam zu dem Schluss, dass seine Frau niemals unerwartet auftauchen konnte, um ihn anzusprechen. aber am Donnerstag öffnete er die Tür, um nicht nur von ihr, sondern auch von ihrer Mutter begrüßt zu werden, die ihn beide fest um die Ohren boxten, während ich mich knapp machte und leise beurteilte, dass ein so armer Logiker alles verdiente, was er bekam.

Das Paradoxon erscheint auch in dem Kinderroman More Sideways Arithmetic From Wayside School von Louis Sachar. In einer der Geschichten plant die Lehrerin, Mrs. Jewls, in der folgenden Woche ein Pop-Quiz, wird die Klasse jedoch nicht im Voraus informieren. Anders als im klassischen Paradoxon veranlassen die Schüler, die die Tage nacheinander eliminieren, Frau Jewls, die Idee aufzugeben.