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Unerwartetes hängendes Paradoxon

Das unerwartete hängende Paradoxon oder Henkerparadoxon ist ein Paradoxon über die Erwartungen einer Person an den Zeitpunkt eines zukünftigen Ereignisses, von dem sie erfährt, dass es zu einem unerwarteten Zeitpunkt eintreten wird. Das Paradoxon wird auf verschiedene Weise auf das Hängen eines Gefangenen oder einen Überraschungsschultest angewendet. Es könnte auf Moores Paradox reduziert werden.

Trotz erheblichen akademischen Interesses besteht kein Konsens über seine genaue Natur und folglich wurde noch keine endgültige korrekte Lösung gefunden. Die logische Analyse legt nahe, dass das Problem in einer widersprüchlichen, sich selbst referenzierenden Aussage im Herzen des Urteils des Richters auftritt. Erkenntnistheoretische Studien des Paradoxons haben gezeigt, dass es unser Wissenskonzept aktiviert. Obwohl es anscheinend einfach ist, haben die zugrunde liegenden Komplexitäten des Paradoxons sogar dazu geführt, dass es als „bedeutendes Problem“ für die Philosophie bezeichnet wird.

Beschreibung des Paradoxons
Das Paradoxon wurde wie folgt beschrieben:

Ein Richter teilt einem verurteilten Gefangenen mit, dass er an einem Wochentag in der folgenden Woche mittags gehängt wird, die Hinrichtung jedoch für den Gefangenen eine Überraschung sein wird. Er wird den Tag des Hängens nicht kennen, bis der Henker an diesem Tag mittags an seine Zellentür klopft.

Nachdem der Gefangene über sein Urteil nachgedacht hat, kommt er zu dem Schluss, dass er dem Hängen entkommen wird. Seine Argumentation besteht aus mehreren Teilen. Er kommt zu dem Schluss, dass das „Hängen der Überraschung“ nicht am Freitag stattfinden kann, als ob er bis Donnerstag nicht gehängt worden wäre. Es bleibt nur noch ein Tag – und es ist keine Überraschung, wenn er am Freitag gehängt wird. Da das Urteil des Richters vorsah, dass das Erhängen eine Überraschung für ihn sein würde, kommt er zu dem Schluss, dass es am Freitag nicht stattfinden kann.

Er begründet dann, dass das Aufhängen der Überraschung auch nicht am Donnerstag stattfinden kann, da der Freitag bereits beseitigt wurde und wenn er bis Mittwochmittag nicht aufgehängt wurde, muss das Aufhängen am Donnerstag erfolgen, sodass das Aufhängen eines Donnerstag ebenfalls keine Überraschung darstellt. Aus ähnlichen Gründen kommt er zu dem Schluss, dass das Aufhängen auch nicht am Mittwoch, Dienstag oder Montag stattfinden kann. Freudig zieht er sich in seine Zelle zurück und ist zuversichtlich, dass das Aufhängen überhaupt nicht stattfinden wird.

In der nächsten Woche klopft der Henker am Mittwochmittag an die Tür des Gefangenen – was ihn trotz alledem völlig überraschte. Alles, was der Richter sagte, wurde wahr.

Andere Versionen des Paradoxons ersetzen das Todesurteil durch eine Überraschungsübung, eine Untersuchung, ein Pop-Quiz, einen A / B-Teststart oder einen Löwen hinter einer Tür.

Klassische Darstellungen
Das Paradoxon wird erstmals in der Juli-Ausgabe 1948 der englischen philosophischen Zeitschrift Mind schriftlich erwähnt. Die Variante dort ist: Ein Militärbefehlshaber hatte in der kommenden Woche einen Totalausfall („Class A Blackout“) angekündigt, und die Betroffenen sollten erst am entsprechenden Tag nach 6:00 Uhr davon erfahren.

Das Paradoxon ist spätestens seit 1943 mündlich verbreitet. Das schwedische Radio hatte Berichten zufolge 1943 oder 1944 eine Luftangriffsübung angekündigt, die in der folgenden Woche stattfinden sollte. Es wurde hinzugefügt, dass niemand vorhersagen konnte, wann es stattfinden würde, selbst am Morgen des Trainingstages. Lennart Ekbom, Professor für Mathematik am Östermalms College in Stockholm, war sich der logischen Schwierigkeiten bewusst geworden.

Michael Scriven, Professor für wissenschaftliche Logik an der University of Indiana, diskutierte das Paradoxon 1951 auch in Mind als „neues und mächtiges Paradoxon“.

In klassischen Darstellungen wird das Paradoxon am Beispiel einer zum Tode verurteilten Person dargestellt. Entschärfte Versionen ersetzen die Hinrichtung des Gefangenen durch einen Überraschungstest, der den Studenten in naher Zukunft angekündigt wird.

Das Paradoxon des Henkers
Ein Gefangener wird verurteilt, innerhalb einer Woche (Montag bis Sonntag) hingerichtet zu werden. Hinrichtungen finden immer mittags statt. Am Tag der Hinrichtung wird ihm nicht gesagt, er solle sich Sorgen machen. Ihm wird auch gesagt, dass der Termin für ihn völlig unerwartet ist. Er meint jedoch: „Wenn ich am vorletzten Wochentag mittags überlebe, muss ich am letzten Tag mittags hingerichtet werden, aber das wäre nicht unerwartet. So kann der letztmögliche Termin ausgeschlossen werden. Wenn ich noch mittags vor dem vorletzten Datum wohne, könnte die Hinrichtung für das letzte oder vorletzte Datum geplant sein, aber ich habe das letzte bereits ausgeschlossen, sodass es nur das vorletzte gibt; Dies wäre jedoch nicht unerwartet. Und so weiter: Ich lebe immer noch mittags vor dem vorletzten Termin,

Unerwarteter Test
Eine Lehrerin sagt zu ihrer Klasse: „Nächste Woche werden Sie einen völlig überraschenden Test zu diesem Thema schreiben!“ Eines der Kinder hält dies für unmöglich. Sie sagt: „Die Klasse hat dieses Thema montags, donnerstags und freitags. Wenn der Test am Freitag geschrieben wird, ist dies nicht überraschend, aber bereits am Donnerstag nach dem Unterricht vorhersehbar. Findet der Test am Donnerstag statt? Nein, denn ich habe Freitag bereits ausgeschlossen und Montag ist bereits vorbei und kann auch ausgeschlossen werden. Der Test muss also am Montag sein und wäre nicht überraschend. Kann die Lehrerin ihre Ankündigung noch wahr machen?

Wissensparadox
Nach Kaplan und Montague kann das Paradoxon auf das sogenannte „Wissensparadoxon“ (Paradoxon des Wissens) reduziert werden, das aus dem folgenden Satz besteht: „Es ist bekannt, dass dieser Satz falsch ist.“

Analysen
Neben der Lösung des Paradoxons stellt sich die Frage, wo der Fehler in der Logik des Gefangenen liegt, der davon ausgeht, dass er überleben wird.

1. Analyse: Der Fehler des Gefangenen besteht darin, einen Einführungsschritt durchzuführen, nachdem er einen Widerspruch erkannt hat. Grundsätzlich können Sie alles aus etwas Falschem ableiten, einschließlich des Überlebens (nicht zutreffend). Wenn der Gefangene am Sonntagmorgen noch am Leben ist, weiß er, dass eine der beiden Aussagen der Wache („Sie werden spätestens am Sonntag hingerichtet werden“ und „Sie werden es am Vortag nicht wissen“) falsch war. Da er nicht weiß, welche der beiden Aussagen falsch war, kann er keine weiteren Schlussfolgerungen ziehen.

Natürlich kann der Gefangene die Schlussfolgerung ziehen: „Wenn beide Aussagen der Wache wahr sind, werde ich den Sonntag nicht mehr erleben.“

Am Samstagmorgen gibt es folgende Möglichkeiten: „Entweder kommt der Henker heute oder der Wachmann hat gelogen.“ Der Gefangene weiß nicht, welche der beiden Aussagen über das „oder“ wahr ist. Ergo kann der Henker am Samstag „überraschend“ kommen. Und so natürlich besonders am Freitag, Donnerstag, Mittwoch, Dienstag oder Montag.

2. Analyse: Nehmen wir an, der Gefangene lebt am Samstagabend noch: Könnte er mit hundertprozentiger Sicherheit vorhersagen, dass er am Sonntag hingerichtet wird? Das Paradox ergibt sich aus der Beantwortung dieser Frage mit Ja, aber die richtige Antwort ist Nein. Der Gefangene geht davon aus, dass die Aussage, dass er in der nächsten Woche überraschend hingerichtet wird, wahr ist; Wenn er jedoch auch am Samstagabend von einer unerwarteten Hinrichtung ausgeht, kann er nicht damit rechnen, am Sonntag hingerichtet zu werden, da dies seiner eigenen Annahme widersprechen würde. Ergo kann der Gefangene auch am Sonntag überraschend hingerichtet werden, womit seine Argumentation widerlegt würde.

Analoger Fall: Ich werde Ihnen das Buch geben, das Sie angefordert haben, und mein Geschenk wird eine Überraschung sein. Auf den ersten Blick kann nur eines der beiden Versprechen gehalten werden. Wenn die andere Person jedoch davon ausgeht, dass meine Aussage korrekt ist, können sie nicht vorhersagen, dass ich ihnen das entsprechende Buch geben werde, da sich aus Sicht dieser Person die beiden Teilaussagen widersprechen, was eine Vorhersage unmöglich macht. So kann ich der Person das gewünschte Buch als Überraschung geben.

Der logische Fehler, der beide Fälle in Paradoxien verwandelt, ist die Annahme, dass eine klare Vorhersage auf der Grundlage der Fakten getroffen werden kann. Dies gilt nicht aus dem einfachen Grund, dass beide Male die Aussage getroffen wird, dass eine Vorhersage unmöglich ist. Da die Richtigkeit dieser Aussage vorausgesetzt werden muss, kann kein Tag ausgeschlossen werden (basierend auf der Situation des Gefangenen), da ein Ausschluss auch eine klare Vorhersage ist, die der Überraschungsaussage widerspricht und daher nicht akzeptiert werden kann. Mit anderen Worten, die Anweisung Die Ausführung erfolgt überraschend automatisch, sodass die Ausführung an jedem Wochentag erfolgen kann. daher kann auch sonntag nicht ausgeschlossen werden.

3. Analyse: Die logische Argumentation des Gefangenen erfolgt als Rückwärtsinduktion. Das heißt, er beginnt seine Argumentation mit dem Ansatz: „Wenn ich noch am Samstagabend lebe…“ Das Argument kann nicht mehr verwendet werden, wenn er den Samstag nicht mehr erlebt, weil er zuvor hingerichtet wurde. Seine Argumentation impliziert, dass er noch am Leben sein wird, um sicher oder überrascht zu sein. Oder anders ausgedrückt: Aus der Annahme, dass die Hinrichtung nicht bis einschließlich Samstag stattgefunden hat, kann richtig geschlossen werden, dass Sonntag auch nicht das Datum der Hinrichtung ist. Die weiteren Schlussfolgerungen werden dann aus dieser ersten Schlussfolgerung abgeleitet, nämlich dass Samstag, dann Freitag, dann Donnerstag usw. ebenfalls ausgeschlossen werden sollten. Da diese Schlussfolgerungen aufeinander und damit letztendlich auf der ersten beruhen, gelten sie alle nur, wenn die Voraussetzung für die erste Schlussfolgerung erfüllt ist, nämlich dass die Ausführung erst am Samstag stattgefunden hat. Der Gedankengang beweist also nur, dass der Straftäter nicht hingerichtet werden kann, wenn er bis Samstagabend überlebt hat. Ansonsten wiederholen die Schlussfolgerungen einfach ihre Annahme.

Logische Schule
Die Formulierung der Ankündigung des Richters in formale Logik wird durch die vage Bedeutung des Wortes „Überraschung“ erschwert. Ein Formulierungsversuch könnte sein:

Der Gefangene wird nächste Woche gehängt und das Datum (des Hängens) kann in der Nacht zuvor nicht aus der Annahme abgeleitet werden, dass das Hängen während der Woche stattfinden wird (A).

Aufgrund dieser Ankündigung kann der Gefangene schließen, dass das Aufhängen nicht am letzten Tag der Woche stattfinden wird. Um jedoch die nächste Stufe des Arguments zu reproduzieren, die den vorletzten Wochentag eliminiert, muss der Gefangene argumentieren, dass seine Fähigkeit, aus Aussage (A) abzuleiten, dass das Hängen nicht am letzten Tag stattfinden wird, impliziert dass ein Hängen vom vorletzten Tag nicht überraschend wäre. Da die Bedeutung von „überraschend“ auf die Annahme beschränkt ist, dass das Hängen während der Woche stattfinden wird, anstatt nicht aus Aussage (A) abzuleiten, wird das Argument blockiert.

Dies legt nahe, dass eine bessere Formulierung tatsächlich wäre:

Der Gefangene wird nächste Woche gehängt und sein Datum kann in der Nacht vor der Verwendung dieser Aussage als Axiom nicht abgeleitet werden (B).

Fitch hat gezeigt, dass diese Aussage immer noch in formaler Logik ausgedrückt werden kann. Mit einer äquivalenten Form des Paradoxons, die die Länge der Woche auf nur zwei Tage reduziert, bewies er, dass Selbstreferenz zwar nicht unter allen Umständen unzulässig ist, in diesem Fall jedoch, weil die Aussage selbst widersprüchlich ist.

Erkenntnistheoretische Schule
Es wurden verschiedene erkenntnistheoretische Formulierungen vorgeschlagen, die zeigen, dass die stillschweigenden Annahmen des Gefangenen über das, was er in Zukunft wissen wird, zusammen mit mehreren plausiblen Annahmen über das Wissen inkonsistent sind.

Chow (1998) liefert eine detaillierte Analyse einer Version des Paradoxons, in der an einem von zwei Tagen ein Überraschungsaufhängen stattfinden soll. Wenn wir Chows Analyse auf den Fall des unerwarteten Hängens anwenden (der Einfachheit halber verkürzt sich die Woche erneut auf zwei Tage), beginnen wir mit der Beobachtung, dass die Ankündigung des Richters drei Dinge zu bestätigen scheint:

S1: Das Aufhängen erfolgt am Montag oder Dienstag.
S2: Wenn das Aufhängen am Montag stattfindet, weiß der Gefangene am Sonntagabend nicht, dass es am Montag stattfinden wird.
S3: Wenn das Hängen am Dienstag stattfindet, weiß der Gefangene am Montagabend nicht, dass es am Dienstag stattfinden wird.

In einem ersten Schritt begründet der Gefangene, dass ein Szenario, in dem das Erhängen am Dienstag stattfindet, unmöglich ist, weil es zu einem Widerspruch führt: Einerseits könnte der Gefangene nach S3 den am Montagabend hängenden Dienstag nicht vorhersagen; Auf der anderen Seite könnte der Gefangene durch S1 und den Prozess der Ausscheidung den Dienstag vorhersagen, der am Montagabend hängt.

Chows Analyse weist auf einen subtilen Fehler in der Argumentation des Gefangenen hin. Was unmöglich ist, ist kein hängender Dienstag. Was unmöglich ist, ist vielmehr eine Situation, in der das Erhängen am Dienstag stattfindet, obwohl der Gefangene am Montagabend weiß, dass die Behauptungen S1, S2 und S3 des Richters alle wahr sind.

Die Argumentation des Gefangenen, die das Paradoxon hervorruft, kann auf den Weg gebracht werden, da der Gefangene stillschweigend davon ausgeht, dass er am Montagabend (wenn er noch lebt) S1, S2 und S3 als wahr kennt. Diese Annahme scheint aus verschiedenen Gründen nicht gerechtfertigt zu sein. Es kann argumentiert werden, dass die Aussage des Richters, dass etwas wahr ist, niemals ein ausreichender Grund für den Gefangenen sein kann, zu wissen, dass es wahr ist. Selbst wenn der Gefangene weiß, dass etwas im gegenwärtigen Moment wahr ist, können unbekannte psychologische Faktoren dieses Wissen in Zukunft löschen. Schließlich schlägt Chow vor, dass, weil die Aussage, von der der Gefangene „wissen“ soll, dass sie wahr ist, eine Aussage über seine Unfähigkeit ist, bestimmte Dinge zu „wissen“, Grund zu der Annahme besteht, dass das unerwartete Paradoxon einfach eine kompliziertere Version von ist Moores Paradoxon. Eine geeignete Analogie kann erreicht werden, indem die Länge der Woche auf nur einen Tag reduziert wird. Dann lautet das Urteil des Richters: Sie werden morgen gehängt, aber das wissen Sie nicht.

Es wurde vorgeschlagen, dass die logische Beseitigung des Gefangenen jeden Wochentag zu einem gültigen Tag für die Hinrichtung macht.

Kommentar
Dieses Paradoxon ist so beunruhigend, weil es trotz der Tatsache, dass die Schüler zu beweisen scheinen, dass die Behauptung selbst widersprüchlich ist, am Ende wahr ist. Für sie wurden mehrere Resolutionen vorgeschlagen.

Man kann sagen, dass nicht klar ist, was die Schüler erwarten dürfen und wann sie überrascht sein sollen. Wenn die Schüler paranoid sind und jeden Tag glauben, dass sie den Test am nächsten Tag haben werden, ist dies offensichtlich keine Überraschung und das Paradoxon verschwindet. Wenn wir das Paradoxon studieren, bieten wir nicht die Möglichkeit, ihre Entscheidung zu wiederholen. Das heißt, wir glauben, dass die Schüler am Tag der Prüfung nur einmal wählen dürfen. In ihren Überlegungen bieten die Schüler jedoch diese Freiheit an: „Wenn wir sie am Donnerstag nicht haben, werden wir entscheiden, dass es Freitag sein soll, also werden wir am Mittwoch entscheiden, dass es Donnerstag sein soll…“.

Eine andere mögliche Lösung besteht darin, den Standpunkt der Schüler mit dem des Rest der Welt zu vergleichen. Wir können sagen, dass sie „überrascht“ sein werden, wenn sie nicht vernünftig und konsequent beweisen können, dass dies auf diese Weise geschehen wird, indem sie die Behauptungen des Lehrers als Axiome verwenden. In diesem Fall sind die Schüler zum Zeitpunkt der Prüfung wirklich überrascht. Obwohl sie nicht nachweisen konnten, wann der Test stattfinden wird, konnten alle anderen Beobachter dies. Der Widerspruch ist erst aufgetreten, als die Schüler versuchen, ihn zu beweisen.

Dieses Paradoxon ist analog zum Paradoxon des Lügners in dem Sinne, dass seine Axiome Selbstreferenzen sind, das heißt, sie sprechen von seiner eigenen Wahrhaftigkeit. Es unterscheidet sich davon darin, dass es ein neues Element hinzufügt, nämlich dass sie angeben, welche Person sie ausprobieren soll. Das Wort „Überraschung“ ist im Wesentlichen ein Axiom, das besagt, dass Schüler bestimmte Dinge nicht ausprobieren können, während alle anderen dies tun. Dies bedeutet, dass es wirklich kein Paradoxon gibt, da es durchaus möglich ist, dass wir etwas beweisen können, was die Schüler nicht können, da sich die Axiome auf denjenigen beziehen, der den Test durchführt.

Es ist interessant festzustellen, dass Gödels Unvollständigkeitssatz als ein Weg gesehen werden kann, das Paradox des Lügners in formale Mathematik zu übersetzen, da er einen formalen Weg gefunden hat, die Axiome sich selbst referenzieren zu lassen. Für dieses Paradoxon gibt es keine solche Übersetzung, da sich formale Axiome auf diese Weise nicht auf einen bestimmten Beobachter beziehen können.

In der Literatur
Das Paradoxon erscheint im Roman Mr Mee von Andrew Crumey:

Tissot zeigte ein ähnliches Missverständnis meiner Lehre, als ich, verärgert über seine anhaltende Morosität und seine fast permanente Belegung meines Schreibtisches, zu ihm sagte: »Nächste Woche werde ich Ihre Frau hierher bringen, damit Sie mit ihr sprechen können Person und klären Sie Ihre Schwierigkeiten. Ich weiß, dass du sie nicht sehen willst, und deshalb werde ich dir nicht sagen, an welchem ​​Tag sie ankommen wird. aber du kannst sicher sein, dass du sie treffen wirst, bevor die Woche abläuft. ‚

Tissot wusste, dass seine Frau nächsten Freitag nicht dazu gebracht werden würde, ihn zu konfrontieren, denn in diesem Fall konnte er bis Donnerstagabend sicher sein, dass sie kommen musste, und er konnte sich abwesend machen. Aber genauso müsste ich auch Donnerstag meiden, da er sonst gewarnt würde, wenn Mittwoch ohne Szene vergeht. Tissot entließ jeden zweiten Tag auf ähnliche Weise und kam zu dem Schluss, dass seine Frau niemals unerwartet auftauchen konnte, um ihn anzusprechen. aber am Donnerstag öffnete er die Tür, um nicht nur von ihr, sondern auch von ihrer Mutter begrüßt zu werden, die ihn beide fest um die Ohren boxten, während ich mich knapp machte und leise beurteilte, dass ein so armer Logiker alles verdiente, was er bekam.

Das Paradoxon erscheint auch in dem Kinderroman More Sideways Arithmetic From Wayside School von Louis Sachar. In einer der Geschichten plant die Lehrerin, Mrs. Jewls, in der folgenden Woche ein Pop-Quiz, wird die Klasse jedoch nicht im Voraus informieren. Anders als im klassischen Paradoxon veranlassen die Schüler, die die Tage nacheinander eliminieren, Frau Jewls, die Idee aufzugeben.

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Ross ‚Paradoxon

Imperative Logik ist das Feld der Logik, das sich mit Argumenten befasst, die Sätze in der imperativen Stimmung enthalten. Im Gegensatz zu Sätzen in deklarativer Stimmung sind Imperative weder wahr noch falsch. Dies führt zu einer Reihe von logischen Dilemmata, Rätseln und Paradoxien. Im Gegensatz zur klassischen Logik gibt es in keinem Aspekt der imperativen Logik einen Konsens.

Jørgensens Dilemma
Eines der Hauptanliegen einer Logik ist die logische Gültigkeit. Es scheint, dass Argumente mit Imperativen gültig sein können. Erwägen:

P1. Nehmen Sie alle Bücher vom Tisch!
P2. Grundlagen der Arithmetik liegen auf dem Tisch.
C1. Nehmen Sie deshalb Foundations of Arithmetic vom Tisch!

Ein Argument ist jedoch gültig, wenn die Schlussfolgerung aus den Prämissen folgt. Dies bedeutet, dass die Prämissen uns Grund geben, an die Schlussfolgerung zu glauben, oder alternativ bestimmt die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Schlussfolgerung. Da Imperative weder wahr noch falsch sind und keine richtigen Glaubensgegenstände sind, gilt keine der Standardkonten der logischen Gültigkeit für Argumente, die Imperative enthalten.

Hier ist das Dilemma. Argumente, die Imperative enthalten, können gültig sein oder nicht. Einerseits benötigen wir, wenn solche Argumente gültig sein können, eine neue oder erweiterte Darstellung der logischen Gültigkeit und der damit verbundenen Details. Die Bereitstellung eines solchen Kontos hat sich als schwierig erwiesen. Wenn andererseits solche Argumente nicht gültig sein können (entweder weil solche Argumente alle ungültig sind oder weil Gültigkeit kein Begriff ist, der für Imperative gilt), dann sind unsere logischen Intuitionen in Bezug auf das obige Argument (und andere ähnliche) falsch. Da jede Antwort problematisch erscheint, wurde dies als Jørgensens Dilemma bekannt, benannt nach Jørgen Jørgensen。

Während dieses Problem erstmals in einer Fußnote von Frege erwähnt wurde, erhielt es von Jørgensen eine weiterentwickelte Formulierung.

Ross ‚Paradoxon
Alf Ross bemerkte, dass es ein potenzielles Problem für jede Darstellung zwingender Folgerungen gibt. Die klassische Logik validiert die folgende Schlussfolgerung:

P1. Das Zimmer ist sauber.
C1. Daher ist der Raum sauber oder das Gras ist grün.

Diese Folgerung wird als Disjunktionseinführung bezeichnet. Eine ähnliche Schlussfolgerung scheint jedoch für Imperative nicht gültig zu sein. Erwägen:

P1. Räume dein Zimmer auf!
C1. Reinigen Sie deshalb Ihr Zimmer oder brennen Sie das Haus nieder!

Ross ‚Paradoxon unterstreicht die Herausforderung, vor der jeder steht, der das Standard-Gültigkeitskonto ändern oder ergänzen möchte. Die Herausforderung ist das, was wir unter einer gültigen imperativen Folgerung verstehen. Für eine gültige deklarative Schlussfolgerung geben Ihnen die Prämissen einen Grund, die Schlussfolgerung zu glauben. Man könnte denken, dass die Prämissen für zwingende Schlussfolgerungen einen Grund geben, das zu tun, was die Schlussfolgerung besagt. Während Ross ‚Paradoxon etwas anderes zu suggerieren scheint, wurde seine Schwere viel diskutiert.

Gemischte Schlussfolgerungen
Das Folgende ist ein Beispiel für eine reine imperative Folgerung:

P1. Führen Sie beide folgenden Schritte aus: Spülen Sie das Geschirr ab und reinigen Sie Ihr Zimmer!
C1. Reinigen Sie deshalb Ihr Zimmer!

In diesem Fall sind alle Sätze, aus denen sich das Argument zusammensetzt, Imperative. Nicht alle zwingenden Schlussfolgerungen sind von dieser Art. Überlegen Sie noch einmal:

P1. Nehmen Sie alle Bücher vom Tisch!
P2. Grundlagen der Arithmetik liegen auf dem Tisch.
C1. Nehmen Sie deshalb Foundations of Arithmetic vom Tisch!

Beachten Sie, dass dieses Argument sowohl aus Imperativen als auch aus Deklarativen besteht und eine zwingende Schlussfolgerung hat.

Gemischte Schlussfolgerungen sind für Logiker von besonderem Interesse. Zum Beispiel vertrat Henri Poincaré die Auffassung, dass aus einer Reihe von Prämissen, die nicht mindestens einen Imperativ enthalten, keine zwingende Schlussfolgerung gezogen werden kann. Während R.M. Hare vertrat die Auffassung, dass aus einer Reihe von Prämissen keine aussagekräftige Schlussfolgerung gezogen werden kann, die allein aus den deklarativen Aussagen unter ihnen nicht gültig gezogen werden kann. Unter den Logikern besteht kein Konsens über die Wahrheit oder Falschheit dieser (oder ähnlicher) Behauptungen, und die gemischte imperative und deklarative Folgerung bleibt verärgert.

Anwendungen
Abgesehen von dem eigentlichen Interesse hat die imperative Logik andere Anwendungen. Die Verwendung von Imperativen in der Moraltheorie sollte imperative Inferenz zu einem wichtigen Thema für Ethik und Metaethik machen. Außerdem sind viele wichtige Computerprogrammiersprachen zwingende Programmiersprachen.

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Lotterie-Paradoxon

Das Lotterie-Paradoxon von Henry E. Kyburg Jr. ergibt sich aus der Betrachtung einer fairen 1000-Ticket-Lotterie mit genau einem Gewinnschein. Wenn so viel über die Durchführung der Lotterie bekannt ist, ist es daher vernünftig zu akzeptieren, dass ein Ticket gewinnt. Angenommen, ein Ereignis ist nur dann sehr wahrscheinlich, wenn die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens größer als 0,99 ist. Aus diesen Gründen wird es als vernünftig angesehen, den Vorschlag zu akzeptieren, dass Ticket 1 der Lotterie nicht gewinnt. Da die Lotterie fair ist, ist es vernünftig zu akzeptieren, dass Ticket 2 auch nicht gewinnt – tatsächlich ist es vernünftig, für jedes einzelne Ticket i der Lotterie zu akzeptieren, dass Ticket i nicht gewinnt. Das Akzeptieren dieses Tickets 1 wird jedoch nicht gewinnen, das Akzeptieren dieses Tickets 2 wird nicht gewinnen, und so weiter, bis das Akzeptieren dieses Tickets 1000 nicht gewinnt, bedeutet es, dass es rational ist zu akzeptieren, dass kein Ticket gewinnt, was bedeutet, dass es rational ist zu akzeptieren die widersprüchliche These, dass ein Ticket gewinnt und kein Ticket gewinnt.

Das Lotterie-Paradoxon sollte zeigen, dass drei attraktive Prinzipien, die die rationale Akzeptanz regeln, zu Widersprüchen führen, nämlich das

Es ist vernünftig, einen Satz zu akzeptieren, der sehr wahrscheinlich wahr ist.
Es ist irrational, einen Satz zu akzeptieren, von dem bekannt ist, dass er inkonsistent und gemeinsam inkonsistent ist
Wenn es rational ist, einen Satz A zu akzeptieren, und es rational ist, einen anderen Satz A ‚zu akzeptieren, dann ist es rational, A und A‘ zu akzeptieren.

Das Paradoxon bleibt von anhaltendem Interesse, da es verschiedene Fragen auf den Grundlagen der Wissensrepräsentation und des unsicheren Denkens aufwirft: die Beziehungen zwischen Fehlbarkeit, zutreffendem Glauben und logischer Konsequenz; die Rollen, die Konsistenz, statistische Evidenz und Wahrscheinlichkeit bei der Glaubensfixierung spielen; die genaue normative Kraft, die logische und probabilistische Konsistenz auf den rationalen Glauben haben.

Geschichte
Obwohl die erste veröffentlichte Erklärung des Lotterieparadoxons in Kyburgs Wahrscheinlichkeit von 1961 und der Logik des rationalen Glaubens erscheint, erscheint die erste Formulierung des Paradoxons in seiner „Wahrscheinlichkeit und Zufälligkeit“, einem Papier, das 1959 auf der Tagung der Association for Symbolic Logic gehalten wurde. und der Internationale Kongress für Geschichte und Philosophie der Wissenschaft von 1960, der 1963 in der Zeitschrift Theoria veröffentlicht wurde. Dieses Papier wurde in Kyburg (1987) nachgedruckt.

Smullyans Variation
Raymond Smullyan präsentiert die folgende Variation des Lotterie-Paradoxons: Eine ist entweder inkonsistent oder eingebildet. Da das menschliche Gehirn endlich ist, gibt es eine endliche Anzahl von Sätzen p1… pn, an die man glaubt. Aber wenn Sie nicht eingebildet sind, wissen Sie, dass Sie manchmal Fehler machen und dass nicht alles, was Sie glauben, wahr ist. Wenn Sie also nicht eingebildet sind, wissen Sie, dass zumindest einige der pi falsch sind. Dennoch glaubst du jedem der Pi individuell. Dies ist eine Inkonsistenz (Smullyan 1978, S. 206).

Kurzer Leitfaden zur Literatur
Das Lotterie-Paradoxon ist zu einem zentralen Thema in der Erkenntnistheorie geworden, und die enorme Literatur, die dieses Rätsel umgibt, droht, seinen ursprünglichen Zweck zu verschleiern. Kyburg schlug das Gedankenexperiment vor, um ein Merkmal seiner innovativen Ideen zur Wahrscheinlichkeit zu vermitteln (Kyburg 1961, Kyburg und Teng 2001), die darauf beruhen, die ersten beiden oben genannten Prinzipien ernst zu nehmen und die letzten abzulehnen. Für Kyburg ist das Lotterie-Paradoxon nicht wirklich ein Paradoxon: Seine Lösung besteht darin, die Aggregation einzuschränken.

Trotzdem sind für orthodoxe Probabilisten das zweite und dritte Prinzip primär, so dass das erste Prinzip abgelehnt wird. Auch hier wird man Behauptungen sehen, dass es wirklich kein Paradoxon gibt, sondern einen Fehler: Die Lösung besteht darin, das erste Prinzip und damit die Idee der rationalen Akzeptanz abzulehnen. Für jeden mit Grundkenntnissen der Wahrscheinlichkeit sollte das erste Prinzip abgelehnt werden: Für ein sehr wahrscheinliches Ereignis ist der rationale Glaube an dieses Ereignis nur, dass es sehr wahrscheinlich ist, nicht dass es wahr ist.

Der größte Teil der erkenntnistheoretischen Literatur nähert sich dem Rätsel aus orthodoxer Sicht und setzt sich mit den besonderen Konsequenzen auseinander, weshalb die Lotterie mit Diskussionen über Skepsis (z. B. Klein 1981) und Bedingungen für die Geltendmachung von Wissensansprüchen verbunden ist (zB JP Hawthorne 2004). Es ist üblich, auch Lösungsvorschläge für das Rätsel zu finden, die bestimmte Merkmale des Lotterie-Gedankenexperiments aktivieren (z. B. Pollock 1986), das dann zum Vergleich der Lotterie mit anderen epistemischen Paradoxien wie David Makinsons Vorwort-Paradoxon und zu „ Lotterien “mit einer anderen Struktur. Diese Strategie wird in (Kyburg 1997) und auch in (Wheeler 2007) angesprochen. Eine umfangreiche Bibliographie ist in (Wheeler 2007) enthalten.

Philosophische Logiker und KI-Forscher waren tendenziell daran interessiert, geschwächte Versionen der drei Prinzipien in Einklang zu bringen, und es gibt viele Möglichkeiten, dies zu tun, einschließlich der Glaubenslogik von Jim Hawthorne und Luc Bovens (1999), Gregory Wheelers (2006) Verwendung von 1- monotone Kapazitäten, Bryson Browns (1999) Anwendung konservatorischer parakonsistenter Logik, Igor Douven und Timothy Williamsons (2006) Appell an kumulative nicht-monotone Logik, Horacio Arlo-Costas (2007) Verwendung minimaler (klassischer) Modallogiken und Joe Halperns (2003) Verwendung der Wahrscheinlichkeit erster Ordnung.

Schließlich neigen Wissenschaftsphilosophen, Entscheidungswissenschaftler und Statistiker dazu, das Lotterieparadoxon als ein frühes Beispiel für die Komplikationen zu betrachten, denen man bei der Konstruktion prinzipieller Methoden zur Aggregation unsicherer Informationen gegenübersteht, die heute eine eigene Disziplin sind. Information Fusion, zusätzlich zu kontinuierlichen Beiträgen zu allgemeinen Fachzeitschriften.

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Paradox der Folge

Als bekanntestes und formal einfachstes Paradoxon ist das Paradox der Entailment die beste Einführung.

In der natürlichen Sprache entsteht ein Beispiel für das Paradox der Folge:

Es regnet

Und

Es regnet nicht

Deshalb

George Washington besteht aus Rechen.

Dies ergibt sich aus dem Explosionsprinzip, einem Gesetz der klassischen Logik, das besagt, dass inkonsistente Prämissen ein Argument immer gültig machen; Das heißt, inkonsistente Prämissen implizieren überhaupt eine Schlussfolgerung. Dies erscheint paradox, da das oben Gesagte zwar ein logisch gültiges Argument ist, aber nicht stichhaltig (nicht alle Prämissen sind wahr).

Konstruktion
Die Gültigkeit wird in der klassischen Logik wie folgt definiert:

Ein Argument (bestehend aus Prämissen und einer Schlussfolgerung) ist nur dann gültig, wenn es keine mögliche Situation gibt, in der alle Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch sind.
Beispielsweise könnte ein gültiges Argument ausgeführt werden:

Wenn es regnet, ist Wasser vorhanden (1. Prämisse)
Es regnet (2. Prämisse)
Wasser existiert (Schlussfolgerung)

In diesem Beispiel gibt es keine mögliche Situation, in der die Prämissen wahr sind, während die Schlussfolgerung falsch ist. Da es kein Gegenbeispiel gibt, ist das Argument gültig.

Man könnte aber ein Argument konstruieren, bei dem die Prämissen inkonsistent sind. Dies würde den Test für ein gültiges Argument erfüllen, da es keine mögliche Situation geben würde, in der alle Prämissen wahr sind, und daher keine mögliche Situation, in der alle Prämissen wahr sind und die Schlussfolgerung falsch ist.

Beispielsweise könnte ein Argument mit inkonsistenten Prämissen ausgeführt werden:

Es regnet definitiv (1. Prämisse; wahr)
Es regnet nicht (2. Prämisse; falsch)
George Washington besteht aus Rechen (Fazit)

Da es keine mögliche Situation gibt, in der beide Prämissen wahr sein könnten, gibt es sicherlich keine mögliche Situation, in der die Prämissen wahr sein könnten, während die Schlussfolgerung falsch war. Das Argument ist also gültig, unabhängig von der Schlussfolgerung. inkonsistente Prämissen implizieren alle Schlussfolgerungen.

Erläuterung
Die Seltsamkeit des Paradoxons der Folge ergibt sich aus der Tatsache, dass die Definition der Gültigkeit in der klassischen Logik nicht immer mit der Verwendung des Begriffs in der gewöhnlichen Sprache übereinstimmt. Im täglichen Gebrauch deutet die Gültigkeit darauf hin, dass die Räumlichkeiten konsistent sind. In der klassischen Logik wird der zusätzliche Begriff der Solidität eingeführt. Ein solides Argument ist ein gültiges Argument mit allen wahren Prämissen. Daher kann ein gültiges Argument mit einem inkonsistenten Satz von Prämissen niemals stichhaltig sein. Eine vorgeschlagene Verbesserung des Begriffs der logischen Gültigkeit, um dieses Paradoxon zu beseitigen, ist relevante Logik.

Vereinfachung
Die klassischen paradoxen Formeln sind eng mit der Formel verbunden,

p ∧ q → p
das Prinzip der Vereinfachung, das sich ziemlich leicht aus den paradoxen Formeln ableiten lässt (z. B. aus (1) durch Einfuhr). Darüber hinaus gibt es ernsthafte Probleme beim Versuch, materielle Implikationen als Repräsentanten des englischen „wenn… dann…“ zu verwenden. Die folgenden Schlussfolgerungen sind beispielsweise gültig:

(p → q) ∧ (r → s) ⊢ (p → s) ∨ (r → q)
(p ∧ q) → r ⊢ (p → r) ∨ (q → r)}
Wenn Sie diese jedoch mit „if“ auf englische Sätze zurückführen, erhalten Sie Paradoxe. Das erste könnte lauten: „Wenn John in London ist, ist er in England, und wenn er in Paris ist, ist er in Frankreich. Daher ist es entweder wahr, dass (a) wenn John in London ist, dann ist er in Frankreich, oder (b) wenn er in Paris ist, dann ist er in England. “ Wenn John wirklich in London ist, dann ist materielle Implikation (da er nicht in Paris ist) (b) wahr; Wenn er in Paris ist, dann ist (a) wahr. Da er nicht an beiden Orten sein kann, ist die Schlussfolgerung gültig, dass mindestens einer von (a) oder (b) wahr ist.

Dies stimmt jedoch nicht mit der Verwendung von „wenn… dann…“ in natürlicher Sprache überein: Das wahrscheinlichste Szenario, in dem man sagen würde, „wenn John in London ist, ist er in England“, ist, wenn man nicht weiß, wo John ist, aber Trotzdem weiß er, dass er in England ist, wenn er in London ist. Nach dieser Interpretation sind beide Prämissen wahr, aber beide Klauseln der Schlussfolgerung sind falsch.

Das zweite Beispiel lautet: „Wenn sowohl Schalter A als auch Schalter B geschlossen sind, leuchtet das Licht. Daher ist es entweder richtig, dass bei geschlossenem Schalter A das Licht an ist oder dass bei geschlossenem Schalter B das Licht an ist. “ Hier wäre die wahrscheinlichste Interpretation der Aussagen „wenn… dann…“ in natürlicher Sprache „wann immer Schalter A geschlossen ist, ist das Licht an“ und „wann immer Schalter B geschlossen ist, ist das Licht an“. Wiederum können unter dieser Interpretation beide Klauseln der Schlussfolgerung falsch sein (zum Beispiel in einer Reihenschaltung mit einem Licht, das nur aufleuchtet, wenn beide Schalter geschlossen sind).

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Trinkerparadoxon

Das Trinkerparadoxon (auch als Trinker-Theorem, Trinker-Prinzip oder Trinkprinzip bekannt) ist ein Theorem der klassischen Prädikatenlogik, das wie folgt ausgedrückt werden kann: „Es gibt jemanden in der Kneipe, so dass, wenn er trinkt, jeder in der Kneipe ist Die Kneipe trinkt. “ Es wurde von dem mathematischen Logiker Raymond Smullyan populär gemacht, der es in seinem 1978 erschienenen Buch „Wie heißt dieses Buch?“ Das „Trinkprinzip“ nannte.

Die scheinbar paradoxe Natur der Aussage ergibt sich aus der Art und Weise, wie sie normalerweise in natürlicher Sprache ausgedrückt wird. Es scheint nicht intuitiv zu sein, dass es eine Person geben könnte, die die anderen zum Trinken bringt, oder dass es eine Person geben könnte, die die ganze Nacht über immer die letzte Person war, die trank. Der erste Einwand ergibt sich aus der Verwechslung formaler „Wenn-Dann“ -Aussagen mit der Kausalität (siehe Korrelation impliziert keine Kausalität oder Relevanzlogik für Logiken, die im Gegensatz zur hier angenommenen klassischen Logik relevante Beziehungen zwischen Prämisse und Konsequenz erfordern). Die formale Aussage des Satzes ist zeitlos, wodurch der zweite Einwand beseitigt wird, da die Person, für die die Aussage zu einem bestimmten Zeitpunkt gilt, nicht unbedingt dieselbe Person ist, für die sie zu einem anderen Zeitpunkt gilt.

Die formale Aussage des Satzes lautet

∃ X ∈ P. [D (x) → ∀ y ∈ P. D (y)]
Dabei ist D ein beliebiges Prädikat und P eine beliebige nicht leere Menge.

Beweise
Der Beweis beginnt damit, dass erkannt wird, dass entweder jeder in der Kneipe trinkt oder mindestens eine Person in der Kneipe nicht trinkt. Folglich sind zwei Fälle zu berücksichtigen:

Angenommen, jeder trinkt. Für eine bestimmte Person kann es nicht falsch sein zu sagen, dass, wenn diese bestimmte Person trinkt, jeder in der Kneipe trinkt – weil jeder trinkt. Weil jeder trinkt, muss diese eine Person trinken, denn wenn diese Person alle trinkt, schließt jeder diese Person ein.
Ansonsten trinkt mindestens eine Person nicht. Für jede nicht trinkende Person ist die Aussage, wenn diese bestimmte Person trinkt, dass jeder in der Kneipe trinkt, formal wahr: Ihre Vorgeschichte („diese bestimmte Person trinkt“) ist falsch, daher ist die Aussage aufgrund der Art des Materials wahr Implikation in der formalen Logik, die besagt, dass „Wenn P, dann Q“ immer wahr ist, wenn P falsch ist. (Diese Art von Aussagen gelten als vakant wahr.)
Eine etwas formellere Art, das Obige auszudrücken, ist zu sagen, dass, wenn jeder trinkt, jeder der Zeuge für die Gültigkeit des Satzes sein kann. Und wenn jemand nicht trinkt, kann diese bestimmte nicht trinkende Person der Zeuge der Gültigkeit des Theorems sein.

Erklärung der Paradoxizität
Das Paradoxon basiert letztendlich auf dem Prinzip der formalen Logik, dass die Aussage A → B immer dann wahr ist, wenn A falsch ist, dh jede Aussage folgt aus einer falschen Aussage (ex falso quodlibet).

Was für das Paradox wichtig ist, ist, dass die Bedingung in der klassischen (und intuitionistischen) Logik die materielle Bedingung ist. Es hat die Eigenschaft, dass A → B wahr ist, wenn B wahr ist oder wenn A falsch ist (in der klassischen Logik, aber nicht in der intuitionistischen Logik, ist dies auch eine notwendige Bedingung).

So wie es hier angewendet wurde, wurde die Aussage „Wenn er trinkt, trinkt jeder“ in einem Fall als richtig angesehen, wenn jeder trank, und im anderen Fall, wenn er nicht trank – auch wenn er vielleicht trinkt Ich habe nichts mit dem Trinken anderer zu tun.

Andererseits wird in der natürlichen Sprache typischerweise „wenn… dann…“ als indikative Bedingung verwendet.

Geschichte und Variationen
Smullyan schreibt in seinem 1978 erschienenen Buch seinen Doktoranden die Benennung von „The Drinking Principle“ zu. Er diskutiert auch Varianten (erhalten durch Ersetzen von D durch andere, dramatischere Prädikate):

„Es gibt eine Frau auf der Erde, bei der die gesamte Menschheit aussterben wird, wenn sie steril wird.“ Smullyan schreibt, dass diese Formulierung aus einem Gespräch mit dem Philosophen John Bacon hervorgegangen ist.
Eine „duale“ Version des Prinzips: „Es gibt mindestens eine Person, die es tut, wenn jemand trinkt.“

Als „Smullyans“ Trinkerprinzip „oder einfach als“ Trinkerprinzip „erscheint es in HP Barendregts“ Das Streben nach Korrektheit „(1996), begleitet von einigen maschinellen Beweisen. Seitdem ist es regelmäßig als Beispiel in Veröffentlichungen über automatisiertes Denken aufgetaucht. es wird manchmal verwendet, um die Ausdruckskraft von Beweisassistenten gegenüberzustellen

Nicht leere Domain
In der Einstellung mit zulässigen leeren Domänen muss das Trinkerparadox wie folgt formuliert werden:

Eine Menge P erfüllt

∃ X ∈ P. [D (x) → ∀ y ∈ P. D (y)],
genau dann, wenn es nicht leer ist.

Oder in Worten:

Wenn und nur wenn jemand in der Kneipe ist, ist jemand in der Kneipe, so dass, wenn er trinkt, jeder in der Kneipe trinkt.

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Logik Paradoxe

Catch-22-Logik-Paradoxon

Ein Catch-22 ist eine paradoxe Situation, aus der ein Individuum aufgrund widersprüchlicher Regeln oder Einschränkungen nicht entkommen kann. Der Begriff wurde von Joseph Heller geprägt, der ihn 1961 in seinem Roman Catch-22 verwendete.

Ein Beispiel ist:

Ich brauche Erfahrung, um einen Job zu bekommen … „Wie kann ich Erfahrungen sammeln, bis ich einen Job bekomme, der mir Erfahrung gibt?“ – Brantley Foster im Geheimnis meines Erfolgs.

Catch-22s resultieren oft aus Regeln, Vorschriften oder Verfahren, denen eine Person unterliegt, über die sie jedoch keine Kontrolle hat, denn gegen die Regel zu kämpfen bedeutet, sie zu akzeptieren. Ein anderes Beispiel ist eine Situation, in der jemand etwas braucht, das nur zu haben ist, wenn er es nicht braucht (z. B. besteht die einzige Möglichkeit, sich für einen Kredit zu qualifizieren, darin, der Bank zu beweisen, dass Sie keinen Kredit benötigen ). Eine Konnotation des Begriffs ist, dass die Urheber der „Catch-22“ -Situation willkürliche Regeln geschaffen haben, um ihren eigenen Machtmissbrauch zu rechtfertigen und zu verbergen.

Herkunft und Bedeutung
Joseph Heller prägte den Begriff in seinem Roman Catch-22 von 1961, der absurde bürokratische Zwänge für Soldaten im Zweiten Weltkrieg beschreibt. Der Begriff wird von dem Charakter Doc Daneeka eingeführt, einem Armeepsychiater, der sich auf „Catch-22“ beruft, um zu erklären, warum jeder Pilot, der eine mentale Bewertung wegen Wahnsinns anfordert – in der Hoffnung, nicht gesund genug zu sein, um zu fliegen und dadurch gefährlichen Missionen zu entkommen – seine eigene Gesundheit demonstriert beim Erstellen der Anfrage und kann daher nicht für verrückt erklärt werden. Dieser Satz bedeutet auch ein Dilemma oder einen schwierigen Umstand, aus dem es aufgrund von widersprüchlichen oder abhängigen Bedingungen kein Entrinnen gibt.

„Du meinst, es gibt einen Haken?“

„Sicher gibt es einen Haken“, antwortete Doc Daneeka. „Fang-22. Wer aus dem Kampfdienst aussteigen will, ist nicht wirklich verrückt. “

Es gab nur einen Haken, und das war Catch-22, der besagte, dass die Sorge um die eigene Sicherheit angesichts realer und unmittelbarer Gefahren der Prozess eines rationalen Geistes war. Orr war verrückt und konnte geerdet werden. Alles was er tun musste war zu fragen; und sobald er es tat, würde er nicht länger verrückt sein und mehr Missionen fliegen müssen. Orr wäre verrückt, mehr Missionen zu fliegen und gesund zu sein, wenn er es nicht täte, aber wenn er gesund wäre, müsste er sie fliegen. Wenn er sie flog, war er verrückt und musste nicht; aber wenn er nicht wollte, war er gesund und musste. Yossarian war sehr bewegt von der absoluten Einfachheit dieser Klausel von Catch-22 und stieß einen respektvollen Pfiff aus.

Im gesamten Roman erscheinen verschiedene Formulierungen von „Catch-22“. Der Begriff wird auf verschiedene Schlupflöcher und Macken des militärischen Systems angewendet, immer mit der Implikation, dass Regeln für diejenigen, die in der Hierarchie niedriger sind, nicht zugänglich sind und sich gegen diese richten. In Kapitel 6 wird Yossarian (dem Protagonisten) gesagt, dass Catch-22 von ihm verlangt, alles zu tun, was sein befehlshabender Offizier von ihm verlangt, unabhängig davon, ob diese Befehle den Anweisungen der Vorgesetzten des Offiziers widersprechen.

In einer letzten Episode wird Catch-22 Yossarian von einer alten Frau beschrieben, die von einem Gewaltakt von Soldaten erzählt:

„Catch-22 sagt, dass sie das Recht haben, alles zu tun, was wir sie nicht aufhalten können.“

„Was zum Teufel redest du?“ Yossarian schrie sie verwirrt und wütend an. „Woher wusstest du, dass es Catch-22 ist? Wer zum Teufel hat dir gesagt, dass es Catch-22 ist? “

„Die Soldaten mit den harten weißen Hüten und Knüppeln. Die Mädchen weinten. „Haben wir etwas falsch gemacht?“ Sie sagten. Die Männer sagten nein und stießen sie mit den Enden ihrer Keulen aus der Tür. „Warum jagst du uns dann raus?“ sagten die Mädchen. »Fang 22«, sagten die Männer. Alles, was sie immer wieder sagten, war „Catch-22, Catch-22″. Was bedeutet das, Catch-22? Was ist Catch-22? “

„Haben sie es dir nicht gezeigt?“ Forderte Yossarian und stampfte vor Wut und Bedrängnis herum. „Hast du sie nicht einmal dazu gebracht, es zu lesen?“

„Sie müssen uns Catch-22 nicht zeigen“, antwortete die alte Frau. „Das Gesetz sagt, dass sie nicht müssen.“

„Welches Gesetz sagt, dass sie nicht müssen?“

„Catch-22.“

Laut Literaturprofessor Ian Gregson definiert die Erzählung der alten Frau „Catch-22“ direkter als die „brutale Machtoperation“, wodurch die „falsche Raffinesse“ der früheren Szenarien beseitigt wird.

Andere Auftritte im Roman

Catch-22 bezieht sich nicht nur auf ein unlösbares logisches Dilemma, sondern wird auch herangezogen, um die Militärbürokratie zu erklären oder zu rechtfertigen. Zum Beispiel muss Yossarian im ersten Kapitel seinen Namen in Buchstaben unterschreiben, die er zensiert, während er in einem Krankenhausbett liegt. Eine in Kapitel 10 erwähnte Klausel schließt eine Lücke bei Werbeaktionen, die ein Privatmann ausgenutzt hatte, um nach jeder Beförderung den attraktiven Rang der Private First Class wiederzuerlangen. Durch Kriegsgerichte wegen AWOL würde er im Rang wieder privat werden, aber Catch-22 begrenzte die Häufigkeit, mit der er dies tun konnte, bevor er zur Palisade geschickt wurde.

An einem anderen Punkt im Buch erklärt eine Prostituierte Yossarian, dass sie ihn nicht heiraten kann, weil er verrückt ist, und sie wird niemals einen verrückten Mann heiraten. Sie hält jeden Mann für verrückt, der eine Frau heiraten würde, die keine Jungfrau ist. Diese geschlossene Logikschleife illustrierte Catch-22 klar, weil nach ihrer Logik alle Männer, die sich weigern, sie zu heiraten, gesund sind und sie daher eine Ehe in Betracht ziehen würde; Aber sobald ein Mann sich bereit erklärt, sie zu heiraten, wird er verrückt danach, eine Nicht-Jungfrau heiraten zu wollen, und wird sofort abgelehnt.

Irgendwann versucht Captain Black, Milo dazu zu bringen, Major Major das Essen zu entziehen, weil er keinen Treueid unterschrieben hat, dem Major Major überhaupt keine Gelegenheit gegeben wurde, zu unterschreiben. Captain Black fragt Milo: „Sie sind nicht gegen Catch-22, oder?“

In Kapitel 40 zwingt Catch-22 die Obersten Korn und Cathcart, Yossarian zum Major zu befördern und ihn zu erden, anstatt ihn einfach nach Hause zu schicken. Sie befürchten, dass andere sich weigern werden zu fliegen, wenn sie dies nicht tun, so wie es Yossarian getan hat.

Bedeutung der Nummer 22
Heller wollte ursprünglich die Phrase (und damit das Buch) bei anderen Nummern nennen, aber er und seine Verleger entschieden sich schließlich für 22. Die Nummer hat keine besondere Bedeutung; es wurde mehr oder weniger für die Euphonie gewählt. Der Titel war ursprünglich Catch-18, aber Heller änderte ihn, nachdem die beliebte Mila 18 kurze Zeit zuvor veröffentlicht worden war.

Verwendung
Der Begriff „catch-22“ wurde in der englischen Sprache allgemein verwendet. In einem Interview von 1975 sagte Heller, der Begriff würde sich nicht gut in andere Sprachen übersetzen lassen.

James E. Combs und Dan D. Nimmo schlagen vor, dass die Idee eines „Catch-22“ an Popularität gewonnen hat, weil so viele Menschen in der modernen Gesellschaft einer frustrierenden bürokratischen Logik ausgesetzt sind. Sie schreiben:

Jeder, der sich mit Organisationen befasst, versteht die bürokratische Logik von Catch-22. In der High School oder im College können Schüler beispielsweise an der Schülerregierung teilnehmen, einer Form der Selbstverwaltung und Demokratie, die es ihnen ermöglicht, zu entscheiden, was sie wollen, solange der Schulleiter oder Dekan der Schüler zustimmt. Diese Scheindemokratie, die durch willkürliches Fiat außer Kraft gesetzt werden kann, ist vielleicht die erste Begegnung eines Bürgers mit Organisationen, die sich zu „offenen“ und libertären Werten bekennen, aber tatsächlich geschlossene und hierarchische Systeme sind. Catch-22 ist eine organisatorische Annahme, ein ungeschriebenes Gesetz informeller Macht, das die Organisation von Verantwortung und Rechenschaftspflicht befreit und den Einzelnen in die absurde Lage versetzt, für die Zweckmäßigkeit oder unbekannte Zwecke der Organisation ausgenommen zu werden.

Zusammen mit George Orwells „Doppeldenken“ ist „Catch-22“ zu einer der bekanntesten Methoden geworden, um die Zwangslage zu beschreiben, in der sich widersprüchliche Regeln befinden.

Eine bedeutende Art der Definition von Alternativmedizin wurde als Catch-22 bezeichnet. In einem 1998 von Marcia Angell, einer ehemaligen Herausgeberin des New England Journal of Medicine, mitverfassten Leitartikel wurde Folgendes argumentiert:

„Es ist an der Zeit, dass die Wissenschaft aufhört, alternative Medizin kostenlos zu nutzen. Es kann nicht zwei Arten von Medizin geben – konventionelle und alternative. Es gibt nur Medikamente, die ausreichend getestet wurden, und Medikamente, die nicht getestet wurden, Medikamente, die wirken und Medikamente, die möglicherweise wirken oder nicht. Sobald eine Behandlung rigoros getestet wurde, spielt es keine Rolle mehr, ob sie von Anfang an als Alternative angesehen wurde. Wenn sich herausstellt, dass es einigermaßen sicher und wirksam ist, wird es akzeptiert. Behauptungen, Spekulationen und Zeugnisse ersetzen jedoch keine Beweise. Alternative Behandlungen sollten wissenschaftlichen Tests unterzogen werden, die nicht weniger streng sind als die für herkömmliche Behandlungen erforderlichen. “

Diese Definition wurde von Robert L. Park als logischer Haken 22 beschrieben, der sicherstellt, dass jede Methode der Komplementär- und Alternativmedizin (CAM), die nachweislich funktioniert, „keine CAM mehr ist, sondern einfach Medizin“.

Verwendung in der wissenschaftlichen Forschung
In der Forschung spiegelt Catch-22 die Frustration des Wissenschaftlers über bekannte Unbekannte wider, wofür das Quantencomputing ein Paradebeispiel ist: Wenn zwei Elektronen so verwickelt sind, dass eine Messung das erste Elektron an einer Position um den Kreis identifiziert, muss das andere direkt eine Position einnehmen über den Kreis von ihm (eine Beziehung, die gilt, wenn sie nebeneinander sind und wenn sie Lichtjahre voneinander entfernt sind). Der Haken beim Quantencomputing ist, dass Quantenmerkmale nur funktionieren, wenn sie nicht beobachtet werden. Wenn Sie also einen Quantencomputer beobachten, um zu überprüfen, ob er das Quantenverhalten ausnutzt, wird das zu überprüfende Quantenverhalten zerstört. Das Heisenbergsche Unsicherheitsprinzip hindert uns daran, die Position und den Impuls eines Teilchens gleichzeitig zu kennen. Wenn Sie eine Eigenschaft messen, zerstören Sie Informationen über die andere.

Allgemeine Datenschutzverordnung der EG: Die umfassende Datenschutzverordnung der EU schränkt die Entwicklung künstlicher Intelligenz ein, die stark von (Big) Data abhängt. Abgesehen von den Einschränkungen bei der Erfassung von Benutzerdaten stellt GDPR sicher, dass die Verwendung für die automatisierte Entscheidungsfindung – eine Standard-KI-Anwendung – auch dann eingeschränkt ist, wenn ein Unternehmen personenbezogene Daten erfasst. Artikel 22 schreibt vor, dass ein Benutzer die automatisierte Verarbeitung deaktivieren kann. In diesem Fall muss das Unternehmen eine vom Menschen überprüfte Alternative bereitstellen, die den Wünschen des Benutzers entspricht. Wenn Automatisierung verwendet wird, muss sie dem Benutzer klar erklärt werden, und ihre Anwendung kann immer noch für Unklarheiten oder Verstöße gegen andere Vorschriften bestraft werden, was die Verwendung von AI zu einem Catch-22 für GDPR-konforme Stellen macht.

Künstliche Intelligenz: Wie oben angegeben, hängt die KI von großen Mengen verifizierter Daten ab, von denen die meisten aus persönlichen oder kommerziellen Gründen zu Recht als privat angesehen werden. Dies führt zu einem Catch-22, der sich aus der versehentlichen Eingabe scheinbar harmloser oder geschützter Daten in ansonsten sichere Websites ergibt. Der in Oxford ansässige Forscher James Pavur nutzte Dutzende von Anfragen nach Zugangsrechten und stellte fest, dass er auf persönliche Informationen von mehreren in Großbritannien und den USA ansässigen Unternehmen zugreifen konnte – von Kaufhistorien über Kreditkartenziffern bis hin zu früheren und gegenwärtigen Privatadressen ohne auch nur seine Identität zu überprüfen. In kommerziellen Bereichen sind verschiedene Tricks zur Akkumulation von Daten, die für die KI nützlich sind, allgegenwärtig. Der Zugriff auf hochwertige Schulungsdaten ist für Startups von entscheidender Bedeutung, die maschinelles Lernen als Kerntechnologie ihres Geschäfts verwenden. Moritz Mueller-Freitag: „Während viele Algorithmen und Softwaretools Open Source sind und von der gesamten Forschungsgemeinschaft gemeinsam genutzt werden, sind gute Datensätze normalerweise proprietär und schwer zu erstellen. Der Besitz eines großen, domänenspezifischen Datensatzes kann daher zu einer bedeutenden Quelle von Wettbewerbsvorteilen werden. “ Zu den Benutzereingaben gehören sogar solche harmlosen Benutzeroberflächen, die Benutzer dazu ermutigen, Fehler wie Mapillary und reCAPTCHA zu korrigieren. Daher wird der Webbenutzer schrittweise darauf vorbereitet, beim Aufbau von KI im Austausch für den Zugang zu nicht überprüfbaren Informationen zusammenzuarbeiten, während seine Rechte durch die Zustimmung zu unergründlichen Geschäftsbedingungen erlöschen.

Das Problem unbekannter Unbekannter: Dies ist eine Art umgekehrte Catch-22-Situation, in der Joseph Hellers Yossarian noch nicht weiß, dass der Bomber, vor dem er heute Abend Angst hatte, letzte Nacht abgeschossen zu werden, abgeschossen wurde. Ein ähnlicher Mangel erklärt, warum Wissenschaftler kein Heilmittel für die Alzheimer-Krankheit gefunden haben. – Sie wissen nicht genau, was es ist. Sie können sehen, was mit Patienten passiert, und vorhersagen, was passieren wird, verstehen jedoch nicht die endgültigen Ursachen, warum es die Menschen betrifft, die es tut, oder warum sich die Symptome mit der Zeit verschlimmern.

Bewertung neuartiger Interpretationen, die in wissenschaftlichen Fachzeitschriften eingereicht wurden: Wenn neues Wissen aus neuen Studien im Kontext des vorhandenen Wissens präsentiert wird, kann durch diesen Prozess die Glaubwürdigkeit der daraus resultierenden Schlussfolgerungen festgestellt werden. Da Wissen evolutionärer Natur ist, bildet früheres Wissen normalerweise eine Grundlage für spätere Inkremente. Allerdings neigen akademische Zwänge normalerweise dazu, dass Forscher nicht über den Tellerrand hinaus denken. Dies führt zu einem Catch-22-Problem für Forscher, die versuchen, frühere Studien neu zu interpretieren und daraus Schlussfolgerungen aus vorhandenen Daten zu ziehen, die von vorhandenen, weithin anerkannten Interpretationen abweichen. Zum Beispiel basiert das derzeitige Verständnis der Eisschilde des Pleistozäns in Nordamerika und Europa letztendlich auf Agassiz ‚Interpretation eines dicken Mer de Glace von 1842, das einen Großteil der nördlichen Teile der Kontinente bedeckte. Für 50 Jahre nach seiner Veröffentlichung machten mehrere erfahrene Geologen auf seine gravierenden Mängel aufmerksam. Trotzdem liegt Agassiz ‚Interpretation der‘ kanonischen ‚Version zugrunde, die jetzt den Schülern überall ohne Vorbehalte beigebracht wird. Heutzutage werden Forscher, die eine kritische Überprüfung bestehender Beweise durchführen und zu Schlussfolgerungen gelangen, die sich erheblich von der Interpretation des „dicken pleistozänen Eises“ unterscheiden, Schwierigkeiten haben, diese an Überprüfungsteams vorbei und in verschiedene quaternäre Zeitschriften zu bringen. Die Catch-22-Frustration dieser Autoren wird verstärkt, wenn sie versuchen, eine Zusammenfassung ihrer Rezension als Artikel in Wikipedia zu veröffentlichen, wo sie möglicherweise feststellen, dass skeptische Redakteure ihre Einreichung auf die Logik zurückführen, dass es sich um „Original Research“ handelt.

Logik
Der von Heller formulierte archetypische Catch-22 betrifft den Fall von John Yossarian, einem Bombenschützen der US-Luftstreitkräfte, der vom Kampfflug geerdet werden möchte. Dies geschieht nur, wenn er vom Flugchirurgen des Geschwaders bewertet wird und als „flugunfähig“ eingestuft wird. „Unfit“ wäre jeder Pilot, der bereit ist, solch gefährliche Missionen zu fliegen, da man verrückt sein müsste, um sich freiwillig für einen möglichen Tod zu melden. Um jedoch bewertet zu werden, muss er die Bewertung beantragen, eine Handlung, die als ausreichender Beweis für die Erklärung als gesund angesehen wird. Diese Bedingungen machen es unmöglich, für „nicht tauglich“ erklärt zu werden.

Der „Catch-22“ ist, dass „jeder, der aus dem Kampfdienst aussteigen will, nicht wirklich verrückt ist“. Daher sind Piloten, die eine Bewertung der mentalen Fitness anfordern, gesund und müssen daher im Kampf fliegen. Wenn der Pilot keine Bewertung anfordert, erhält er niemals eine Bewertung und kann daher niemals für verrückt befunden werden, was bedeutet, dass er auch im Kampf fliegen muss.

Daher stellt Catch-22 sicher, dass kein Pilot jemals für verrückt gehalten werden kann, selbst wenn er es ist.

Eine logische Formulierung dieser Situation lautet:

1. (E → (I ∧ R)) Damit eine Person wegen Wahnsinns vom Fliegen befreit werden kann (E), muss sie beide verrückt sein (I) und eine Bewertung angefordert haben (R). (Prämisse)
2. (I → ¬R) Eine verrückte Person (I) fordert keine Bewertung (¬R) an, weil sie nicht erkennt, dass sie verrückt ist. (Prämisse)
3. (¬IV ¬R) Entweder ist eine Person nicht verrückt (¬I) oder fordert keine Bewertung an (¬R). (2. und materielle Implikation)
4. (¬ (I ∧ R)) Keine Person kann sowohl verrückt sein (I) als auch eine Bewertung anfordern (R). (3. und De Morgans Gesetze)
5. (¬ E) Daher kann keine Person vom Fliegen entschuldigt werden (¬E), da keine Person sowohl verrückt sein kann als auch eine Bewertung angefordert hat. (4., 1. und modus tollens)
Der Philosoph Laurence Goldstein argumentiert, dass das „Fliegerdilemma“ logischerweise nicht einmal eine Bedingung ist, die unter keinen Umständen wahr ist; es ist eine „leere bikonditionale“, die letztendlich bedeutungslos ist. Goldstein schreibt:

Der Philosoph Laurence Goldstein argumentiert, dass das „Fliegerdilemma“ logischerweise nicht einmal eine Bedingung ist, die unter keinen Umständen wahr ist; es ist eine „leere bikonditionale“, die letztendlich bedeutungslos ist. Goldstein schreibt:

Der Haken ist folgender: Was wie eine Aussage über die Bedingungen aussieht, unter denen ein Flieger entschuldigt werden kann, gefährliche Missionen zu fliegen, reduziert sich nicht auf die Aussage

(i) „Ein Flieger kann entschuldigt werden, gefährliche Missionen zu fliegen, wenn und nur wenn Cont“ (wobei „Cont“ ein Widerspruch ist)
(was ein Mittel sein könnte, um eine unangenehme Wahrheit zu verschleiern), aber zu der wertlos leeren Ankündigung

(ii) „Ein Flieger kann entschuldigt werden, gefährliche Missionen zu fliegen, wenn und nur wenn es nicht der Fall ist, dass ein Flieger entschuldigt werden kann, gefährliche Missionen zu fliegen.“
Wenn der Fang (i) wäre, wäre das nicht so schlimm – ein Flieger könnte zumindest feststellen, dass er unter keinen Umständen dem Kampfdienst entgehen könnte. Aber Catch-22 ist schlimmer – eine Fülle von Wörtern, die nichts bedeuten; es ist ohne Inhalt, es vermittelt überhaupt keine Informationen.

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Achilles und das Schildkrötenparadoxon

„Was die Schildkröte Achilles sagte“, geschrieben von Lewis Carroll 1895 für die philosophische Zeitschrift Mind, ist ein kurzer allegorischer Dialog über die Grundlagen der Logik. Der Titel spielt auf eines der Bewegungsparadoxe von Zeno an, in dem Achilles die Schildkröte in einem Rennen niemals überholen konnte. In Carrolls Dialog fordert die Schildkröte Achilles auf, die Kraft der Logik zu nutzen, um ihn dazu zu bringen, die Schlussfolgerung eines einfachen deduktiven Arguments zu akzeptieren. Letztendlich scheitert Achilles, weil die kluge Schildkröte ihn in eine unendliche Regression führt.

Zusammenfassung des Dialogs
Die Diskussion beginnt mit der Betrachtung des folgenden logischen Arguments:

A: „Dinge, die gleich sind, sind einander gleich“ (Euklidische Beziehung, eine geschwächte Form der transitiven Eigenschaft)
B: „Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind Dinge, die gleich sind.“
Deshalb Z: „Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind einander gleich“
Die Schildkröte fragt Achilles, ob die Schlussfolgerung logisch aus den Räumlichkeiten folgt, und Achilles räumt ein, dass dies offensichtlich der Fall ist. Die Schildkröte fragt dann Achilles, ob es einen Leser von Euklid geben könnte, der zugibt, dass das Argument als Sequenz logisch gültig ist, während er leugnet, dass A und B wahr sind. Achilles akzeptiert, dass ein solcher Leser existieren könnte und dass er der Meinung sein würde, wenn A und B wahr sind, dann muss Z wahr sein, während er noch nicht akzeptiert, dass A und B wahr sind (dh ein Leser, der die Prämissen leugnet).

Die Schildkröte fragt dann Achilles, ob es eine zweite Art von Leser geben könnte, der akzeptiert, dass A und B wahr sind, aber noch nicht das Prinzip akzeptiert, dass Z wahr sein muss, wenn A und B beide wahr sind. Achilles räumt der Schildkröte ein, dass es diese zweite Art von Leser auch geben könnte. Die Schildkröte bittet Achilles, die Schildkröte als Leser dieser zweiten Art zu behandeln. Achilles muss nun die Schildkröte logisch dazu zwingen, zu akzeptieren, dass Z wahr sein muss. (Die Schildkröte ist ein Leser, der die Argumentationsform selbst leugnet; die Schlussfolgerung, Struktur oder Gültigkeit des Syllogismus.)

Nachdem Achilles A, B und Z in sein Notizbuch geschrieben hat, bittet er die Schildkröte, die Hypothese zu akzeptieren:

C: „Wenn A und B wahr sind, muss Z wahr sein“

Die Schildkröte erklärt sich damit einverstanden, C zu akzeptieren, wenn Achilles in sein Notizbuch aufschreibt, was sie akzeptieren muss, und das neue Argument vorbringt:

A: „Dinge, die gleich sind, sind einander gleich“
B: „Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind Dinge, die gleich sind.“
C: „Wenn A und B wahr sind, muss Z wahr sein“
Deshalb Z: „Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind einander gleich“

Aber jetzt, da die Schildkröte Prämisse C akzeptiert, weigert sie sich immer noch, das erweiterte Argument zu akzeptieren. Wenn Achilles verlangt, dass „Wenn Sie A und B und C akzeptieren, müssen Sie Z akzeptieren“, bemerkt die Schildkröte, dass dies ein weiterer hypothetischer Satz ist, und schlägt vor, selbst wenn sie C akzeptiert, könnte sie Z immer noch nicht schließen, wenn sie das nicht sieht Wahrheit von:

D: „Wenn A und B und C wahr sind, muss Z wahr sein“

Die Schildkröte akzeptiert weiterhin jede hypothetische Prämisse, sobald Achilles sie aufschreibt, bestreitet jedoch, dass die Schlussfolgerung notwendigerweise folgt, da jedes Mal, wenn sie die hypothetische Prämisse leugnet, dass Z wahr sein muss, wenn alle bisher niedergeschriebenen Prämissen wahr sind:

„Und endlich haben wir das Ende dieser idealen Rennstrecke erreicht! Jetzt, wo du A und B und C und D akzeptierst, akzeptierst du natürlich Z. “

„Muss ich?“ sagte die Schildkröte unschuldig. „Lassen Sie uns das ganz klar machen. Ich akzeptiere A und B und C und D. Angenommen, ich habe mich immer noch geweigert, Z zu akzeptieren? “

„Dann würde Logic dich am Hals packen und dich dazu zwingen!“ Achilles antwortete triumphierend. „Logic würde dir sagen:‚ Du kannst dir nicht helfen. Nachdem Sie A und B sowie C und D akzeptiert haben, müssen Sie Z akzeptieren! ‚ Sie haben also keine Wahl, verstehen Sie? “

„Was auch immer Logik gut genug ist, um mir zu sagen, es lohnt sich aufzuschreiben“, sagte die Schildkröte. „Also geben Sie es bitte in Ihr Notizbuch ein. Wir werden es nennen

(E) Wenn A und B und C und D wahr sind, muss Z wahr sein.
Bis ich das gewährt habe, muss ich Z natürlich nicht gewähren. Es ist also ein ziemlich notwendiger Schritt, verstehen Sie? “

„Ich verstehe“, sagte Achilles; und in seinem Ton lag ein Hauch von Traurigkeit.

Somit wächst die Liste der Prämissen ohne Ende weiter und lässt das Argument immer in der Form:

(1): „Dinge, die gleich sind, sind einander gleich“
(2): „Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind Dinge, die gleich sind“
(3): (1) und (2) ⇒ (Z)
(4): (1) und (2) und (3) ⇒ (Z)

(n): (1) und (2) und (3) und (4) und… und (n – 1) ⇒ (Z)
Deshalb (Z): „Die beiden Seiten dieses Dreiecks sind einander gleich“

Bei jedem Schritt argumentiert die Schildkröte, dass es, obwohl er alle niedergeschriebenen Prämissen akzeptiert, eine weitere Prämisse gibt (wenn alle von (1) – (n) wahr sind, dann muss (Z) wahr sein), dass es muss noch akzeptieren, bevor es akzeptiert werden muss, dass (Z) wahr ist.

Erläuterung
Lewis Carroll zeigte, dass es ein regressives Problem gibt, das sich aus den Abzügen von Modus Ponens ergibt.

P bis Q, P / daher Q.

Oder in Worten: Satz P (ist wahr) impliziert Q (ist wahr) und gegebenes P, daher Q.

Das Regressionsproblem entsteht, weil ein vorheriges Prinzip erforderlich ist, um logische Prinzipien zu erklären, hier modus ponens, und sobald dieses Prinzip erklärt ist, ist ein anderes Prinzip erforderlich, um dieses Prinzip zu erklären. Wenn also die Kausalkette fortgesetzt werden soll, fällt das Argument in einen unendlichen Rückschritt. Wenn jedoch ein formales System eingeführt wird, bei dem der Modus ponens lediglich eine im System definierte Inferenzregel ist, kann dies einfach durch Argumentation innerhalb des Systems eingehalten werden.

In Analogie wird Schach nach einem bestimmten Regelwerk gespielt, und wenn eine Person Schach spielt, kann sie die vorgegebenen Regeln nicht in Frage stellen oder von ihnen abweichen, sondern muss sich stattdessen an sie halten, da sie den eigentlichen Rahmen des Spiels bilden. Das heißt nicht, dass der Schachspieler diesen Regeln zustimmt (berücksichtigen Sie beispielsweise Regeländerungen wie en passant). Ebenso besteht ein formales Logiksystem aus Inferenzregeln, die vom Benutzer des Systems zu befolgen sind, und wenn eine Person nach diesem formalen System argumentiert, kann sie diese Inferenzregeln nicht in Frage stellen oder von ihnen unterscheiden, sondern muss sie stattdessen einhalten weil sie die eigentlichen Bestandteile des Systems bilden. Das heißt nicht, dass die Argumentation des Benutzers nach diesem formalen System mit diesen Regeln übereinstimmt (betrachten Sie zum Beispiel die Ablehnung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte durch den Konstruktivisten und die Ablehnung des Gesetzes des Widerspruchs durch den Dialethisten). Auf diese Weise kann die Formalisierung der Logik als System als Antwort auf das Problem des unendlichen Rückschritts betrachtet werden: modus ponens wird in der Regel innerhalb des Systems platziert, die Gültigkeit von modus ponens wird ohne das System vermieden.

In der Aussagenlogik ist die logische Implikation wie folgt definiert:

P impliziert Q genau dann, wenn der Satz nicht P oder Q eine Tautologie ist.

Daher ist de modo ponente, [P ∧ (P → Q)] ⇒ Q, eine gültige logische Schlussfolgerung gemäß der gerade angegebenen Definition der logischen Implikation. Das Demonstrieren der logischen Implikation bedeutet einfach zu überprüfen, ob die zusammengesetzte Wahrheitstabelle eine Tautologie erzeugt. Aber die Schildkröte akzeptiert im Glauben nicht die Regeln der Aussagenlogik, auf denen diese Erklärung beruht. Er bittet darum, dass auch diese Regeln logischen Beweisen unterliegen. Die Schildkröte und Achilles sind sich über keine Definition der logischen Implikation einig.

Darüber hinaus weist die Geschichte auf Probleme mit der Satzlösung hin. Innerhalb des Systems der Aussagenlogik enthält kein Satz oder keine Variable einen semantischen Inhalt. In dem Moment, in dem ein Satz oder eine Variable semantischen Inhalt annimmt, tritt das Problem erneut auf, da semantischer Inhalt außerhalb des Systems ausgeführt wird. Wenn also gesagt werden soll, dass die Lösung funktioniert, dann soll gesagt werden, dass sie nur innerhalb des gegebenen formalen Systems funktioniert und nicht anders.

Einige Logiker (Kenneth Ross, Charles Wright) unterscheiden fest zwischen dem bedingten Zusammenhang und der Implikationsbeziehung. Diese Logiker verwenden den Ausdruck nicht p oder q für den bedingten Zusammenhang, und der Begriff impliziert eine behauptete Implikationsbeziehung.

Diskussion
Mehrere Philosophen haben versucht, Carrolls Paradoxon zu lösen. Bertrand Russell diskutierte das Paradoxon kurz in § 38 der Prinzipien der Mathematik (1903) und unterschied zwischen Implikation (assoziiert mit der Form „wenn p, dann q“), die er als Beziehung zwischen nicht behaupteten Sätzen ansah, und Inferenz (assoziiert) mit der Form „p, also q“), die er für eine Beziehung zwischen behaupteten Sätzen hielt; Nachdem Russell diese Unterscheidung getroffen hatte, konnte er leugnen, dass der Versuch der Schildkröte, die Schlussfolgerung von Z aus A und B als äquivalent oder abhängig von der Zustimmung zur Hypothese zu behandeln: „Wenn A und B wahr sind, dann ist Z wahr.“

Der Wittgensteinsche Philosoph Peter Winch diskutierte das Paradoxon in Die Idee einer Sozialwissenschaft und ihre Beziehung zur Philosophie (1958), wo er argumentierte, dass das Paradoxon zeigte, dass „der eigentliche Prozess des Zeichnens einer Folgerung, der schließlich im Zentrum der Logik steht ist etwas, das nicht als logische Formel dargestellt werden kann… Das Lernen zu schließen ist nicht nur eine Frage des Lehrens über explizite logische Beziehungen zwischen Sätzen; es lernt etwas zu tun “. Winch schlägt weiter vor, dass die Moral des Dialogs ein besonderer Fall einer allgemeinen Lektion ist, wonach die ordnungsgemäße Anwendung von Regeln, die eine Form menschlicher Aktivität regeln, selbst nicht mit einer Reihe weiterer Regeln zusammengefasst werden kann, und das auch „Eine Form menschlicher Aktivität kann niemals in einer Reihe expliziter Vorschriften zusammengefasst werden.“

Carrolls Dialog ist anscheinend die erste Beschreibung eines Hindernisses für den Konventionalismus über die logische Wahrheit, das später von WVO Quine in nüchterneren philosophischen Begriffen überarbeitet wurde.

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Logik Paradoxe

Barbershop-Paradoxon

Das Barbershop-Paradoxon wurde von Lewis Carroll in einem dreiseitigen Aufsatz mit dem Titel „A Logical Paradox“ vorgeschlagen, der in der Juli-Ausgabe 1894 von Mind erschien. Der Name stammt von der „dekorativen“ Kurzgeschichte, die Carroll in dem Artikel verwendet, um das Paradoxon zu veranschaulichen. Es existierte zuvor in mehreren alternativen Formen in seinem Schreiben und in seiner Korrespondenz, wobei nicht immer ein Friseurladen involviert war. Carroll beschrieb es als Beispiel für „eine sehr reale Schwierigkeit in der Theorie der Hypothesen“. Aus Sicht der modernen Logik wird es weniger als Paradoxon als als einfacher logischer Fehler gesehen. Es ist jetzt hauptsächlich als eine Episode in der Entwicklung algebraischer logischer Methoden von Interesse, wenn diese (selbst unter Logikern) nicht so weit verbreitet waren, obwohl das Problem weiterhin in Bezug auf Implikationstheorien und modale Logik diskutiert wird.

Das Paradox
In der Geschichte gehen Onkel Joe und Onkel Jim zum Friseurladen. Sie erklären, dass drei Friseure im Geschäft leben und arbeiten – Allen, Brown und Carr – und einige oder alle von ihnen sind möglicherweise in. Wir erhalten zwei Informationen, aus denen wir Schlussfolgerungen ziehen können. Erstens ist der Laden definitiv geöffnet, also muss mindestens einer der Friseure da sein. Zweitens soll Allen sehr nervös sein, so dass er den Laden nie verlässt, wenn Brown nicht mit ihm geht.

Laut Onkel Jim ist Carr ein sehr guter Friseur, und er möchte wissen, ob Carr da sein wird, um ihn zu rasieren. Onkel Joe besteht darauf, dass Carr sicher dabei ist, und behauptet, dass er es logisch beweisen kann. Onkel Jim verlangt diesen Beweis.

Onkel Joe argumentiert wie folgt:

Angenommen, Carr ist raus. Wir werden zeigen, dass diese Annahme einen Widerspruch erzeugt. Wenn Carr draußen ist, dann wissen wir Folgendes: „Wenn Allen draußen ist, dann ist Brown drin“, weil es jemanden geben muss, der sich um den Laden kümmert. Wir wissen aber auch, dass Allen Brown immer dann mitnimmt, wenn er ausgeht. In der Regel also: „Wenn Allen draußen ist, ist Brown draußen“. Die beiden Aussagen, zu denen wir gekommen sind, sind nicht kompatibel, denn wenn Allen draußen ist, kann Brown nicht sowohl In (nach dem einen) als auch Out (nach dem anderen) sein. Es gibt einen Widerspruch. Wir müssen also unsere Hypothese aufgeben, dass Carr Out ist, und daraus schließen, dass Carr In sein muss.

Onkel Jims Antwort ist, dass diese Schlussfolgerung nicht gerechtfertigt ist. Die richtige Schlussfolgerung aus der Inkompatibilität der beiden „Hypothesen“ ist, dass das, was in ihnen angenommen wird (dass Allen aus ist), unter unserer Annahme, dass Carr aus ist, falsch sein muss. Dann erlaubt uns unsere Logik einfach, zu dem Schluss zu kommen: „Wenn Carr draußen ist, muss Allen unbedingt drin sein.“

Der historische Streit
Das Paradoxon entstand aus einer Meinungsverschiedenheit zwischen Carroll und seinem Kollegen aus Oxford, Wykeham-Professor für Logik John Cook Wilson, die beide einen langjährigen Gegensatz hatten. Das Problem wurde auch von anderen diskutiert, mit denen Carroll korrespondierte, und in späteren Artikeln, die unter anderem von John Venn, Alfred Sidgwick und Bertrand Russell veröffentlicht wurden, angesprochen. Cook Wilsons Ansicht wird in der Geschichte durch die Figur von Onkel Joe dargestellt, der zu beweisen versucht, dass Carr immer im Laden bleiben muss. Andere waren der gleichen Ansicht, als Carroll seine privat gedruckten Versionen des Problems in Umlauf brachte. Carroll bemerkte: „Ich stehe in diesem merkwürdigen Punkt mit etwa einem Dutzend Logikern in Korrespondenz. & Bisher scheinen die Meinungen über die Freiheit von C gleichermaßen geteilt zu sein. ”.: 445-448

Vereinfachung

Notation
Beim Lesen des Originals kann es hilfreich sein, Folgendes zu beachten:

Was Carroll „hypothetische“ nannte, nennen moderne Logiker „logische Bedingungen“.
Onkel Joe schließt seinen Beweis reductio ad absurdum ab, was auf Englisch „Beweis durch Widerspruch“ bedeutet.
Was Carroll die Protasis einer Bedingung nennt, wird jetzt als Antezedenz bezeichnet, und in ähnlicher Weise wird die Apodose jetzt als Konsequenz bezeichnet.
Symbole können verwendet werden, um logische Aussagen, wie sie in dieser Geschichte enthalten sind, erheblich zu vereinfachen:

Name des Bedieners) Umgangssprachlich Symbolisch
Negation NICHT nicht X. ¬ ¬X
Verbindung UND X und Y. X ∧ Y.
Disjunktion ODER X oder Y. X ∨ Y.
Bedingt WENN, DANN wenn X dann Y. X ⇒ Y.

Hinweis: X ⇒ Y (auch als „Implikation“ bekannt) kann auf Englisch auf viele Arten gelesen werden, von „X ist ausreichend für Y“ bis „Y folgt aus X“. (Siehe auch Tabelle der mathematischen Symbole.)

Restatement
Um Carrolls Geschichte einfacher wiederzugeben, werden wir die folgenden atomaren Aussagen treffen:

A = Allen ist im Laden
B = Brown ist in
C = Carr ist in
So steht zum Beispiel (¬A ∧ B) für „Allen ist raus und Brown ist rein“.

Onkel Jim gibt uns unsere zwei Axiome:

Es ist jetzt mindestens ein Friseur im Laden (A ∨ B ∨ C)
Allen verlässt den Laden niemals ohne Brown (¬A ⇒ ¬B)
Onkel Joe legt einen Beweis vor:

Abkürzung Englisch mit logischen Markierungen Hauptsächlich symbolisch
Angenommen, Carr ist NICHT in. H0: ¬C
Wenn NICHT C gegeben ist, WENN Allen NICHT in DANN ist, muss Brown in sein, um Axiom 1 (A1) zu erfüllen. Nach H0 und A1 ist ¬A ⇒ B.
Aber Axiom 2 (A2) gibt an, dass IF Allen allgemein wahr ist
ist nicht in DANN ist Brown nicht in (es ist immer wahr, dass wenn ¬A dann ¬B)
Mit A2 ist ¬A ⇒ ¬B
Bisher haben wir, dass NOT C sowohl (Not A THEN B) als auch (Not A THEN Not B) ergibt. Also ¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B))
Onkel Joe behauptet, dass diese widersprüchlich sind.
Daher muss Carr in sein. ∴C

Onkel Joe argumentiert grundsätzlich, dass (¬A ⇒ B) und (¬A ⇒ ¬B) widersprüchlich sind, und sagt, dass derselbe Vorgänger nicht zu zwei unterschiedlichen Konsequenzen führen kann.

Dieser angebliche Widerspruch ist der Kern von Joes „Beweis“. Carroll präsentiert dieses Ergebnis, das der Intuition trotzt, als Paradoxon in der Hoffnung, dass die zeitgenössische Ambiguität gelöst wird.

Diskussion
In der modernen Logiktheorie ist dieses Szenario kein Paradoxon. Das Implikationsgesetz gleicht das aus, was Onkel Joe für unvereinbare Hypothesen hält. Dieses Gesetz besagt, dass „wenn X dann Y“ logisch identisch ist mit „X ist falsch oder Y ist wahr“ (¬X ∨ Y). Angesichts der Aussage „Wenn Sie die Taste drücken, geht das Licht an“ muss es beispielsweise zu jedem Zeitpunkt zutreffen, dass Sie entweder die Taste nicht gedrückt haben oder das Licht leuchtet.

Kurz gesagt, es wird nicht erhalten, dass ¬C einen Widerspruch ergibt, sondern dass es A benötigt, weil ¬A das ist, was tatsächlich den Widerspruch ergibt.

In diesem Szenario bedeutet das, dass Carr nicht dabei sein muss, aber wenn er nicht dabei ist, muss Allen dabei sein.

Vereinfachung zu Axiom 1
Die Anwendung des Implikationsgesetzes auf die beleidigenden Bedingungen zeigt, dass man, anstatt sich zu widersprechen, einfach die Tatsache wiederholt, dass, da der Laden geöffnet ist, einer oder mehrere von Allen, Brown oder Carr in und der andere nur sehr wenig einschränkt, wer kann oder nicht im Laden sein.

Um dies zu sehen, greifen wir Jims großes „widersprüchliches“ Ergebnis an, hauptsächlich indem wir das Gesetz der Implikation wiederholt anwenden. Lassen Sie uns zunächst eine der beiden beleidigenden Bedingungen aufschlüsseln:

„Wenn Allen draußen ist, dann ist Brown draußen.“
„Allen ist rein oder Brown ist raus“
(¬A ⇒ ¬B)
(A ∨ ¬B)

Einsetzen in

„Wenn Carr draußen ist, dann wenn Allen auch draußen ist, dann ist Brown drin UND wenn Allen draußen ist, dann ist Brown draußen.“
¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B))

Welche Ausbeuten bei fortgesetzter Anwendung des Implikationsgesetzes ergeben,

„WENN Carr draußen ist, DANN, wenn Allen auch draußen ist, ist Brown drin UND entweder ist Allen drin oder Brown ist draußen.“
„WENN Carr draußen ist, dann sind beide wahr: Allen ist in ODER Brown ist in UND Allen ist in ODER Brown ist draußen.“
„Carr ist in ODER beide sind wahr: Allen ist in ODER Brown ist in UND Allen ist in ODER Brown ist draußen.“
¬C ⇒ ((¬A ⇒ B) ∧ (A ∨ ¬B))
¬C ⇒ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B))
C ∨ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ B))
Man beachte, dass: C (((A ∨ B) ∧ (A ∨ B)) zu C ∨ A vereinfacht werden kann
da ((A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) einfach A ist

Und schließlich (rechts verteilen wir auf die Klammern)

„Carr ist in ODER Entweder ist Allen in ODER Brown ist in UND Carr ist in ODER Entweder ist Allen in ODER Brown ist draußen.“
„Inklusive ist Carr in OR Allen ist in OR Brown ist in UND Inklusive ist Carr in OR Allen ist in OR Brown ist out.“
C ∨ (A ∨ B) ∧ C ∨ (A ∨ B)
(C ∨ A ∨ B) ∧ (C ∨ A ∨ B)

Die beiden Aussagen, die sofort wahr werden, lauten: „Eine oder mehrere von Allen, Brown oder Carr sind in“, was einfach Axiom 1 ist, und „Carr ist in oder Allen ist in oder Brown ist out“. Eine Möglichkeit, wie diese beiden Aussagen auf einmal wahr werden können, ist eindeutig der Fall, in dem Allen sich befindet (weil Allens Haus der Friseurladen ist und Brown irgendwann den Laden verlassen hat).

Eine andere Möglichkeit zu beschreiben, wie (X ⇒ Y) ⇔ (¬X ∨ Y) dies in einen gültigen Satz von Anweisungen auflöst, besteht darin, Jims Aussage, dass „Wenn Allen auch draußen ist…“ in „Wenn Carr draußen ist und Allen draußen ist, dann umzuformulieren Braun ist in ”((¬C ∧ ¬A) ⇒ B).

Bedingungen kompatibel anzeigen
Die beiden Bedingungen sind keine logischen Gegensätze: Um durch Widerspruch zu beweisen, musste Jim ¬C ⇒ (Z ∧ ¬Z) zeigen, wobei Z zufällig eine Bedingung ist.

Das Gegenteil von (A ⇒ B) ist ¬ (A ⇒ B), das sich nach dem De-Morgan-Gesetz in (A ∧ ¬B) auflöst, was überhaupt nicht dasselbe ist wie (¬A ∨ ¬B) ist das, worauf sich A ⇒ ¬B reduziert.

Diese Verwirrung über die „Kompatibilität“ dieser beiden Bedingungen wurde von Carroll vorausgesehen, der sie am Ende der Geschichte erwähnt. Er versucht, das Problem zu klären, indem er argumentiert, dass die Protasis und Apodose der Implikation „Wenn Carr in… ist“ „falsch geteilt“ sind. Die Anwendung des Implikationsgesetzes beseitigt jedoch das „Wenn…“ vollständig (reduziert auf Disjunktionen), sodass keine Protasis und Apodose existieren und kein Gegenargument erforderlich ist.